圓錐曲線專題.doc

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用橢圓的定義解題 橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的幾何性質(zhì)．有些問題，如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來解決，可以起到事半功倍的效果，下面通過幾個(gè)例子進(jìn)行說明． 1．求最值 例1　線段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動時(shí)，PM的長度的最小值是(　　) A．2 B. C. D．5 解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn)，A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的長度的最小值是b＝. 答案　C 2．求動點(diǎn)坐標(biāo) 例2　橢圓＋＝1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 解析　設(shè)橢圓上的動點(diǎn)為P，由橢圓的定義可知 |PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 所以|PF1|·|PF2|≤2＝2 ＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)取等號． 由 解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a， 此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)， 即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(±3,0)． 答案　(±3,0) 點(diǎn)評　由橢圓的定義可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即兩個(gè)正數(shù)|PF1|，|PF2|的和為定值，結(jié)合基本不等式可求|PF1|，|PF2|積的最大值，結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．求焦點(diǎn)三角形面積 例3　如圖所示，已知橢圓的方程為＋＝1，若點(diǎn)P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積． 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，① 由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 將②代入①，得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120° ＝××2×＝， 即△PF1F2的面積是. 點(diǎn)評　在△PF1F2中，由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，消去|PF2|可求|PF1|. 從以上問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問題，我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　如何求橢圓的離心率 1．由橢圓的定義求離心率 例1　以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點(diǎn)的圓，交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為________． 解析　如圖所示，設(shè)橢圓的方程為＋＝1 (a>b>0)，半焦距為c，由題意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c， |AF1|＝2c·sin 60°＝c. ∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c. ∴e＝＝＝－1. 答案?。? 點(diǎn)評　本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì)，并結(jié)合橢圓的定義，化難為易，使問題簡單解決． 2．解方程(組)求離心率 例2　橢圓＋＝1 (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F1到直線AB的距離為，則橢圓的離心率e＝________. 解析　如圖所示，直線AB的方程為＋＝1， 即bx－ay＋ab＝0. ∵點(diǎn)F1(－c,0)到直線AB的距離為，∴＝， ∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2. 又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0. 兩邊同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0， 解得e＝或e＝(舍去)． 答案　 3．利用數(shù)形結(jié)合求離心率 例3　在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)，圓O的半徑為a，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，且這兩條切線互相垂直，則離心率e＝________. 解析　如圖所示，切線PA、PB互相垂直，PA＝PB. 又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB， 則四邊形OAPB是正方形， 故OP＝OA， 即＝a，∴e＝＝. 答案　 4．綜合類 例4　設(shè)M為橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求橢圓的離心率． 解　由正弦定理得＝＝ ＝＝， ∴e＝＝＝＝. 點(diǎn)評　此題可推廣為若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，則橢圓的離心率e＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　活用雙曲線定義妙解題 在解雙曲線中的有關(guān)求動點(diǎn)軌跡、離心率、最值等問題時(shí)，若能靈活應(yīng)用雙曲線的定義，能把大題化為小題，起到事半功倍的作用．下面舉例說明． 1．求動點(diǎn)軌跡 例1　一動圓C與兩定圓C1：x2＋(y－5)2＝1和圓C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切，求動圓圓心C的軌跡方程． 解　設(shè)動圓圓心為C(x，y)，半徑為r， 因?yàn)閯訄AC與兩定圓相外切， 所以 即|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|＝10， 所以點(diǎn)C的軌跡是以C1(0,5)，C2(0，－5)為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且a＝，c＝5，所以b2＝. 故動圓圓心C的軌跡方程為－＝1(y≥)． 點(diǎn)評　依據(jù)動圓與兩定圓外切建立關(guān)系式，易得到|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|，從而判斷出C的軌跡是雙曲線的一支，最后求出a，b即可寫出軌跡方程，這里一定要注意所求的軌跡是雙曲線的一支還是兩支． 2．求焦點(diǎn)三角形的周長 例2　過雙曲線－＝1左焦點(diǎn)F1的直線與左支交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB長為6，則△ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長是________． 解析　由雙曲線的定義知|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8， 兩式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16， 從而有|AF2|＋|BF2|＝16＋6＝22， 所以△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28. 答案　28 點(diǎn)評　與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形周長問題，常借助雙曲線的定義解決，注意解決問題時(shí)的拼湊技巧． 3．最值問題 例3　已知F是雙曲線－y2＝1的右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一動點(diǎn)，定點(diǎn)M(4,2)，求|PM|＋|PF|的最小值． 解　設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′， 則F′(－2,0)， 由雙曲線的定義知：|PF′|－|PF|＝2a＝2， 所以|PF|＝|PF′|－2， 所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2， 要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，由圖可知，當(dāng)P、F′、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF′|最小，此時(shí)|MF′|＝2， 故|PM|＋|PF|的最小值為2－2. 點(diǎn)評　本題利用雙曲線的定義對F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后再根據(jù)共線易求得最小值．另外同學(xué)們不妨思考一下：①若將M坐標(biāo)改為M(1,1)，其他條件不變，如何求解呢？②若P是雙曲線左支上一動點(diǎn)，如何求解呢？ 4．求離心率范圍 例4　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，試求該雙曲線離心率的取值范圍． 解　因?yàn)閨PF1|＝4|PF2|，點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 所以設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝4m， 由雙曲線的定義，則|PF1|－|PF2|＝4m－m＝2a， 所以m＝a. 又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， 即4m＋m≥2c， 所以m≥c，即a≥c，所以e＝≤. 又e>1，所以雙曲線離心率的取值范圍為10)過焦點(diǎn)F的一條弦．設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，過A、M、B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1、M1、B1，則有以下重要結(jié)論： (1)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切； (2)|AB|＝2(x0＋)(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系)； (3)|AB|＝x1＋x2＋p； (4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2； (5)A1F⊥B1F； (6)A、O、B1三點(diǎn)共線； (7)＋＝. 以下以第(7)條結(jié)論為例證明： 證明　當(dāng)直線AB的斜率不存在， 即與x軸垂直時(shí)，|FA|＝|FB|＝p， ∴＋＝＋＝. 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為 y＝k，并代入y2＝2px， ∴2＝2px， 即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0. 設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)， 則xA＋xB＝，xAxB＝. ∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋， ∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p， |FA|·|FB|＝ ＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p)． ∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，即＋＝. 點(diǎn)評　該結(jié)論是拋物線過焦點(diǎn)的弦所具有的一個(gè)重要性質(zhì)，解題時(shí)，不可忽視AB⊥x軸的情況． 例　設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________. 解析　設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)． 由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6. 答案　6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5　求曲線方程的常用方法 曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的常考點(diǎn)．求曲線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)曲線的不同背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能簡捷明快地解決問題．下面對其求法進(jìn)行探究． 1．定義法 求曲線方程時(shí)，如果動點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識去尋求其數(shù)量關(guān)系，再由曲線定義直接寫出方程，這種方法叫做定義法． 例1　如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線E. (1)證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a＝2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e∈，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍． 解　(1)依題意，直線m為線段AM的垂直平分線， ∴|NA|＝|NM|. ∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2， ∴N的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為2的橢圓． 當(dāng)a＝2時(shí)，長軸長為2a＝4，焦距為2c＝2， ∴b2＝a2－c2＝3. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1 (a>b>0)． 由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)， ∴直線l的方程為＋＝1，即bx－y＋b＝0. 設(shè)Q(x，y)，∵點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線l對稱， ∴　消去x得y＝. ∵離心率e∈，∴≤e2≤， 即≤≤.∴≤a2≤4. ∴≤b2＋1≤4，即≤b≤， ∵y＝＝≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)取等號． 又當(dāng)b＝時(shí)，y＝；當(dāng)b＝時(shí)，y＝.∴≤y≤2. ∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是[，2]． 2．直接法 若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系，或者可運(yùn)用平面幾何的知識推導(dǎo)出等量關(guān)系，則可通過“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動點(diǎn)的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法． 例2　已知直線l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一動圓M(圓心和半徑都在變動)與l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26,24.求圓心M的軌跡方程． 解　如圖，設(shè)M(x，y)，圓半徑為r，M到l1，l2的距離分別是d1，d2， 則d＋132＝r2，d＋122＝r2， ∴d－d＝25， 即2－2＝25，化簡得圓心M的軌跡方程是(x＋1)2－y2＝65. 點(diǎn)評　若動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律是一些幾何量的等量關(guān)系，則常用直接法求解，即將這些關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成含有動點(diǎn)坐標(biāo)x，y的方程即可． 3．待定系數(shù)法 若已知曲線(軌跡)的形狀，求曲線(軌跡)的方程時(shí)，可由待定系數(shù)法求解． 例3　已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA＝，求橢圓的方程． 解　橢圓的長軸長為6，cos∠OFA＝， 所以點(diǎn)A不是長軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)， 所以|OF|＝c，|AF|＝＝ ＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 4．相關(guān)點(diǎn)法(或代入法) 如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立某種關(guān)系，借助于點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡便可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡． 例4　如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線l：x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程． 分析　設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻是QN的中點(diǎn)，為此需用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程即可． 解　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)， ∵點(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn)， ∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x－x0,2y－y0)． 又點(diǎn)N在直線x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2， 即x0＋y0＝2x＋2y－2.① 又QN⊥l，∴kQN＝＝1， 即x0－y0＝x－y.② 由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)． 又∵點(diǎn)Q在雙曲線上， ∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1. 化簡，得2－2＝. ∴線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為 2－2＝. 點(diǎn)評　本題中動點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān)，而Q點(diǎn)的軌跡確定，所以解決這類問題的關(guān)鍵是找出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法求解． 5．參數(shù)法 有時(shí)求動點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動常常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另一個(gè)變量的變化而變化，我們可以設(shè)這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法． 例5　已知點(diǎn)P在直線x＝2上移動，直線l通過原點(diǎn)且與OP垂直，通過點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 解　如圖，設(shè)OP的斜率為k， 則P(2,2k)．當(dāng)k≠0時(shí)， 直線l的方程：y＝－x；① 直線m的方程：y＝2k(x－1)．② 聯(lián)立①②消去k得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)． 當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)(0,0)也滿足上式，故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2＋y2－2x＝0(x≠1)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　解析幾何中的定值與最值問題 1．定點(diǎn)、定值問題 對于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口． 例1　已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，＋與a＝(3，－1)共線．設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求證：λ2＋μ2為定值． 證明　∵M(jìn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合， 則＝，此時(shí)λ＝1，μ＝0， ∴λ2＋μ2＝1，現(xiàn)在需要證明λ2＋μ2為定值1. 設(shè)橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)， ∴ ①－②得＋＝0， 即＝－＝－， 又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0. ∴直線ON的方向向量為＝， ∵∥a，∴＝. ∵a2＝3b2，∴橢圓方程為x2＋3y2＝3b2， 又直線方程為y＝x－c. 聯(lián)立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2. 又設(shè)M(x，y)，則由＝λ＋μ， 得代入橢圓方程整理得 λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2 ＝c2－c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值． 例2　已知拋物線y2＝2px (p>0)上有兩個(gè)動點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M(x0，y0)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列． 求證：線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)(x0＋p,0)． 證明　設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由拋物線定義，知 |AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋. 因?yàn)閨AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列， 所以2|MF|＝|AF|＋|BF|，即x0＝. 設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0，t)，t＝. 則kAB＝＝＝＝. 所以線段AB的垂直平分線方程為y－t＝－(x－x0)， 即t[x－(x0＋p)]＋py＝0. 所以線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)(x0＋p,0)． 2．最值問題 解決圓錐曲線中的最值問題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值． 例3　已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________． 解析　設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由題意可知F′坐標(biāo)為(4,0)，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三點(diǎn)共線，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9. 答案　9 點(diǎn)評　“化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法，特別是涉及圓錐曲線上動點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問題常用此法． 例4　已知平面內(nèi)一動點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1. (1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求·的最小值． 解　(1)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有－|x|＝1. 化簡得y2＝2x＋2|x|. 當(dāng)x≥0時(shí)，y2＝4x；當(dāng)x<0時(shí)，y＝0. 所以，動點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)． (2)如圖，由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為y＝k(x－1)． 由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根， 于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. 因?yàn)閘1⊥l2，所以l2的斜率為－. 設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)， 則同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. 故·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝||·||＋||·|| ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4≥8＋4×2＝16. 當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時(shí)，·取得最小值16. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　7　圓錐曲線中存在探索型問題 存在探索型問題作為探索性問題之一，具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富等命題要求，方便考查分析、比較、猜測、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛．圓錐曲線存在探索型問題是指在給定題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、性質(zhì)、圖形)使某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的數(shù)學(xué)問題．本節(jié)僅就圓錐曲線中的存在探索型問題展開，幫助復(fù)習(xí)． 1．常數(shù)存在型問題 例1　直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線y＝2x對稱？請說明理由． 分析　先假設(shè)實(shí)數(shù)a存在，然后根據(jù)推理或計(jì)算求出滿足題意的結(jié)果，或得到與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，從而否定假設(shè)，得出某數(shù)學(xué)對象不存在的結(jié)論． 解　設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使A，B關(guān)于直線l：y＝2x對稱，并設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為. 依題設(shè)有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)，① 又A，B在直線y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1， ∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，② 由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2， 即(2－a)(x1＋x2)＝2，③ 聯(lián)立得(3－a2)x2－2ax－2＝0， ∴x1＋x2＝，④ 把④代入③，得(2－a)·＝2， 解得a＝，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意， ∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1. 故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a. 2．點(diǎn)存在型問題 例2　在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為2的圓與直線y＝x相切于原點(diǎn)O，橢圓＋＝1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10. (1)求圓C的方程； (2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 分析　假設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q存在，根據(jù)其滿足的幾何性質(zhì)，求出Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q存在，若求不出Q的坐標(biāo)，則點(diǎn)Q就不存在． 解　(1)由題意知圓心在y＝－x上， 設(shè)圓心的坐標(biāo)是(－p，p) (p>0)， 則圓的方程可設(shè)為(x＋p)2＋(y－p)2＝8， 由于O(0,0)在圓上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2， ∴圓C的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)橢圓＋＝1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，由橢圓的定義知2a＝10，a＝5， ∴橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)． 假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)使|QF|＝|OF|， 則有且m2＋n2≠0， 解得 故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q. 3．直線存在型問題 例3　試問是否能找到一條斜率為k (k≠0)的直線l與橢圓＋y2＝1交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且使M，N到點(diǎn)A(0，1)的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由． 分析　假設(shè)滿足條件的直線l存在，由平面解析幾何的相關(guān)知識求解． 解　設(shè)直線l：y＝kx＋m為滿足條件的直線，再設(shè)P為MN的中點(diǎn)，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可． 由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝， ∴kAP＝.∵AP⊥MN， ∴＝－ (k≠0)，故m＝－. 由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3) ＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，得－1|F1F2|，亦即2a>2c.而本題中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2. 正解　因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2. 答案　D 3．忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤 例3　設(shè)拋物線y＝mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線與直線y＝1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 錯(cuò)解　拋物線y＝mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線方程為y＝－. 又與直線y＝1的距離為3的直線為y＝－2或y＝4. 故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16. 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y＝8x2或y＝－16x2. 錯(cuò)因分析　錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)，應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征，故本題應(yīng)先化為x2＝y(tǒng)的形式，再求解. 正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化為x2＝y(tǒng)， 其準(zhǔn)線方程為y＝－.由題意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－. 則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y或x2＝－16y. 4．涉及弦長問題時(shí)，忽視判別式Δ>0這一隱含條件而致誤 例4　正方形ABCD的A，B兩點(diǎn)在拋物線y＝x2上，另兩點(diǎn)C，D在直線y＝x－4上，求正方形的邊長． 錯(cuò)解　∵AB與直線y＝x－4平行，∴設(shè)AB的直線方程為y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)， 則由?x2－x－b＝0， |AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)． ∵AB與直線y＝x－4間的距離為d＝， ∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0， 解得b＝2或b＝6，∴|AB|＝3或|AB|＝5. 錯(cuò)因分析　在考慮直線AB與拋物線相交時(shí)，必須有方程x2－x－b＝0的判別式Δ>0，以此來限制b的取舍. 正解　∵AB與直線y＝x－4平行，∴設(shè)AB的直線方程為y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)， 則由?x2－x－b＝0， |AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)． ∵AB與直線y＝x－4間的距離為d＝， ∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0， 解得b＝2或b＝6，∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－. ∴b＝2或b＝6都滿足Δ>0，∴b＝2或b＝6. ∴|AB|＝3或|AB|＝5. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9　圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法 1．方程思想 方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或解方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決．本章中，方程思想的應(yīng)用最為廣泛． 例1　已知直線y＝－x＋2和橢圓＋＝1 (a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且a＝2b，若|AB|＝2，求橢圓的方程． 解　由 消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2. ∵|AB|＝2， ∴ ·＝2， 即·＝2， 解得b2＝4，故a2＝4b2＝16. ∴所求橢圓的方程為＋＝1. 2．函數(shù)思想 很多與圓錐曲線有關(guān)的問題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動變化時(shí)，都是相互聯(lián)系、相互制約的，它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系．這類問題若用函數(shù)思想來分析、尋找解題思路，會有很好的效果．一些最值問題常用函數(shù)思想，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長問題，是經(jīng)常使用的方法． 例2　若點(diǎn)(x，y)在＋＝1 (b>0)上運(yùn)動，求x2＋2y的最大值． 解　∵＋＝1 (b>0)，∴x2＝4≥0，即－b≤y≤b.∴x2＋2y＝4＋2y ＝－＋2y＋4＝－2＋4＋. 當(dāng)≤b，即0b，即b>4時(shí)，若y＝b，則x2＋2y取得最大值，其最大值為2b. 綜上所述，x2＋2y的最大值為 3．轉(zhuǎn)化和化歸思想 在解決圓錐曲線的綜合問題時(shí)，經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想．轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求，真正化歸為直線和圓錐曲線的基本問題．這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵，沒有轉(zhuǎn)化和化歸，就很難找到解決問題的途徑和方法． 例3　如圖所示，已知橢圓＋＝1，直線l：x＝12，P是l上任意一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在線段OP上，且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 解　設(shè)P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α. ∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，∴2＝·. 由題意知xR>0，x>0，∴x＝x·12.① 又∵O，Q，R三點(diǎn)共線，∴kOQ＝kOR，即＝.② 由①②得y＝.③ ∵點(diǎn)R(xR，yR)在橢圓＋＝1上，∴＋＝1.④ 由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2 (x>0)， ∴點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x－1)2＋3y2＝2 (x>0)． 4．分類討論思想 本章中，涉及的字母參數(shù)較多，同時(shí)圓錐曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以必須要注意分類討論． 例4　求與雙曲線－y2＝1有共同的漸近線且焦距為10的雙曲線的方程． 分析　由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為－y2＝λ (λ≠0)，將λ分為λ>0，λ<0兩種情況進(jìn)行討論． 解　由題意可設(shè)所求雙曲線的方程為－y2＝λ (λ≠0)， 即－＝1 (λ≠0)． 當(dāng)λ>0時(shí)，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5， ∴所求雙曲線的方程為－＝1. 當(dāng)λ<0時(shí)，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5， ∴所求雙曲線的方程為－＝1. 綜上所述，所求雙曲線的方程為 －＝1或－＝1. 5．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 利用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問題． 例5　在△ABC中，BC邊固定，頂點(diǎn)A在移動，設(shè)|BC|＝m，當(dāng)三個(gè)角滿足條件|sin C－sin B|＝|sin A|時(shí)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程． 解　以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示： 則B，C. 設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x，y)，由題設(shè)， 得|sin C－sin B|＝|sin A|. 根據(jù)正弦定理，得||AB|－|AC||＝m. 可知點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線上． 這里2a＝m，∴a＝. 又c＝m，∴b2＝c2－a2＝－＝m2. 故所求點(diǎn)A的軌跡方程為－＝1(y≠0)．