《數(shù)學(xué)物理方程 第十三講MP.ppt》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)物理方程 第十三講MP.ppt(40頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、三、勒讓德方程的本征值和本征函數(shù)(續(xù)),,四、勒讓德多項(xiàng)式,四、勒讓德多項(xiàng)式(續(xù)),,,總結(jié),,,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),一. 特殊值、奇偶性和圖形,二. 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)表示,證 利用二項(xiàng)式定理,有,當(dāng)x的冪次低于l的項(xiàng)變?yōu)?,不為0的項(xiàng)必滿足2l-2kl,即kl/2.,當(dāng)l為偶數(shù)時(shí),有,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),當(dāng)l為奇數(shù)時(shí),有,羅德里格斯(Rodrigues)公式,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),二. 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)表示(續(xù)),三. 勒讓德多項(xiàng)式的積分表示,柯西公式:,C為z平面上圍繞z=x點(diǎn)的任一閉合回路。,施列夫利(Schlafli)積分,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),三. 勒讓德多項(xiàng)式的積分
2、表示(續(xù)),拉普拉斯積分,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),1. 球坐標(biāo)下有軸對(duì)稱的拉普拉斯方程解的普遍性式,如果討論的問題具有軸對(duì)稱性,則有,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù),,,,(1),方程(1)解的普遍形式,即就是球坐標(biāo)系下具有軸對(duì)稱性的拉普拉斯方程解的普遍形式為,2.一個(gè)物理問題的解,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(續(xù)),1. 球坐標(biāo)下有軸對(duì)稱的拉普拉斯方程解的普遍性式(續(xù)),四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(續(xù)),2.一個(gè)物理問題的解(續(xù)),,,,,,,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(續(xù)),2.一個(gè)物理問題的解(續(xù)),,,,,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(續(xù)),2.一個(gè)物理問題的解(續(xù)),所以原物理問題
3、的解為,3. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù),或,叫作勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(或母函數(shù)),3. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)(續(xù)),,根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)可以導(dǎo)出勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式,,五. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式,1.,,,五. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(續(xù)),其中,,五. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(續(xù)),4.,2.,3.,,,,,,六. 勒讓德多項(xiàng)式的正交性、完備性與模,先證明:,,,,,,例1:將 在-1,1內(nèi)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)形式,,,,,,,,,,,例2:將 在-1,1內(nèi)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)形式,,,,,只有當(dāng)k=n-1時(shí),x=0處2n-2階導(dǎo)數(shù)不為0,例4:在電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的均勻電場(chǎng)中
4、放一個(gè)接地導(dǎo)體球,半徑為a,求球外電勢(shì)的分布.,解:,,,,,,,,,,,,,,,球坐標(biāo)系下具有軸對(duì)稱性的拉普拉斯方程解的普遍形式為,,,,5 連帶勒讓德函數(shù)與球函數(shù),一. 連帶勒讓德函數(shù),,另一方面,(1),一. 連帶勒讓德函數(shù)(續(xù)),對(duì)上式關(guān)于x求導(dǎo)m次,有,連帶勒讓德函數(shù),,一. 連帶勒讓德函數(shù)(續(xù)),注意:上式雖然是在條件0ml下得到的,但是當(dāng)m滿足 -lm<0時(shí),上式同樣是本征值問題的相應(yīng)于本征值=l(l+1)的本征函數(shù),不過它與 線性相關(guān).,,二. 連帶勒讓德函數(shù)基本性質(zhì),稱為l次m階連帶勒讓德函數(shù),三. 球函數(shù),,,,,,,三. 球函數(shù)(續(xù)),球函數(shù)方程的一個(gè)解,稱為l次球面諧函數(shù),簡稱球函數(shù),其中,三. 球函數(shù)(續(xù)),球函數(shù)的正交性,三. 球函數(shù)(續(xù)),球函數(shù)的完備性,球函數(shù)的具體形式,