考點50 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差

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1、圓學子夢想 鑄金字品牌 溫馨提示： 此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，關閉Word文檔返回原板塊。 考點50 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差 一、選擇題 1. （2013·廣東高考理科·Ｔ4）已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 p 則X的數學期望E（x）=（ ） A. B. 2 C. D 3 【解題指南】本題考查離散型隨機變量的期望公式，可以直接代入計算. 【解析】選A. . 2. （2013·湖北高考理科·Ｔ9）如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125

2、個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數為X，則X的均E(X)=（ ） A. B. C. D 【解題指南】先求分布列，再求E(X)。 【解析】選B. E(X)= 二、填空題 3.（2013·上海高考理科·T10）設非零常數d是等差數列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差 【解析】，． 【答案】. 4.（2013·上海高考文科·T6）某學校高一年級男生人數占該年級學生人數的40%.在一次考試中，男、女生平均分數分別是75、80，則這次考試該年級學生平均分數為 . 【解析】 【答案】 78. 三

3、、解答題 5. （2013·四川高考理科·Ｔ18） 某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,24這24個整數中等可能隨機產生． (Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3)； (Ⅱ)甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數．以下是甲、乙所作頻數統(tǒng)計表的部分數據． 甲的頻數統(tǒng)計表(部分) 運行 次數n 輸出y的值 為1的頻數 輸出y的值 為2的頻數 輸出y的值 為3的頻數 30 14 6 10 … … … … 2 10

4、0 1 027 376 697 乙的頻數統(tǒng)計表(部分) 運行 次數n 輸出y的值 為1的頻數 輸出y的值 為2的頻數 輸出y的值 為3的頻數 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當n=2100時,根據表中的數據,分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大. (Ⅲ)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出y的值為2的次數ξ的分布列及數學期望. 【解題指南】求解本題的關鍵是理解題意,并且弄清框圖的功能,找到隨

5、機變量可能的取值,列出分布列再求數學期望. 【解析】(Ⅰ)變量x是在1,2,3,…,24這24個整數中隨機產生的一個數,共有24種可能. 當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數中產生時,輸出的y=1,故P1=; 當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數中產生時,輸出的y=2,故P2=; 當x從6,12,18,24這4個數中產生時,輸出的y=3,故P3=. 所以輸出y的值為1的概率是,輸出y的值為2的概率是,輸出y的值為3的概率是. (Ⅱ) 當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下: 輸出

6、y的值為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值為1的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大. (Ⅲ)隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3. P(=0)=C30()0()3=, P(=1)=C31()1()2=, P(=2)=C32()2()1=, P(=3)=C33()3()0=. 故的分布列為 0 1 2 3 P 所以,E=0′+1′+2′+3′=1,即的數學期望為1. 6. （2013·四川高考文科·Ｔ18） 某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量在這個整數

7、中等可能隨機產生。 （Ⅰ）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率； (Ⅱ)甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數．以下是甲、乙所作頻數統(tǒng)計表的部分數據． 甲的頻數統(tǒng)計表(部分) 運行 次數n 輸出y的值 為1的頻數 輸出y的值 為2的頻數 輸出y的值 為3的頻數 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的頻數統(tǒng)計表(部分) 運行 次數n 輸出y的值 為1的頻數 輸出y的值 為2的頻數 輸出y的值 為3的

8、頻數 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率（用分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大。 【解題指南】求解本題的關鍵是證明理解題意，并且弄清框圖的功能，在第(Ⅱ)問中應比較頻率的趨勢與概率進行判斷. 【解析】(Ⅰ)變量x是在1,2,3,…,24這24個整數中隨機產生的一個數,共有24種可能. 當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數中產生時,輸出y的值為1,故P1=; 當x從2,4,8

9、,10,14,16,20,22這8個數中產生時,輸出y的值為2,故P2=; 當x從6,12,18,24這4個數中產生時,輸出y的值為3,故P3=. 所以輸出y的值為1的概率是,輸出y的值為2的概率是,輸出y的值為3的概率是. (Ⅱ) 當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下: 輸出y的值為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值為1的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大. 7.(2013·天津高考理科·T16)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,

10、2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同). (1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率. (2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數學期望. 【解題指南】(1)根據組合數原理求出符合條件的取法及總取法,再求概率. (2)根據隨機變量X所有可能取值列出分布列,求數學期望. 【解析】(1)設“取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片”為事件A,則 所以，取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片的概率為. (2)設隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 所以隨機變量X

11、的分布列是 X 1 2 3 4 P 隨機變量X的分布列和數學期望 8.(2013·浙江高考理科·T19)設袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分. (1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分數之和,求ξ的分布列. (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分數.若E(η)= ,D(η)= ,求a∶b∶c. 【解題指南】(1)在分析取到兩球的顏色時,要注意是有放回地抽取,即同一個球

12、可能兩次都能抽到;(2)根據計算數學期望與方差的公式計算,尋找a,b,c之間的關系. 【解析】(1)由題意得,ξ=2,3,4,5,6, 故 ， ， ， ， 所以的分布列為 2 3 4 5 6 （Ⅱ）由題意知的分布列為 1 2 3 所以 化簡得，解得 所以. 9. （2013·重慶高考理科·Ｔ18）某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個籃球與2個白球的袋中任意摸出1個球，

13、根據摸出4個球中紅球與籃球的個數，設一、二、三等獎如下： 獎級 摸出紅、藍球個數 獲獎金額 一等獎 3紅1藍 200元 二等獎 3紅0藍 50元 三等獎 2紅1藍 10元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級． （Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1個紅球的概率； （Ⅱ）求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額的分布列與期望． 【解題指南】首先設出相應的事件,根據古典概型的公式求出恰好摸到一個紅球的概率,然后再求出相應事件的概率列出分布列求出期望. 【解析】設表示摸到個紅球,表示摸到個藍球,則與獨立. （Ⅰ）恰好摸到1個紅球的概率為 （Ⅱ）的所有可能值為,且 綜上

14、知,的分布列為 從而有(元). 10. （2013·湖南高考理科·Ｔ18）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據歷年的種植經驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米. (1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率; (2)從所種作物中隨機選取一株,求它的年

15、收獲量的分布列與數學期望. 【解題指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中內部3株,邊界12株,結合題意求解相應概率. (2)先弄清15株滿足相應年產量的各有多少株,然后求出對應的概率,寫出分布列再求期望. 【解析】(1)所種作物總株數N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內部的作物株數為3,邊界上的作物株數為12,從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有3+3+2=8種. 故從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為. (2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.

16、因為P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可,記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= =,P(X=4)= =, 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數學期望為 . 11. （2013·江西高考理科·Ｔ18）小波以游戲方式決定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊，游戲規(guī)

17、則為：以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖）這8個點中任取兩點分別分終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X.若X=0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊. (1)求小波參加學校合唱團的概率； (2)求X的分布列和數學期望. 【解題指南】(1)將基本事件總數求出，然后找所求概率事件的基本事件數，由古典概型公式求得結果；（2）先確定X的可能取值，然后再計算各個概率值即得分布列，最后計算期望值. 【解析】（1）從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有種，時，兩向量夾角為直角共有8種情形.所以小波參加學校合唱團的概率為. (2)兩向量數量積的所有可

18、能取值為-2，-1,0,1. 時，共有2種情形，時，有10種情形，有8種情形. 所以X的分布列為 X 0 1 P . 12. （2013·山東高考理科·Ｔ19）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是 .假設每局比賽結果互相獨立. （Ⅰ）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率? （Ⅱ）若比賽結果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數學期望. 【解題指南】（Ⅰ）本題考查了相互獨

19、立事件的概率；（Ⅱ）本題考查的是隨機變量的分布列及數學期望，先列出X的所有值，并求出每個X值所對應的概率，列出分布列，然后根據公式求出數學期望. 【解析】（Ⅰ）記“甲隊以3:0勝利”為事件A1，“甲隊以3:1勝利”為事件A2，“甲隊以3:2勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結果相互獨立， 故， ， ， 所以甲隊以3:0勝利、以3:1勝利的概率都為，甲隊以3:2勝利的概率為. （Ⅱ）設“乙隊以3:2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結果相互獨立， 所以. 由題意，隨機變量的所有可能的取值為0,1,2,3， 根據事件的互斥性得 , 又, , 故的分布列為 0

20、1 2 3 P 所以E=. 13.（2013·北京高考理科·Ｔ16）下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天 （1）求此人到達當日空氣重度污染的概率 （2）設X是此人停留期間空氣質量優(yōu)良的天數，求X的分布列與數學期望。 （3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明） 【解題指南】（1）這是古典概型的概率計算問題，分別求出基本事件空間的基本事件總數、所求事件包含的基本事件總數，作比即

21、可求出概率。 （2） 天數的可能取值為0，1，2，列出分布列，再求期望。 （3） 從圖中找一找哪三天的波動最大，則方差也就最大。 【解析】（1）某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，共有13種可能。到達當日空氣重度污染有2種可能。所以概率為。 （2）X可能取值為0，1，2.分布列如下 X 0 1 2 P 。 （3）5，6，7三天。 14.(2013·福建高考理科·T16)某聯歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每

22、次抽獎中獎與否互不影響,晚會結束后憑分數兌換獎品. (1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X≤3的概率. (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數學期望較大? 【解題指南】先求出X的取值情況,逐一求出對應事件的概率,利用期望公式求出兩種方案的期望,然后進行比較. 【解析】(1)由已知得:小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響,記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A,則A事件的對立事件為“X=5”, 因為, 所以P(A)=1-P(X=5)= , 所以這兩人的累計得分X≤3的

23、概率為. (2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數為X1,都選擇方案乙抽獎中獎的次數為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E(3X2), 由已知: ，, 所以,, 所以E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= , 因為E(2X1)>E(3X2), 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數學期望最大. 15. （2013·陜西高考理科·Ｔ19）在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的

24、歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率. (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和,求X的分布列和數學期望. 【解題指南】利用相互獨立事件的概率乘法公式即可得解;通過確定隨機變量X的取值,求隨機變量X的分布列,求隨機變量X的數學期望三步完成. 【解析】(1) 設事件A 表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手。 觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙未選中3號歌手的概率為。 所以P(A) = . 因此，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未

25、選中3號歌手的概率為. (2) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，則X可取0,1,2,3. 觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙、丙選中3號歌手的概率為。 當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0，P(X = 0) = . 當觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時，這時X=1，P(X = 1) = . 當觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時，這時X=2，P(X = 2) = . 當觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時，這時X=3，P(X =3) = . X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 所以，數學期望. 16. （2013

26、·新課標全國Ⅱ高考理科·Ｔ19）經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量.T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤. （1）將T表示為x的函數 （2）根據直方圖估計利潤T，不少于57000元的概率； （3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值， 需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：

27、若x）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的頻率），求T的數學期望。 【解題指南】（1）依題意，可求得T關于x的分段函數; (2)由頻率分布直方圖可知，知利潤T不少于57000元當且僅當用頻率估計概率，可概率的估計值； （3）由分布列，代入期望公式，得所求. 【解析】（1）當時，， 當時， 所以 （2）由（1）知利潤T不少于57000元當且僅當 由直方圖知需求量的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45000 53000 61000 65000 P 0.1

28、 0.2 0.3 0.4 所以 ET＝ 17. （2013·新課標Ⅰ高考理科·Ｔ19）一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗,這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質品,則這批產品通過檢驗;如果n=4,再從這批產品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗. 假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立 （Ⅰ）求這批產品通過檢驗的概率； （Ⅱ）已知每件產品檢驗費用為100元,且抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質

29、量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數學期望. 【解題指南】（Ⅰ）由事件的獨立性和互斥性，并結合產品通過檢驗的情形確定這批產品通過檢驗的概率； （Ⅱ）根據題意，先確定的可能取值，然后求出相應的概率，列出分布列利用期望公式求出期望. 【解析】（Ⅰ）設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件，第一次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件，第二次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件,第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件，這批產品通過檢驗為事件.依題意有，且A1B1與A2B2互斥,所以 . （Ⅱ）的可能取值為，，, 所以的分布列為 （元） 18

30、.（2013·大綱版全國卷高考理科·Ｔ20）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結果都相互獨立，第局甲當裁判. （I）求第局甲當裁判的概率； （II）表示前局中乙當裁判的次數，求的數學期望. 【解析】（I）記表示事件“第2局結果為甲勝”， 表示事件“第3局甲參加比賽時，結果為甲負”， 表示事件“第4局甲當裁判”.則.. 方法一：（II）的可能值為 記表示事件“第3局乙和丙參加比賽時，結果為乙勝丙”， 表示事件“第1局結果為乙勝丙”， 表示事件“第2局乙和甲比賽時，結果為乙勝甲”

31、， 表示事件“第3局乙參加比賽時，結果為乙負”， , , , 方法二：（II）由于第一局甲當裁判，乙可能當裁判次數的可能值為0,1,2 當裁判次數為0： 乙第一局，第二局與第三局贏，第四局決定第五局裁判權，所以不用管第四局輸贏. 所以. 當裁判次數為1：有三種情況 第一局乙輸，第二局乙當裁判，第三局乙贏，概率為； 第一局乙贏，第二局乙輸，第三局當裁判，概率為 第一局乙贏，第二局乙贏，第三局乙輸，第四局當裁判概率為。 所以.當裁判次數為2： 第一局乙輸，第二局當裁判，第三局乙輸，第四局當裁判. 所以. 的分布列為 所以. 1

32、9.（2013·遼寧高考理科·Ｔ19）現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答。 求張同學至少取到1道乙類題的概率； 已知所取到的3道題中有2道甲類題，1道乙類題。設張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立。用表示張同學答對題的個數，求的分布列和數學期望。 【解題指南】諸如“至少有一個”等問題，可以結合對立事件的概率來求解；對于隨機變量的研究，需要了解隨機變量將取哪些值以及取這些值時對應的事件及其概率，列出其分布列，正確應用均值公式進行計算 【解析】記事件“張同學所取的3道題至少取到1道乙類題”；則“張同學所取的3道題全

33、為甲類題”； 事件“張同學所取的3道題全為甲類題”共有種取法；而“從10道題中任取3道題”共有種取法； 所以故 所以張同學至少取到1道乙類題的概率為 張同學答對題的個數的可能值為0，1，2，3. 表示張同學沒有答對一道題，; 表示張同學答對一道題，包含以下兩種可能，“答對一道甲類題”、“答對一道乙類題”， 因此; 表示張同學答對二道題，包含以下兩種可能，“答對二道甲類題”、“答對一道甲類題和一道乙類題”， 因此; 表示張同學所取得的三道題全部答對， 因此; 所以的分布列為 0 1 2 3 故的數學期望為 關閉Word文檔返回原板塊。 - 23 -