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1、- 1 - 中考模擬分類匯編 相似、位似、投影 一、選擇題： 1、 （2009浙江溫州模擬 1）已知 D、E 為ABC 的邊 AB、AC 上的兩點(diǎn)，且 AB=8，AC=6，AD=4，AE=3，則 =（ ）ASBC A、12 B、14 C、13 D、25 答案：B 2、 （2009浙江溫州模擬 8）現(xiàn)有一個測試距離為 5m 的視力表（如圖） ，根據(jù)這個視力 表，小華想制作一個測試距離為 3m 的視力表，則圖中的 的值為（ ）ba A B C D235 a b （ 第 3題 圖 ） 答案：D 3、 （2009浙江溫州模擬 8）如圖甲，將三角形紙片
2、 ABC 沿 EF 折疊可得圖乙（其中 EFBC） ，已知圖乙的面積與原三角形的面積之比為 34，且陰影部分的面積為 8 ，則原三角形面積為（ ） 2cm A12 B16 C20 D322c2cm2c （ 第 10題 圖 甲 ） （ 第 10題 圖 乙 ） A B C F E 答案：B 4、 （2009浙江溫州模擬 10）在 RtABC 的直角邊 AC 邊上有一動點(diǎn) P(點(diǎn) P 與點(diǎn) A、C 不 重合),過點(diǎn) P 作直線截得的三角形與ABC 相似,滿足條件的直線最多有 （ ) - 2 - (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)4 條 答案：D 5
3、、(2009 年江蘇蘇港數(shù)學(xué)綜合試題)如圖，點(diǎn) D、E、F 分別是ABC（ABAC）各邊的 中點(diǎn)，下列說法中，錯誤的是（ ） A、AD 平分 BAC B EF= BC 21 C EF 與 AD 互相平分 D DFE 是ABC 的位似圖形 6、 （2009 年山東三維齋一模試題）一塊含 30角的直角三角板（如圖 5） ，它的斜邊 AB=8cm，里面空心DEF 的各邊與ABC 的對應(yīng)邊平行，且各對應(yīng)邊的距離都是 1 cm，那么DEF 的周長是( ) A. 5 cm B. 6 cm C.（ ）cm D.（ ）cm 363 答：B 7、(2009 年安徽桐城白馬中學(xué)
4、模擬三 ).如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意 圖.點(diǎn) P 處放一水平的平面鏡, 光線從點(diǎn) A 出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻 CD 的頂端 C 處,已知 ABBD，CDBD , 且測得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD =12 米,那 么該古城墻的高度是（ ） A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D.24 米 答案: A 8、(2009 年浙江省嘉興市評估 5)如圖，點(diǎn) ， ， ， 在射線 上，點(diǎn) ， ，1A234OA1B2 在射線 上，且 ， 。若 ，3BO1B231B23 C A B D E F A B P D （第 7 題圖） C C
5、 - 3 - A B C E D OB A C D E 的面積分別為 1，4，則圖中三個陰影三角形面積之和為32AB 答案:10.5 第 8 題圖 9、(2009 海南省瓊海市年模擬考試（ 3） 下列四個選項(xiàng)中的三角形，與圖 2 中的三角形相 似的是（ ） 答案:B 10、 （09 河南扶溝縣模擬）如圖，已知平行四邊形 ABCD 中， ，45DBC 于 ， 于 ， 相交于 ， 的延長線相交于DEBCFDEBF， HA， ，下面結(jié)論：G 2AH BG 其中正確的結(jié)論是（ ） A B C D 答案：B 二、填空題： 1、(2009 年湖北隨州 十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)如圖，五邊形 ABC
6、DE 與五邊形 ABCDE 是位似圖形，O 為位似中心，OD= OD，則 AB:AB 為 。12 答：2 A4 B3 A3 B2 B O AB1 A2A1 A B DC圖 2 BCDEFH - 4 - 2、(2009 年江蘇蘇港數(shù)學(xué)綜合試題)如圖，P 是 RtABC 的斜邊 BC 上異于 B，C 的一點(diǎn)， 過 P 點(diǎn)作直線截ABC，使截得的三角形與ABC 相似，滿足這樣條件的直線共有 條 解：3 3、 （2009 年浙江溫州龍港三中模擬試卷）如圖，身高為 1.5m 的某學(xué)生想測量一棵大樹的 高度，她沿著樹影 BA 由 B 到 A 走去，當(dāng)走到 C 點(diǎn)時，她的影子頂端正好與樹的影子
7、 頂端重合，測得 BC=3m , CA=1m, 則樹的高度為 。 解：6 4、 （2009 江蘇通州通西一模試卷）如圖，已知 D、E 分別是 的 AB、AC 邊上的點(diǎn)，ABC 且 =1:2, 則ADE 與四邊形 DBCE 的面積之比為 ,DEBC:AE 解： 1:8 5、 （2009 年山東三維齋一模試題）為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度， 學(xué) 校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè) 計(jì)如圖 11 所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在離樹底（B）8.4 米的點(diǎn) E 處，然 后沿著直線 BE 后退到點(diǎn) D，這時恰好在鏡子里看到樹梢
8、頂點(diǎn) A，再用皮尺量得 DE2.4 米，觀察者目高 CD1.6 米，則樹（AB）的高度為___________米 解：5.6 6、(2009 年江蘇蘇港數(shù)學(xué)綜合試題)頂角為 36的等腰三角形稱為黃金三角形。如圖， A C PB A C D E B BA C - 5 - （第 2 題） ABC、BDC、DEC 都是黃金三角形已知 AB=1，則 DE=___________________ 7、 （2009 年遼寧鐵嶺西豐二中中考模擬考試）如圖，在梯形 中，ABCD ABDC ，DNCB，E、F 分別為 AD、DN 的中點(diǎn)， EF 的延長線交 BC 于點(diǎn) M，若 EM18 cm，DC10cm，則
9、 AB 的長等于 . 解： 26 cm 8、 （2009浙江溫州模擬 1）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時，發(fā)現(xiàn)相似三角形 的定義、判定及其性質(zhì)，可以拓展到扇形的相似中去.請寫出一個適當(dāng)?shù)呐卸▋蓚€扇形 的方法： _______ 。 答案：兩個圓心角相等或半徑與弧的比對應(yīng)成比例。 9、 （2009浙江溫州模擬 1） 數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹的高度， 在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為 1 米的竹竿的影長為 米同時另一名同學(xué)測量一棵樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不0.8 全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖） ，其 影長為 米，落在地面上的影長為 米，則樹高為
10、 米1.22.4 答案：4.2 10、 （2009浙江溫州模擬 6）呂曉同學(xué)想利用樹影的長測量校園內(nèi)一棵大樹的高度，他 在某一時刻測得一棵小樹的高為 1.5 米，其影長為 1.2 米，同時，他測得這棵大樹的 影長為 3 米，則這棵大樹的實(shí)際高度為 米。 答案： 3.75 11、 （2009浙江溫州模擬 3）如圖，已知正ABC 的面積為 1。 E D CB A A D F B M C N - 6 - 211CAB S A 1B1C1=1432413CAB988A在圖（1）中，若 ， 則 ； 在圖（2）中，若 ，則
11、； 在圖（2）中，若 ，則 ； 按此規(guī)律,若 , 則 。 答案： 2719 12、 （2009浙江溫州模擬 4）如圖，地面 處有一支燃燒的蠟燭（長度不計(jì)） ，一個人A 在 與墻 之間運(yùn)動，則他在墻上投影長度隨著他離墻的距離變小而 ABC （填“變大” 、 “變小”或“不變” ） 答案：變小 13、 （09 鞏義市模擬）如圖，在 RtABC 中，已知：C90，A60，AC3cm， 以斜邊 AB 的中點(diǎn) P 為旋轉(zhuǎn)中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90得到 Rt A
12、B C ，則旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊部分的面積為_____________ cm 2 答案： 49 C 2 B2 A2 C A B C 3 B3 A3 C A B C 1 B1 A1 C A B S A 2B2C2=13 S A 3B3C3=716 S A 8B8C8= P B C A C BA （第 13 題） - 7 - 三、解答題： 1、 （2009 江蘇通州通西一模試卷）如圖，已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，B 、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （3，1） 、 （2，1） ，以 O 點(diǎn)為位似中心在 y 軸的左側(cè)將 OBC 放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為 2） （
13、1）畫出圖形； （2）分別寫出 B、 C 兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn) B、 C 的坐標(biāo)； （3）如果OBC 內(nèi)部一點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（x ， y） ，寫出 M 位似變化的對應(yīng)點(diǎn) M 的坐標(biāo) 解：（1）圖形略3 分 （2）B（6， 2） 、 C（4 ，2）5 分 （3）M（2x ， 2y）6 分 2、 （2009 江蘇通州通西一模試卷）如圖：矩形 ABCD 的長 AB=30，寬 BC=20 （1）如圖（1）若沿矩形 ABCD 四周有寬為 1 的環(huán)形區(qū)域，圖中所形成的兩個矩形 ABCD 與 ABCD 相似嗎？請說明理由 （2）如圖（2） ，x 為多少時，圖中的兩個矩形 ABCD 與 ABCD相似？ 解：（1）不相
14、似，AB=30，A B=28 ， BC=20， B C=18，而 4 分28130 （2）由題意知： ，解得 7 分302x1.5x - 8 - 或 ，解得 10 分302x9x 3、 （2009 年山東三維齋一模試題）在等邊ABC 中，點(diǎn) D 為 AC 上一點(diǎn)，連結(jié) BD，直線 與l 線段 BA、BD、BC 分別相交于點(diǎn) E、P、F，且BPF60 （1）如圖 1，寫出圖中所有與BDC 相似的三角形，并選擇其中一對給予證明； （2）若直線 向右平移，與線段 BA、BD、BC 或其延長線分別相交于 E、P、F，請?jiān)趫D 2l 中畫出一個與圖 1 位置不盡相同的圖形（其它條件不變） ，此時， （1）
15、中的結(jié)論是否 仍然成立？若成立，請寫出來（不證明） ，若不成立，請說明理由； （3）探究：如圖 1，當(dāng) BD 滿足什么條件時（其它條件不變） ，BPE 的面積是BPF 的 面積的 2 倍？請寫出探究結(jié)果，并說明理由 （說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字 母）. 解：(1) BDCBFP 、BDCEFB2 分 以BDCBFP 以為例，證明如下： CBPF60又CBD=PBF BDCBFP5 分 (2) 畫出圖形 6 分 結(jié)論均成立，BDCBFP 、BDCEFB8 分 (3) BD 平分ABC 時，BPE 的面積是BPF 的面積的 2 倍9 分 證明：BD 平分ABC，ABPPBF30， BPF=60
16、BFP=90，PF PB10 分 12 又BEPPBE30， PEPB，PF PE11 分 12 BPE 的面積是BPF 的面積的 2 倍 12 分 4、(2009 年深圳市數(shù)學(xué)模擬試卷)汪老師要裝修自 圖2圖1 A B C D l P F E D CB A 圖 8 - 9 - 己帶閣樓的新居（圖 8 為新居剖面圖） ，在建造客廳到閣樓的樓梯 AC 時，為避免上 樓時墻角 F 碰頭，設(shè)計(jì)墻角 F 到樓梯的豎直距離 FG 為 1 . 75m 他量得客廳高 AB = 2 . 8m，樓梯洞口寬 AF=2m， 閣樓陽臺寬 EF = 3m 請你幫助汪老師解決下列 問題： （1） （4 分）要使墻角 F
17、 到樓梯的豎直距離 FG 為 1.75m,樓梯底端 C 到墻角 D 的距離 CD 是多少米？ （2） （3 分）在（1）的條件下，為保證上樓時的舒適感，樓梯的每個臺階高小于 20cm，每個臺階寬要大于 20cm, 問汪老師應(yīng)該將樓梯建幾個臺階？為什么？ 解：（1）根據(jù)題意有 AFBC， ACB=GAF，又 ABC=AFG=90 ，0 ABC GFA ，得 BC=3.2(m),CD=(2+3)-3.2=1.8(m)BCAFG （2）設(shè)樓梯應(yīng)建 x 個臺階，則， 0.2.83x 解得，14x16 樓梯應(yīng)建 15 個臺階 5、 （2009浙江溫州模擬 6）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)
18、A（0，6） 、點(diǎn) B（8，0） ，動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始在線段 AO 上以每秒 1 個單位長度的速度向點(diǎn) O 移動，同 時動點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開始在線段 BA 上以每秒 2 個單位長度的速度向點(diǎn) A 移動,設(shè)點(diǎn) P、Q 移 動的時間為 t 秒 (1) 求直線 AB 的解析式； (2) 當(dāng) t 為何值時，APQ 與AOB 相似？ (3) 當(dāng) t 為何值時，APQ 的面積為 個平方單位？5 24 - 10 - （1） 設(shè)直線 AB 的解析式為 yk xb 由題意，得 解得 b=680k346 所以，直線 AB 的解析式為 y x6 4 分 （2）由 AO6， BO8 得 AB10
19、 所以 AP t ，AQ102 t 1) 當(dāng)APQAOB 時，APQAOB 所以 解得 t (秒) 2 分6t10t130 2) 當(dāng)AQPAOB 時，AQPAOB 所以 解得 t (秒) t2t35 （3）過點(diǎn) Q 作 QE 垂直 AO 于點(diǎn) E 在 RtAOB 中，SinBAO ABO54 在 RtAEQ 中， QEAQSinBAO(10-2 t) 8 t 2 分 SAPQ APQE t(8 t)215 4 t 5 解得 t2（秒）或 t3（秒） 2 分 6、 （2009浙江溫州模擬 7）以 O 點(diǎn)為位似中心，在按位似比為 2：1 將圖形縮小，請?jiān)?O
20、的另一側(cè)畫出它的位似圖形。 答案：寫出已知、求證得 2 分，結(jié)論 1 分，圖形 3 分（圖略） 7、 （2009浙江溫州模擬 8） C B A o (17 題圖) - 11 - 如圖， 為等邊三角形，面積為 分別是 三邊上的點(diǎn)，ABC S11DEF，ABC 且 ，連結(jié) ，可得 112DEF 1DE （1）用 S 表示 的面積 = ， 的面積 = ； 11 S （2）當(dāng) 分別是等邊 三邊上的點(diǎn)，且 時，22，ABC 223ABCFAB 如圖，求 的面積 和 的面積 ；ADF 2S2DEF （3）按照上述思路探索下去，當(dāng) 分別是等邊 三邊上的點(diǎn)，且nn， 時（ 為正整數(shù)） ，
21、 的面積 = 1nnBECBnA nS ， 的面積 = nDF nS D 2 E2 F2F1 E1 D1 A B CCB A 答案： 解：（1） ， 2 分14S1S （2）設(shè) 的邊長為 a，則 的面積ABC 2ADF2213sin9aSADF 又 的面積 ， ， 4 分234S24a29 為等邊三角形， ， ABC ABC60AB ， 222111333DEF， 2233FCDAB， ， 同理： DE 2FCE 的面積 6 分2F229SSS （3） ， 10 分2(1)n21n
22、- 12 - F 2 E2 D2 CB A 8、 （2009浙江溫州模擬 12） 如圖，小麗在觀察某建筑物 AB. （1）請你根據(jù)小亮在陽光下的投影，畫出建筑物 在陽光下的投影.AB （2）已 知 小 麗 的 身 高 為 1.65m， 在 同 一 時 刻 測 得 小 麗 和 建 筑 物 AB 的 投 影 長 分 別 為 1.2m 和 8m， 求 建 筑 物 AB 的 高 . 答案：（1）如圖.（2）如圖，因?yàn)?DE，AF 都垂直于地面，且光線 DFAC ，所以 RtDEF RtABC.所以 .所以 .所以 AB11（m）.即建筑物 AB 的高DEFABC1.6528AB 為 .m 9.(2
23、009 海南省瓊海市年模擬考試（ 3）.如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是 1 的正 方形）中完成下列各題： （1）圖形 ABCD與圖形 1關(guān)于直線 MN成軸對稱，請?jiān)趫D中畫出對稱軸并標(biāo)注 上相應(yīng)字母 M、 N； （2）以圖中 O點(diǎn)為位似中心，將圖形 ABCD放大，得到放大后的圖形 2ABCD，則圖 形 ABCD與圖形 2的對應(yīng)邊的比是多少？（注：只要寫出對應(yīng)邊的比即可） A B A B F C D E - 13 - （3）求圖形 2ABCD的面積 答案: 解：（1）如圖所示：畫出對稱軸 MN； （2）對應(yīng)邊的比為 1:2 （3） 2 21486ABCDSAC 10.(2009 年浙江省嘉興
24、市秀洲區(qū)素質(zhì)評估卷 8).如圖 2， 是以 為直徑的 上一點(diǎn)，ABCOA 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 的切線，與 的延長線相交于點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，OEG， D 連結(jié) 并延長與 相交于點(diǎn) ，延長 與 的延長線相交于點(diǎn) GBEFP （1）求證： ；F （2）求證： 是 的切線；PA （3）若 ，且 的半徑長為 ，求 和 的長度BO32BDFG OD G C A E F BP 圖 2 - 14 - 答案：（1）證明： 是 的直徑， 是 的切線，BC OABEOA EB 又 ， AD 易證 ， FG FC C ， BEDAG 是 的中點(diǎn)， F （2）證明：連結(jié) AO， 是 的直徑， B 90B
25、C 在 中，由（1） ，知 是斜邊 的中點(diǎn)，RtE FE F A 又 ， OA O 是 的切線， B 90B ， 是 的切線90EFOF PA O （3）解：過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ， FHADADH ， FBC 由（1） ，知 ， 由已知，有 ， ，即 是等腰三角形BG G ， ， ，即 A 2 12G ，90FHDFBD ， ， 四邊形 是矩形， H ，易證 BC GC - 15 - ，即 FHGCD 12BDFGHC 的半徑長為 ， OA 326 解得 1BB 2BDFH ， 12FGHCD FGC 3FG 在 中， ， ，由勾股定理，得 RtB 3 22C
26、 解得 （負(fù)值舍去） 22(3)(6) 3F 圖 3 11、 （09 河南扶溝縣模擬） （8 分）如圖，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的 頂點(diǎn)都在邊長為 1 的小正方形的頂點(diǎn)上 （1） 填空：ABC= ，BC= ； （2） 判斷ABC 與DEF 是否相似，并證明你的結(jié)論 OD G C A E F BP - 16 - 答案：解：（1）ABC=135, BC= ； 2 （2）能判斷ABC 與DEF 相似（或ABC DEF ） 這是因?yàn)锳BC =DEF = 90+45=135 , ，2ABDE2CF ABCDEF.ABCDEF
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