《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 考點聚焦 第四章 圖形的初步認(rèn)識與三角形 第17講 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件1.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 考點聚焦 第四章 圖形的初步認(rèn)識與三角形 第17講 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件1.ppt（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 17講 銳角三角函數(shù)和解直角三角形 廣西專用 1 銳角三角函數(shù)的意義 Rt ABC中 ， 設(shè) C 90 ， 為 Rt ABC的一個銳角 ， 則： 的正弦 sin _________________________； 的余弦 cos _________________________； 的正切 tan _________________________ 的對邊 斜邊 的鄰邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 2 30 ， 45 ， 60 的三角函數(shù)值 正弦 余弦 正切 30 ____ ____ ____ 45 ____ ____ ____ 60 ____ ____
2、____ 1 2 32 33 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 3. 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 s in 2 co s 2 ____ ； ta n __ ___ __ 函數(shù)的增減性： (0 90 ) ( 1 ) s in ， ta n 的值都隨 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ； ( 2 ) co s 隨 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 1 sin cos 增大而增大 增大而減小 4 解直角三角形的概念、方法 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ，
3、求出所有未知元 素的過程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系：在 Rt ABC中 ， C 90 ， A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c， 則： (1)邊與邊的關(guān)系： _________________； (2)角與角的關(guān)系： __________________________； (3)邊與角的關(guān)系： __________________________________________________________ a2 b2 c2 A B 90 s in A co s B ac ， co s A s in B bc ， tan A ab ，
4、 tan B ba 5 直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用 ， 它經(jīng)常涉及 測量、工程、航海、航空等 ， 其中包括了一些概念 ， 一定要根據(jù)題意明 白其中的含義才能正確解題 (1)鉛垂線：重力線方向的直線； (2)水平線：與鉛垂線垂直的直線 ， 一般情況下 ， 水平面上的兩點確 定的直線我們認(rèn)為是水平線； ( 3 ) 仰角：向上看時 ， 視線 與水平線的夾角； ( 4 ) 俯角：向下看時 ， 視線與水平線的夾角； ( 5 ) 坡角：坡面與水平面的夾角； ( 6 ) 坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度 ( 或坡比 ) ， 一般情況 下 ， 我們用 h 表示坡的
5、鉛直高度 ， 用 l 表示坡的水平寬度 ， 用 i 表示坡度 ， 即 i h l ta n ， 顯然 ， 坡度越大 ， 坡角就越大 ， 坡面也就越陡； (7)方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于 90 的銳角叫 做方向角 注意：東北方向指北偏東 45 方向 ， 東南方向指南偏東 45 方向 ， 西北 方向指北偏西 45 方向 ， 西南方向指南偏西 45 方向我們一般畫圖的 方位為 “ 上北下南 ， 左西右東 ” 1 當(dāng)有些圖形不是直角三角形時 ， 應(yīng)大膽嘗試添加輔助線 ， 把它們分割 成一些直角三角形或矩形 ， 把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決 2 解直角三角形
6、的類型和解法 已知條件 圖形 解法 一直角邊和一銳角 (a ， A ) B 90 A ， c a s in A ， b a ta n A 已知斜邊和一個銳 角 (c ， A ) B 90 A ， a c s in A , b c co s A 已知兩直角邊 (a ， b ) c a 2 b 2 ， 由 ta n A a b 求 A ， B 90 A 已知斜邊和一條直 角邊 (c ， a ) b c 2 a 2 ， 由 s in A a c 求 A ， B 90 A 1 (2016南寧 )如圖 ， 廠房屋頂
7、人字形 (等腰三角形 )鋼架的跨度 BC 10 米 ， B 36 ， 則中柱 AD(D為底邊中點 )的長是 ( ) A 5sin36 米 B 5cos36 米 C 5tan36 米 D 10tan36 米 C 2 (2015柳州 )如圖 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， AB 13， AC 7 ， 則 sinB ____ 713 3 ( 2 0 1 5 桂林 ) 如圖 ， 在 Rt A B C 中 ， AC B 90 ， AC 8 ， BC 6 ， CD AB ， 垂足為 D ， 則 tan B C D 的值是 ____ 34 4 ( 2 0
8、1 6 梧州 ) 如圖 ， 四邊形 A B C D 是一片水田 ， 某村民小組需計算其面 積 ， 測得如下數(shù)據(jù)： A 90 ， A B D 60 ， C B D 54 ， AB 200 m ， BC 300 m ， 請你計算出這片水田的面積 ( 參考數(shù)據(jù)： s in 54 0 .8 0 9 ， co s 54 0 .5 8 8 ， ta n 54 1 .3 7 6 ， 3 1 .7 3 2 ) 解：過點 D 作 DE BC 于點 E ， 依題意易得 BD 400 ， 則 DE BD s in 54 ， B DC 的面積為 1 2 BC
9、BD s in 54 4 8 5 4 0 m 2 ， 水田總面積為 8 3 1 8 0 m 2 特殊角的三角函數(shù)值 【例 1 】 ( 20 16 百色 ) 計算： 9 2 s i n 60 |3 3 | ( 2016 ) 0 . 解：原式 5 【 點評 】 利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運算 ， 往往與絕對值、乘 方、開方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目的 關(guān)鍵 ， 所以必須熟記 對應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 1 ) ( 2 0 1 6 玉林 ) s in 30 ( ) A . 2 2 B . 1 2 C . 3 2 D . 3 3
10、( 2 ) 計算： co s 2 60 co s 60 1 s in 30 ta n 2 45 s in 2 4 5 . B 解：原式 ( 1 2 ) 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 解直角三角形 【例 2 】 ( 2 0 1 6 包頭 ) 如圖 ， 已知 四邊形 A B C D 中 ， A B C 90 ， A D C 90 ， AB 6 ， CD 4 ， BC 的延長線與 AD 的延長線交于點 E. ( 1 ) 若 A 60 ， 求 BC 的長； ( 2 ) 若 s in A 4 5 ， 求 AD 的長 解： (
11、 1 ) A 60 ， A B E 90 ， AB 6 ， ta n A BE AB ， E 30 ， BE ta n 60 6 6 3 ， 又 C DE 90 ， CD 4 ， s in E CD CE ， E 30 ， CE 4 1 2 8 ， BC BE CE 6 3 8 ( 2 ) A B E 90 ， AB 6 ， s in A 4 5 BE AE ， 設(shè) BE 4x ， 則 AE 5x ， 得 AB 3x ， 3x 6 ， 得 x 2 ， BE 8 ， AE 10 ， ta n E A
12、B BE 6 8 CD DE 4 DE ， 解得 ， DE 16 3 ， AD AE DE 10 16 3 14 3 ， 即 AD 的長是 14 3 【 點評 】 解直角三角形中 ， 除了直角外 ， 還知道兩個元素 (至少有一 個是邊 )， 就能求出其余的邊和角 ， 一般三角形中 ， 知道三個元素 (至 少有一個是邊 )， 就能求出其余的邊和角 ， 這時一般需要構(gòu)造直角三角 形 ， 但注意盡量不要破壞所給的條件 (特別是已知的角 ) 對應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 1 ) ( 2 0 1 3 河池 ) 如圖 ， 在 A B C 中 ， AC 6 ， BC 5 ， s
13、in A 2 3 ， 則 ta n B ____ . 43 ( 2 ) ( 2 0 1 4 柳州 ) 如圖 ， 在 AB C 中 ， BD AC ， AB 6 ， AC 5 3 ， A 30 . 求 BD 和 AD 的長； 求 ta n C 的值 解： BD AC ， AD B 90 ， 在 Rt A DB 中 ， AB 6 ， A 30 ， BD 1 2 AB 3 ， AD 3 BD 3 3 CD AC AD 5 3 3 3 2 3 ， 在 Rt B C D 中 ， ta n C BD CD 3 2 3 3 2
14、 解直角三角形的實際運用 【 例 3】 (2016海南 )如圖 ， 在大樓 AB的正前方有一斜坡 CD， CD 4 米 ， 坡角 DCE 30 ， 小紅在斜坡下的點 C處測得樓頂 B的仰角為 60 ， 在斜坡上的點 D處測得樓頂 B的仰角為 45 ， 其中點 A， C， E在同一直 線上 (1)求斜坡 CD的高度 DE； (2)求大樓 AB的高度 (結(jié)果保留根號 ) 解： ( 1 ) 在 Rt DC E 中 ， DC 4 米 ， DC E 30 ， D EC 90 ， DE 1 2 DC 2 米 ( 2 ) 過 D 作 DF AB ， 垂足為點 F ， B
15、 FD 90 ， B DF 45 ， DB F 45 ， 即 B FD 為等腰直角三角形 ， 設(shè) BF DF x 米 ， 四邊形 DEA F 為矩形 ， AF DE 2 米 ， AB ( x 2 ) 米 ， 在 Rt A B C 中 ， A B C 30 ， BC AB co s 30 x 2 3 2 2x 4 3 3 （ 2x 4 ） 3 米 ， BD 2 BF 2 x 米 ， DC 4 米 ， DC E 30 ， AC B 60 ， D C B 90 ， 在 Rt B C D 中 ， 根據(jù)勾股定理得：
16、2x 2 （ 2x 4 ） 2 3 16 ， 解得 x 4 4 3 或 x 4 4 3 ( 舍去 ) ， 則 AB (6 4 3 ) 米 【 點評 】 此題考查了坡度、坡角問題以及俯角、仰角的定義要注 意根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形 ， 并解直角三角形；注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想與方程思想的應(yīng)用 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 1 ) ( 2 0 1 6 賀州 ) 如圖 ， 是某市一座人行天橋的示意圖 ， 天橋離地面的高 BC 是 10 米 ， 坡面 10 米處有一建筑物 HQ ， 為了方便使行人推車過天橋 ， 市政府部門決定降低坡度 ， 使新坡面 DC 的傾斜角 B DC 30
17、 ， 若新坡 面下 D 處與建筑物之間需 留下至少 3 米寬的人行道 ， 問該建筑物是否需要 拆除 ( 計算最后結(jié)果保留一位小數(shù) ， 參考數(shù)據(jù)： 2 1 .4 1 4 ， 3 1 .7 3 2 ) 解：由題意得 ， AH 10 米 ， BC 10 米 ， 在 Rt A B C 中 ， C A B 45 ， AB BC 10 米 ， 在 Rt DB C 中 ， C DB 30 ， DB BC ta n C DB 10 3 米 ， DH AH AD AH ( DB A B ) 10 10 3 10 20 10 3 2 .7 ( 米
18、 ) ， 2. 7 米 3 米 ， 該建筑物需要拆除 ( 2 ) ( 2 0 1 5 北海 ) 如圖 ， A 為某旅游景區(qū)的最佳觀景點 ， 游客可從 B 處乘坐 纜車先到達(dá)小觀景平臺 DE 觀景 ， 然后再由 E 處繼續(xù)乘坐纜車到達(dá) A 處 ， 返程時從 A 處乘坐升降電梯直接到達(dá) C 處 ， 已知： AC BC 于 C ， DE BC ， BC 1 1 0 米 ， DE 9 米 ， BD 60 米 ， 32 ， 68 ， 求 AC 的高度 ( 參考數(shù)據(jù)： s in 32 0 .5 3 ； co s 32 0 .8 5 ； ta n 32 0 .6 2
19、； s in 68 0 .9 3 ； co s 68 0 .3 7 ； ta n 68 2 .4 8 ) 解：如解圖 ， 作 DF BC 于點 F ， 則 CG DF ， DG FC ， 在 Rt B DF 中 ， co s DB F BF BD ， BF 60 0 .8 5 51 ( 米 ) ， DE 9 米 ， EG DG DE 1 1 0 51 9 50 ( 米 ) ， ta n A E G AG EG ， AG 50 2 .4 8 124 ( 米 ) ， s in D B F DF BD ， DF 60 0 .5
20、 3 3 1 . 8 米 ， CG 3 1 .8 米 ， AC AG CG 124 3 1 . 8 1 5 5 .8 ( 米 ) 14.忽略直角三角形出錯 試題 在 A B C 中 ， A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ， 且 a b c 3 4 5 ， 求證： s in A s i n B 7 5 . 錯解 設(shè) a 3k ， b 4k ， c 5k ， 則 s in A a c 3k 5k 3 5 ， s in B b c 4k 5k 4 5 ， s in A s in B 3 5 4 5 7 5 . 剖析 本題中沒有說明 C 90 ， 而直接應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的定義是 錯誤的 ， 應(yīng)先證 明 A B C 為直角三角形 ， 且 C 90 后才能用定義 正解 設(shè) a 3k ， b 4k ， c 5k ( k 0 ) ， a 2 b 2 ( 3k ) 2 ( 4k ) 2 25k 2 c 2 ， A B C 是以 c 為斜邊的直角三角形 C 90 ， 則 s in A a c 3k 5k 3 5 ， s in B b c 4k 5k 4 5 ， s in A s in B 3 5 4 5 7 5
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