高中數(shù)學 第4章 導數(shù)應(yīng)用 1_2 函數(shù)的極值課件 北師大版選修1-1

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1、1.2函數(shù)的極值,,學課前預(yù)習學案,“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，說的是廬山的高低起伏，錯落有致在群山之中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點同樣，各個谷底雖然不一定是群山之中的最低處，但它卻是附近的最低點 那么，在數(shù)學上，如何來刻畫這種現(xiàn)象呢？,(1)在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在__________的函數(shù)值都__________x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值 (2)在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在__________的函數(shù)值都__________x0點的函數(shù)值，稱

2、點x0為函數(shù)yf(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值,1函數(shù)極值的有關(guān)定義,任何一點,不大于,任何一點,不小于,極大值,極小值,極大值點,極小值點,函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像如圖所示 (1)注意區(qū)別極值點與極值概念 如圖，函數(shù)yf(x)的極大值點為x1，x3； 函數(shù)yf(x)的極小值點為x2，x4. 函數(shù)yf(x)的極大值為f(x1)，f(x3)； 函數(shù)yf(x)的極小值為f(x2)，f(x4) 極值點為函數(shù)取極值時函數(shù)的自變量x的值,(2)函數(shù)的極值點在函數(shù)定義區(qū)間(a，b)內(nèi)，不可能是區(qū)間端點 (3)若函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有多個極值時，極大值點與極小值點一般交

3、替出現(xiàn)，且兩個相鄰極大(小)值點間必有一個極小(大)值點 (4)函數(shù)的極大值與極小值間無必然的大小關(guān)系如圖，盡管x2，x4均為極小值點，但f(x2)f(x4)，有時yf(x)的極小值反比極大值大，如圖中f(x4)f(x1),(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間(x0，b)上是單調(diào)遞減的，則x0是極_____值點，f(x0)是極_____值 (2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是單調(diào)遞減的，在區(qū)間(x0，b)上是單調(diào)遞增的，則x0是極_____值點，f(x0)是極_____值,2函數(shù)的單調(diào)性與極值,大,大,小,小,(1)對于可導函數(shù)來說，yf(x)在極值點處的

4、導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點例如，函數(shù)yx3在x0處，f(0)0，但x0不是函數(shù)的極值點 (2)可導函數(shù)yf(x)在x0處取得極值的充要條件是f(x)0，且在x0的左側(cè)與右側(cè)，f(x)的符號不同 (3)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上有極值，則yf(x)在(a，b)上不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值例如，函數(shù)yx2在2,2上有極值，其單調(diào)性是先減后增；函數(shù)yx3在R上是遞增的，沒有極值 (4)極大值點可以看成函數(shù)遞增區(qū)間到遞減區(qū)間的轉(zhuǎn)折點，極小值點可以看成函數(shù)遞減區(qū)間到遞增區(qū)間的轉(zhuǎn)折點,1函數(shù)f(x)x33x27的極大值是() A7B7 C3D3 解析：f(x)3x26x，由

5、f(x)0得x0或x2，在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)<0，f(0)7為函數(shù)的極大值 答案：B,2函數(shù)f(x)ax3bx在x1處有極值2，則a，b的值分別為() A1，3B1,3 C1,3D1，3 解析：f(x)3ax2b，f(1)3ab0，ab2， 解得a1，b3. 答案：A,3函數(shù)yx36x的極大值為________，極小值為________,,講課堂互動講義,求函數(shù)的極值,求函數(shù)極值的一般步驟是： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求方程f(x)0的根； (3)用方程f(x)0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格； (4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符號，

6、來判斷f(x)在這個根處取極值的情況 如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值,解析：(1)因為f(x)x44x35， 所以f(x)4x312x24x2(x3) 令f(x)4x2(x3)0，得x10，x23. 當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：,設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx2cx在x1和x1處有極值，且f(1)1，求a、b、c，并求其極值,含參數(shù)的函數(shù)的極值,此類問題屬于逆向思維問題，通過對算法過程和原理的分析，發(fā)現(xiàn)題目中蘊含的等量關(guān)系或不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵,2已知函數(shù)f(x)x33ax22bx在點x1處的極小值為1，試確定a，b

7、的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間,(12分)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa. (1)求f(x)的極值； (2)當a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點？ 思路導引(1)先求導數(shù)f(x)，然后按求極值的基本方法求解 (2)當函數(shù)f(x)的極大值小于零或極小值大于零時，曲線yf(x)與x軸僅有一個交點，進而得關(guān)于a的不等式求解即可,函數(shù)極值的應(yīng)用,極值問題的綜合應(yīng)用主要涉及到極值的正用和逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合，題目著重考查已知與未知的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想在解題中的應(yīng)用，在解題過程中，要熟練掌握單調(diào)區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略,3已知a為實數(shù)，函數(shù)

8、f(x)x33xa. (1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫出其圖像(草圖)； (2)當a為何值時，方程f(x)0恰好有兩個不同的實數(shù)根？ 解析：(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23， 令f(x)0，得x1或x1. 當x(，1)時，f(x)0； 當x(1,1)時，f(x)0； 當x(1，)時，f(x)0. 所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1) a2；極大值為f(1)a2.,由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖像，如圖所示這里，極大值a2大于極小值a2. (2)結(jié)合圖像，當極大值a20時，有極小值小于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)0恰有兩個不同的實數(shù)根，所以a2滿足

9、條件； 當極小值a20時，有極大值大于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點， 即方程f(x)0恰有兩個不同的實數(shù)根 所以a2也滿足條件 綜上，當a2時，方程恰有兩個不同的實數(shù)根,已知f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0，求常數(shù)a，b的值,【錯因】根據(jù)極值的定義，函數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值，此題未驗證x1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，故求錯 【正解】求解過程同上 當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去， 當a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3)， 當x(3，1)時，f(x)為減函數(shù)， 當x(1，)時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)在x1處取得極小值，因此a2，b9.,