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1、數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 數(shù)學(xué)物理方程 課程的內(nèi)容 三個方程： 行波法、分離變量法、格林函數(shù)法、積分變換法 波動方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程 四種方法： -----用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象。 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 第一章 緒倫 二、重要性 第一節(jié) 概述 數(shù)學(xué)物理方程反映了自然科學(xué)和工程技術(shù)的各門分支中 物理量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān) 系，是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的一個重要橋梁 ,已經(jīng)成為自然科學(xué)、 工程技術(shù)甚至經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)等領(lǐng)域的研究基礎(chǔ)。 一、 數(shù)學(xué)物理方程定義 含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程，是物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描 述。包括微
2、分方程和積分方程，主要是偏微分方程。 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 1、一般研究程序： 1）將物理問題依有關(guān)定律建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 2）對數(shù)學(xué)模型應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解 3）將解答通過數(shù)學(xué)論證和實踐檢驗鑒定其正確性 三、研究方法及本課程內(nèi)容 2、本課程內(nèi)容：以三種典型方程的定解問題的求解方法 為主要研究內(nèi)容，重點掌握 1）有關(guān)基本概念 2）典型物理問題方程的建立 3）常用的幾種解法及典型例題求解 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 2、方程的階數(shù) 方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)。 可分為一階方程、二階方程、高階方程 2、數(shù)學(xué)物理方
3、程的基本概念 一、方程的概念 由未知量組成的關(guān)系式（等式 ） 1、按未知量的形式： 代數(shù)方程 未知量是數(shù)量； 函數(shù)方程 未知量是函數(shù)； 常微分方程 方程含有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 偏微分方程 方程含有多自變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)； 積分方程 方程含有未知函數(shù)的積分 ； 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 3、方程的線性與非線性： 線性方程 如果一個偏微分方程的未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性 的（一次冪），如 m個自變量的二階線性偏微分方程可寫成如下形式 非線性方程 含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的非線性項，非線性項有三種形式： 擬線性方程 未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的
4、 半線性的擬線性方程 最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅僅是自變量的函數(shù) 1）未知函數(shù)本身為非線性的項，如 2）未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)含有未知函數(shù)或其低階導(dǎo)數(shù)項， 如 3）未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)為非線性的項，如 2 , sin , uu u e 2, , ( s i n )x x y y x y yu u u u u u 2 2 2s i n ( ) , , ux x y y x x xu u x u e u 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ( ) mm ij i i j ii j i uua x b x c x u f x x x x 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 1、定解條件
5、 三、定解條件和定解問題 (1) 初始條件：給出未知函數(shù)或其對時間的偏導(dǎo)數(shù)的起始狀態(tài) (2) 邊界條件： 給出未知函數(shù)在所求區(qū)域的邊界上的值或?qū)?shù) 值或兩者的線性組合 。 為完全確定一個物理狀態(tài)所給出的初始狀態(tài)和邊界狀 態(tài)，即外加的特定條件 | ( , )su f P t ( , ) s u g P t n ( ) ( , ) S uu P t n S 給定區(qū)域 v 的邊界 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 如： 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 2、定解問題 (1) 初始問題（柯西問題）：只有初始條件，沒有邊界條件的 定解問題； (2) 邊值
6、問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；依 所給邊界條件的類型分為：第一類邊值問題（ Dirichlet問 題）；第二類邊值問題（ Neumann問題）；第三類邊值問 題（ Robbin問題） (3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 1）泛定方程：通常稱偏微分方程為泛定方程 2）把泛定方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了 一個 定解問題 。 3）定解問題的提法 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 1、偏微分方程的解 古典解 ：如果將某個函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方程成 為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的解。 通解 ：解中含有相互獨立的和偏微分方程
7、階數(shù)相同的任意常 數(shù)的解。 特解 ：滿足方程及定解條件的解，也稱為定解問題的解。 形式解 ：未經(jīng)過驗證的解為形式解。 四、定解問題的適定性 解析解 ：可展開成收斂冪級數(shù)形式的解。 光滑解 ：可無窮次可微的解。 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 為使定解問題的解能反映原來的物理現(xiàn)象，對數(shù)學(xué)上的解提 出的一些標(biāo)準(zhǔn)，稱為適定性。包括存在性、唯一性和穩(wěn)定性。 2、定解問題的適定性 解的存在性：所給定解問題有解； 解的穩(wěn)定性：當(dāng)定解條件及方程中的系數(shù)或自由項有微小 變化時，相應(yīng)的解也只有相應(yīng)的微小變動。 解的唯一性：所給定解問題只有一個解； 數(shù)學(xué)物理方程 第一章
8、緒論 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ( ) mm ij i i j ii j i uua x b x c x u f x x x x 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2222 u u u u ua a a b b c u f x x y y x y ( ( , ) , ( , ) , ( , )x x y y x y x y ， ） ， 即 ： 二階線性偏微分方程的一般形式 3、二階線性偏微分方程的分類 特別對有兩個自變量（ x， y）函數(shù)的二階線性偏微 分方程可寫為： 為簡化方程設(shè)作代換 則由復(fù)合函
9、數(shù)的求導(dǎo)有 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 11 12 22 1 22A u A u A u B u B u Cu F 22 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 22 2 2 1 1 1 2 2 2 2 () 2 x x y y x x x y y x y y x x y y A a a a A a a a A a a a 221 1 1 2 2 2 2 0 x x y ya z a z z a z 而 ， 恰 是 方 程 的 解 期中系數(shù) ( , ) z x y c設(shè) 是 上
10、 述 方 程 的 解 x y zdy d x z則 由 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 得 ： 21 1 1 2 2 2 ( ) 2 0d y d ya a ad x d x 從 而 上 式 變 為 常 微 分 方 程 原方程的特征方程 可見若有 使上兩式為零，則原方程可以簡化。 ， 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 由一元二次方程的求解 ,可將特征方程分成兩個方程： 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) Az x y z x y A取 和 則 ， 均 為 零 ， 原 方 程 可 簡 化 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1
11、 1 , a a a a a a a ad y d yd x a d x a 1 1 2 2 z ( , ) z ( , ) x y c x y c進(jìn) 而 得 特 征 方 程 的 通 解 和 稱 為 特 征 曲 線 21 2 1 1 2 2 ( , ) 3x y a a a 根 據(jù) 判 別 式 的 符 號 可 將 二 階 線 性 偏 微 分 方 程 化 為 類 21 2 1 1 2 2 ( , ) 0 x y a a a 1 ） 原 方 程 為 雙 曲 型 偏 微 分 方 程 21 2 1 1 2 2 ( , ) 0 x y a a a 2 ） = 原 方 程 為
12、 拋 物 型 偏 微 分 方 程 u A u B u Cu F 雙 曲 型 方 程 的 第 一 標(biāo) 準(zhǔn) 型 形 式 u u A u B u Cu F 雙 曲 型 方 程 的 第 二 標(biāo) 準(zhǔn) 型 形 式 u A u B u Cu F 拋 物 型 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 型 形 式 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 22 2 22 0 uua tx 2 2 20 1 ( ) 0aa 雙曲型方程 02 2 2 2 y ux u 20 1 1 0 橢圓型方程 2 2 2 x ua t u 20 1 0 0 拋物型方程
13、 u u A u B u Cu F 橢 圓 型 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 型 形 式 21 2 1 1 2 2 ( , ) 0 x y a a a 3 ） < 原 方 程 為 橢 圓 形 偏 微 分 方 程 例如：波動方程 位勢方程 熱傳導(dǎo)方程 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ) ( )x y y xA A A a a a 由 于 （ 所以，判別式 的符號在作變量代換時不變，即所 作變量代換不改變方程類型 ( , )xy 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 4、線性疊加原理 線性方程的解具有疊加特性 1 L
14、 C u C L u C、 （ 為 任 意 常 數(shù) ） 2 ,1 ( ) ( ) ( ) ( )mmij i i j ii j i uuL u a x b x c x u f x x x x 對 n個自變量的二階線性偏微分方程 容易驗證 L是線性微分算子，即滿足性質(zhì) 1 2 1 2 1 2+ L u u L u L u u u2 、 （ 、 為 任 意 函 數(shù) ） 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2+ C u u C C L C u C u C L u L u 綜 合 得 ： 對 任 意 函 數(shù) 、 和 常 數(shù) 、 有 對于一般的線
15、性邊界條件 ( ) ( , ) S uu P t n 也可以寫成算子的形式 snuuuL )(0 可以證明 L0也是線性算子 數(shù)學(xué)物理方程 第一章 緒論 1 , 2 ,iiL u f i m iiuCu 疊加原理 1 設(shè) ui滿足線性方程（或者線性定解條件） 則它們的任意線性組合 也滿足方程（或定解條件） 11 mm i i i iL u L C u C f 疊加原理 2 設(shè) ui滿足線性方程（或者線性定解條件） 1 iiu C u 又 設(shè) 級 數(shù) 收 斂 及 滿 足 其 它 必 要 條 件 1 , 2 , ,iiL u f i 那么 u滿足線性方程（或者線性定解條件） 11i i i i L u L C u C f
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