中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總(含初中、高中).doc

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中學(xué)數(shù)學(xué)常用公式大匯總（含初中、高中） 初中數(shù)學(xué)常用公式 1、整數(shù)(包括：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循小數(shù))都是有理數(shù)．如：－3，，0.231，0.737373…，，．無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)．如：π，－，0.1010010001…(兩個1之間依次多1個0)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)． 2、絕對值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一個近似數(shù)，從左邊笫一個不是0的數(shù)字起，到最末一個數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字．如：0.05972精確到0.001得0.060，結(jié)果有兩個有效數(shù)字6，0． 4、把一個數(shù)寫成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反過來就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、冪的運算性質(zhì)：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n＝，特別：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0時，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念） 8、一元二次方程：對于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判別式． 當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．注意：當(dāng)△≥0時，方程有實數(shù)根． ②若方程有兩個實數(shù)根x1和x2，并且二次三項式ax2＋bx＋c可分解為a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b為根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點的縱坐標(biāo)即一次函數(shù)在y軸上的截距)．當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小(直線從左向右下降)．特別：當(dāng)b＝0時，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過原點． 10、反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象叫做雙曲線．當(dāng)k＞0時，雙曲線在一、三象限(在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k＜0時，雙曲線在二、四象限(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)．因此，它的增減性與一次函數(shù)相反． 11、統(tǒng)計初步：（1）概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體．從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量．②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． （2）公式：設(shè)有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么： ①平均數(shù)為：； ②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值； ③方差：數(shù)據(jù)、……, 的方差為，則= 標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.數(shù)據(jù)、……, 的標(biāo)準(zhǔn)差，則= 一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。 12、頻率與概率： （1）頻率=，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各個小長方形的面積為各組頻率。 （2）概率①如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則0≤P（A）≤1； P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； ②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率。 ③大量的重復(fù)實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值； 13、銳角三角函數(shù)： ①設(shè)∠A是Rt△ABC的任一銳角，則∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA． h l α ③特殊角的三角函數(shù)值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i＝＝．設(shè)坡角為α，則i＝tanα＝． 14、平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識： （1）對稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（a，b），則P關(guān)于x軸對稱的點為P1（a，－b），P關(guān)于y軸對稱的點為P2（－a，b），關(guān)于原點對稱的點為P3（－a，－b）. （2）坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（a，b）向左平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a－h(huán)，b），向右平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a＋h，b）；向上平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b＋h），向下平移h個單位，坐標(biāo)變?yōu)镻（a，b－h(huán)）.如：點A（2，－1）向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標(biāo)變?yōu)锳（7，1）. 15、二次函數(shù)的有關(guān)知識： 1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù). 2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. ①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. ②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下： 函數(shù)解析式 開口方向 對稱軸 頂點坐標(biāo) 當(dāng)時 開口向上 當(dāng)時 開口向下 （軸） （0,0） （軸） (0, ) (,0) (,) () 4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線. （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 若已知拋物線上兩點（及y值相同），則對稱軸方程可以表示為： 9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線 ，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ①，拋物線經(jīng)過原點; ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 . 11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：. 12.直線與拋物線的交點 （1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）拋物線與軸的交點 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程 的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個交點()拋物線與軸相交； ②有一個交點（頂點在軸上）()拋物線與軸相切； ③沒有交點()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點 同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐 標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根. （4）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方 程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點. （5）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，則 1、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180o（n≥3，n是正整數(shù)），外角和等于360o 2、平行線分線段成比例定理： （1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。 如圖：a∥b∥c，直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點A、B、C D、E、F，則有 （2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。 如圖：△ABC中，DE∥BC，DE與AB、AC相交與點D、E，則有： ＊3、直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，則有： （1）（2）（3） 4、圓的有關(guān)性質(zhì)： （1）垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對的劣??；⑤平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性質(zhì)．注：具備①，③時，弦不能是直徑．（2）兩條平行弦所夾的弧相等．（3）圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．（4）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．（5）圓周角等于它所對的弧的度數(shù)的一半．（6）同弧或等弧所對的圓周角相等．（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．（8）90o的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是90o，直徑是最長的弦．（9）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)． 5、三角形的內(nèi)心與外心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點．三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三邊中垂線的交點． 常見結(jié)論：（1）Rt△ABC的三條邊分別為：a、b、c（c為斜邊），則它的內(nèi)切圓的半徑； （2）△ABC的周長為，面積為S，其內(nèi)切圓的半徑為r，則 ＊6、弦切角定理及其推論： （1）弦切角：頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：∠PAC為弦切角。 O P B C A （2）弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點，則 推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角（作用證明角相等） 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A為切點，則 ＊7、相交弦定理、割線定理、切割線定理： 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等。 如圖①，即：PA·PB = PC·PD 割線定理 ：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。 如圖②，即：PA·PB = PC·PD 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖③，即：PC2 = PA·PB ① ② ③ 8、面積公式： ①S正△＝×(邊長)2．  ②S平行四邊形＝底×高． ③S菱形＝底×高＝×(對角線的積)， ④S圓＝πR2． ⑤l圓周長＝2πR． ⑥弧長L＝．  ⑦ ⑧S圓柱側(cè)＝底面周長×高＝2πrh，S全面積＝S側(cè)＋S底＝2πrh＋2πr2 ⑨S圓錐側(cè)＝×底面周長×母線＝πrb， S全面積＝S側(cè)＋S底＝πrb＋πr2 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 ,. 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 4.容斥原理 . 5．集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有–1個；非空子集有 –1個；非空的真子集有–2個. 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式; (2)頂點式; (3)零點式. 7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個實根在內(nèi),等價于,或且,或且. 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下： (1)當(dāng)a>0時，若，則； ，，. (2)當(dāng)a<0時，若，則，若，則，. 10.一元二次方程的實根分布 依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根 . 設(shè)，則 （1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或； （3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 . 11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù) (1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是. (3)恒成立的充要條件是或. 12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常見結(jié)論的否定形式 原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞 是 不是 至少有一個 一個也沒有 都是 不都是 至多有一個 至少有兩個 大于 不大于 至少有個 至多有（）個 小于 不小于 至多有個 至少有（）個 對所有，成立 存在某，不成立 或 且 對任何，不成立 存在某，成立 且 或 14.四種命題的相互關(guān)系 原命題　　　　　　　互逆 逆命題 若ｐ則ｑ　　　　　　　　若ｑ則ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　為　　　為互 　　否　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命題　　　　　　　　逆否命題　　　 若非ｐ則非ｑ　　　　互逆若非ｑ則非ｐ 15.充要條件 （1）充分條件：若，則是充分條件. （2）必要條件：若，則是必要條件. （3）充要條件：若，且，則是充要條件. 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 16.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè)那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù). 17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù). 18．奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)． 19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則. 20.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱. 21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù). 22．多項式函數(shù)的奇偶性 多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零. 多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零. 23.函數(shù)的圖象的對稱性 (1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 . (2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 . 24.兩個函數(shù)圖象的對稱性 (1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱. (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱. (3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象. 26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系 . 27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù). 28.幾個常見的函數(shù)方程 (1)正比例函數(shù),. (2)指數(shù)函數(shù),. (3)對數(shù)函數(shù),. (4)冪函數(shù),. (5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，， . 29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0) （1），則的周期T=a； （2）， 或， 或, 或,則的周期T=2a； (3)，則的周期T=3a； (4)且，則的周期T=4a； (5) ,則的周期T=5a； (6)，則的周期T=6a. 30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）. (2)（，且）. 31．根式的性質(zhì) （1）. （2）當(dāng)為奇數(shù)時，； 當(dāng)為偶數(shù)時，. 32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) (1) . (2) . (3). 注： 若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用. 33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 . 34.對數(shù)的換底公式 (,且,,且, ). 推論 (,且,,且,, ). 35．對數(shù)的四則運算法則 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則 (1); (2) ; (3). 36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗. 37. 對數(shù)換底不等式及其推廣 若,,,,則函數(shù) (1)當(dāng)時,在和上為增函數(shù). ， (2)當(dāng)時,在和上為減函數(shù). 推論:設(shè)，，，且，則 （1）.（2）. 38. 平均增長率的問題 如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有. 39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項的和為). 40.等差數(shù)列的通項公式 ； 其前n項和公式為. 41.等比數(shù)列的通項公式； 其前n項的和公式為 或. 42.等比差數(shù)列:的通項公式為 ； 其前n項和公式為. 43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為). 44．常見三角不等式 （1）若，則. (2) 若，則. (3) . 45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ，=，. 46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) (n為偶數(shù)) (n為奇數(shù)) 47.和角與差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(輔助角所在象限由點的象限決定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . .. 50.三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期. 51.正弦定理? . 52.余弦定理 ; ; . 53.面積定理 （1）（分別表示a、b、c邊上的高）. （2）. (3). 54.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中，有 . 55. 簡單的三角方程的通解 . . . 特別地,有 . . . 56.最簡單的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.實數(shù)與向量的積的運算律 設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么 (1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的數(shù)量積的運算律： (1) a·b= b·a （交換律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理? 如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2． 不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標(biāo)表示?? 設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0). 53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積． 62.平面向量的坐標(biāo)運算 (1)設(shè)a=,b=，則a+b=. (2)設(shè)a=,b=，則a-b=. (3)設(shè)A，B,則. (4)設(shè)a=，則a=. (5)設(shè)a=,b=，則a·b=. 63.兩向量的夾角公式 (a=,b=). 64.平面兩點間的距離公式 =(A，B). 65.向量的平行與垂直 設(shè)a=,b=，且b0，則 A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. 66.線段的定比分公式 ? 設(shè)，，是線段的分點,是實數(shù)，且，則 （）. 67.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是. 68.點的平移公式 . 注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點為，且的坐標(biāo)為. 69.“按向量平移”的幾個結(jié)論 （1）點按向量a=平移后得到點. (2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為. (3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為. (4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=. 70. 三角形五“心”向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則 （1）為的外心. （2）為的重心. （3）為的垂心. （4）為的內(nèi)心. （5）為的的旁心. 71.常用不等式： （1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)． （2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)． （3） （4）柯西不等式 （5）. 72.極值定理 已知都是正數(shù)，則有 （1）若積是定值，則當(dāng)時和有最小值； （2）若和是定值，則當(dāng)時積有最大值. 推廣 已知，則有 （1）若積是定值,則當(dāng)最大時,最大； 當(dāng)最小時,最小. （2）若和是定值,則當(dāng)最大時, 最小； 當(dāng)最小時, 最大. 73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間. ； . 74.含有絕對值的不等式 當(dāng)a> 0時，有. 或. 75.無理不等式 （1） . （2）. （3）. 76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當(dāng)時, ; . (2)當(dāng)時, ; 77.斜率公式 （、）. 78.直線的五種方程 （1）點斜式 (直線過點，且斜率為)． （2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距). （3）兩點式 ()(、 ()). (4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，) （5）一般式 (其中A、B不同時為0). 79.兩條直線的平行和垂直 (1)若， ①; ②. (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零, ①； ②； 80.夾角公式 (1). (，,) (2). (,,). 直線時，直線l1與l2的夾角是. 81. 到的角公式 (1).(，,) (2). (,,). 直線時，直線l1到l2的角是. 82．四種常用直線系方程 (1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)． (2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量． 83.點到直線的距離 (點,直線：). 84. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是： 若，當(dāng)與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下. 若，當(dāng)與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的左方的區(qū)域. 簡言之,同號在右,異號在左. 85. 或所表示的平面區(qū)域 設(shè)曲線（），則 或所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . （2）圓的一般方程 (＞0). （3）圓的參數(shù)方程 . （4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、). 87. 圓系方程 (1)過點,的圓系方程是 ,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)． (2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． (3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． 88.點與圓的位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系有三種 若，則 點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi). 89.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種: ; ; . 其中. 90.兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2， ; ; ; ; . 91.圓的切線方程 (1)已知圓． ①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 . 當(dāng)圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程． ②過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線． ③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線． (2)已知圓． ①過圓上的點的切線方程為; ②斜率為的圓的切線方程為. 92.橢圓的參數(shù)方程是. 93.橢圓焦半徑公式 ，. 94．橢圓的的內(nèi)外部 （1）點在橢圓的內(nèi)部. （2）點在橢圓的外部. 95. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點處的切線方程是. （2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是 . （3）橢圓與直線相切的條件是. 96.雙曲線的焦半徑公式 ，. 97.雙曲線的內(nèi)外部 (1)點在雙曲線的內(nèi)部. (2)點在雙曲線的外部. 98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）. 99. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點處的切線方程是. （2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是 . （3）雙曲線與直線相切的條件是. 100. 拋物線的焦半徑公式 拋物線焦半徑. 過焦點弦長. 101.拋物線上的動點可設(shè)為P或 P，其中 . 102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點坐標(biāo)為；（2）焦點的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是. 103.拋物線的內(nèi)外部 (1)點在拋物線的內(nèi)部. 點在拋物線的外部. (2)點在拋物線的內(nèi)部. 點在拋物線的外部. (3)點在拋物線的內(nèi)部. 點在拋物線的外部. (4) 點在拋物線的內(nèi)部. 點在拋物線的外部. 104. 拋物線的切線方程 (1)拋物線上一點處的切線方程是. （2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是. 105.兩個常見的曲線系方程 (1)過曲線,的交點的曲線系方程是 (為參數(shù)). (2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時,表示橢圓; 當(dāng)時,表示雙曲線. 106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或 （弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 107.圓錐曲線的兩類對稱問題 （1）曲線關(guān)于點成中心對稱的曲線是. （2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是 . 108.“四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程 ，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到. 109．證明直線與直線的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點； （2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行； （4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行. 110．證明直線與平面的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點； （2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行. 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點； （2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直. 112．證明直線與直線的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直； （4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直. 113．證明直線與平面垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； （2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； （4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面； （5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直. 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （2）轉(zhuǎn)化為線面垂直. 115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律 (1)加法交換律：a＋b=b＋a． (2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量. 117.共線向量定理 對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb． 三點共線. 、共線且不共線且不共線. 118.共面向量定理 向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使． 推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使， 或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使. 119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當(dāng)時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當(dāng)時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面． 四點共面與、共面 （平面ABC）. 120.空間向量基本定理 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc． 推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使. 121.射影公式 已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐標(biāo)運算 設(shè)a＝，b＝則 (1)a＋b＝；(2)a－b＝； (3)λa＝ (λ∈R)；(4)a·b＝； 123.設(shè)A，B，則 = . 124．空間的線線平行或垂直 設(shè)，，則 ； . 125.夾角公式 設(shè)a＝，b＝，則 cos〈a，b〉=. 推論 ，此即三維柯西不等式. 126. 四面體的對棱所成的角 四面體中, 與所成的角為,則 . 127．異面直線所成角 = （其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量） 128.直線與平面所成角 (為平面的法向量). 129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時,有 . 130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則 . 特別地,當(dāng)時,有 . 131.二面角的平面角 或（，為平面，的法向量）. 132.三余弦定理 設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則. 133. 三射線定理 若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ; (當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立). 134.空間兩點間的距離公式 若A，B，則 =. 135.點到直線距離 (點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=). 136.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離). 137.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）. 138.異面直線上兩點距離公式 . . （）. (兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,,). 139.三個向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有 . （立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）. 141. 面積射影定理 . (平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則 ①.②. 143．作截面的依據(jù) 三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行. 144．棱錐的平行截面的性質(zhì) 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比． 145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F). （1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：； （2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：. 146.球的半徑是R，則 其體積,其表面積． 147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體: 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為. 148．柱體、錐體的體積 （是柱體的底面積、是柱體的高）. （是錐體的底面積、是錐體的高）. 149.分類計數(shù)原理（加法原理） . 150.分步計數(shù)原理（乘法原理） . 151.排列數(shù)公式 ==.(，∈N*，且)． 注:規(guī)定. 152.排列恒等式 (1）;（2）; （3）; （4）; （5）.(6) . 153.組合數(shù)公式 ===(∈N*，，且). 154.組合數(shù)的兩個性質(zhì) (1)= ; (2) +=. 注:規(guī)定. 155.組合恒等式 （1）;（2）;（3）; （4）=;（5）. (6). (7). (8). (9). (10). 156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 . 157．單條件排列 以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列. （1）“在位”與“不在位” ①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種. （2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰） ①定位緊貼：個元在固定位的排列有種. ②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法； ③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種. （3）兩組元素各相同的插空 個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？ 當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有種排法. （4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為. 158．分配問題 （1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有. （2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有 . （3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有. （4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有 . （5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有. （6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有. （7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，……等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時，則無論，，…，等個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有 . 159．“錯位問題”及其推廣 貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為 . 推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數(shù)為 . 160．不定方程的解的個數(shù) (1)方程（）的正整數(shù)解有個. (2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個. (3) 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個. (4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個. 161.二項式定理 ; 二項展開式的通項公式 . 162.等可能性事件的概率. 163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n個獨立事件同時發(fā)生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率 168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì) （1）;（2）. 169.數(shù)學(xué)期望 170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）.（2）若～,則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 171.方差 172.標(biāo)準(zhǔn)差 =. 173.方差的性質(zhì) (1)；(2）若～，則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 174.方差與期望的關(guān)系 . 175.正態(tài)分布密度函數(shù) ，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差. 176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù) . 177.對于，取值小于x的概率 . . 178.回歸直線方程 ，其中. 179.相關(guān)系數(shù) . |r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小. 180.特殊數(shù)列的極限 （1）. （2）. （3）（無窮等比數(shù)列 ()的和）. 181. 函數(shù)的極限定理 . 182.函數(shù)的夾逼性定理 如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點x0的附近滿足： （1）; （2）（常數(shù)）, 則. 本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立. 183.幾個常用極限 （1），（）；（2），. 184.兩個重要的極限 （1）；（2）(e=2.718281845…). 185.函數(shù)極限的四則運算法則 若，，則(1)； (2);(3). 186.數(shù)列極限的四則運算法則 若，則(1)； (2)；(3) (4)( c是常數(shù)). 187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商） . 188.瞬時速度 . 189.瞬時加速度 . 190.在的導(dǎo)數(shù) . 191. 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是. 192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) （C為常數(shù)）.(2) .(3) . (4) . (5) ；. (6) ; . 193.導(dǎo)數(shù)的運算法則 （1）.（2）.（3）. 194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點處的對應(yīng)點U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽? 195.常用的近似計算公式（當(dāng)充小時） (1);；(2)； ； (3)；(4)；(5)（為弧度）； (6)（為弧度）；(7)（為弧度） 196.判別是極大（小）值的方法 當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時， （1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值； （2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值. 197.復(fù)數(shù)的相等 .（） 198.復(fù)數(shù)的模（或絕對值） ==. 199.復(fù)數(shù)的四則運算法則 (1); (2); (3); (4). 200.復(fù)數(shù)的乘法的運算律 對于任何，有 交換律:. 結(jié)合律:. 分配律: . 201.復(fù)平面上的兩點間的距離公式 （，）. 202.向量的垂直 非零復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則 的實部為零為純虛數(shù) (λ為非零實數(shù)). 203.實系數(shù)一元二次方程的解 實系數(shù)一元二次方程， ①若,則; ②若,則; ③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復(fù)數(shù)根. 42