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1、第六講 三角函數(shù)的圖象和性質,一、引言：,（一）本節(jié)的地位：三角函數(shù)知識是高中教學的重要知識之一，三角函數(shù)的圖象和性質是三角函數(shù)部分的重要內容，也是歷年高考必考查的內容，體現(xiàn)考綱對運算能力、邏輯推理能力的要求.,（二）考綱要求：通過本節(jié)的學習能準確畫出 , , 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在 ，正切函數(shù)在 上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與 軸交點等），本節(jié)重點：能夠正確作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，正切函數(shù)的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與 軸交點、周期等）.,,,,,,,（三）考情分析：主要考查作圖能力、
2、圖象變換、三角函數(shù)的圖象及性質，如三角函數(shù)的周期、單調區(qū)間、最大值、最小值等知識. 對數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、轉化與化歸等重要思想重點考查.,在確定正弦函數(shù) 在 上的圖象時，其關鍵的五個點是 在確定余弦函數(shù) 在 上的圖象時，其關鍵的五個點是,二、考點梳理：,1“五點法”作正、余弦函數(shù)圖象,,,、 、 、 、 .,、 、 、 、 .,2.周期函數(shù)：,,,一般地，對于函數(shù) ，如果存在一個非零常數(shù) ，使得當x取定義域內的每一個值時，都有 那么函數(shù) 就叫周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期，把所有的周期中
3、存在的最小正數(shù)，叫做最小正周期.,,3.五點法作 的簡圖：,,,,,,,,,,,,,,五點取法是設 ,由 取0、 、 、 、2 來求相應的 值及對應的 值，再描點作圖.,,,,,,4圖象變換：,,,,,,,,,,,,,,(1)平移變換：左右平移：將函數(shù) 圖象沿x軸方向平移 個單位后得到函數(shù) 的圖象.當a0時向左，當a<0 時向右.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,上下平移：將函數(shù) 的圖象沿y軸方向平移 個單位后得到函數(shù) 的圖象.當b0時向上，當b<0時向下.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（2）伸縮變換：,,,,,,,,,,橫向伸縮（
4、周期變換）：函數(shù) 的圖象，可以看作是把函數(shù) 的圖象上的點的橫坐標縮短（當 時）或伸長（當 時）到原來的 倍（縱坐標不變）而得到.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,縱向伸縮（振幅變換）：函數(shù) 的圖象，可以看作是把函數(shù) 的圖象上的點的縱坐標伸長（當A1 時）或縮短（當0
5、( ),注意到 與 關于 對稱,,,所以f( )f( ),,歸納小結：認真分析圖形，抓住圖形中的已知條件，利用圖形的對稱性、周期性求解.,例2（2009，浙江）已知a是實數(shù)，則函數(shù) 的圖象不可能是（ ）,分析：可用排除法，對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為 而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 ,歸納小結：此題是一個考查三角函數(shù)圖象的問題，但考查的知識點因含有參數(shù)而豐富，結合圖形考查使得所考查的問題形象而富有深度,（二）圖象變換,例3若將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度后，與函數(shù) 的圖象重合，則 的最小值為,A B. C. D.,分析：,,,故選D.,,歸納小結：
6、圖象的左右平移要針對x上作變換，兩個角的函數(shù)值相等，那么這兩個角不一定相等，注意它們的關系.,例4已知函數(shù) （ ， ）為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為,,,,,,（1）求的值；,,,（2）將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù) 的圖象， 求 的單調遞減區(qū)間,分析：先將 化簡，利用函數(shù)的性質 求得 的表達式達到化簡求值的目的.,解:（1）,因為 為偶函數(shù)，所以對 ，,恒成立，,因此,,,,,,整理得,,,,因為 ,且 , 所以,,,,又因為 ,故 所以,,,,即,由題意得 ，所以 故 因此,,（2）將 的圖象
7、向右平移 個單位后，得到 的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到 的圖象 所以 當 ,,,,,,,,,,,,即 , 時 單調遞減，因此 的單調遞減區(qū)間為 , ,歸納小結:(1)由 為偶函數(shù)，所以對 ， 恒成立，建立三角函數(shù)關系求得的 值,（2）也可畫圖象求單調區(qū)間.,（三）與圖象性質有關的問題,例5 已知函數(shù) 下面結論錯誤的是（ ）,A. 函數(shù) 的最小正周期為2 B. 函數(shù) 在區(qū)間0， 上是增函數(shù) C. 函數(shù) 的圖象關于直線x0對稱 D. 函數(shù) 是奇函數(shù),分析： A、B、C均正確，故錯誤的是 D. 歸納小結：本題要認真審
8、題，本題結論錯誤的是哪個選項，能夠用誘導公式將問題化簡.,例6 如果函數(shù) 的圖象關于點 中心對稱，那么 的最小值為（ ）,A. B. C. D.,分析：本小題考查三角函數(shù)的圖象性質，熟悉三角函數(shù)圖象的對稱中心.,解: 函數(shù) 的圖象關 于點 中心對稱.,,歸納小結：熟練掌握三角函數(shù)的性質如：對稱軸方程、對稱中心等.,，由此得,例7 已知函數(shù) （其中 ）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為 ，且圖象上一個最低點為,,,,,,,(1)求 的解析式； (2)當 ，求 的值域.,,,分析：由圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離可知函數(shù)的最小正周期，
9、由圖象上一個最低點，可求得函數(shù)中的參數(shù)，使問題得以解決.,解：（1）由最低點為 ,得A=2.,由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為 得 = ，即 ，,,,由點 在圖象上得 故 又,,,,,,,(2) 當 = ，即 時， 取得最大值2;當 即 時， 取得最小值-1，故 的值域為-1,2.,,,,,歸納小結：熟練掌握三角函數(shù)圖象的性質是解決此類問題的關鍵.,例8 已知函數(shù)： （1）求函數(shù) 的最小正周期； （2）求函數(shù) 在區(qū)間 上的 最小值和最大值,分析：本小題考查三角函數(shù)中的誘導公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù) 的性質等基礎知識，考查基本運算能
10、力,因此，函數(shù) 的最小正周期為 ,（1）解,（2）解法一：因為 在區(qū)間 上為增函數(shù)，在區(qū)間 上為減函數(shù)，又 ， ， 故函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 .,最小值為-1 ,解法二：作函數(shù) 在長度為一個周期的區(qū)間 上的圖象如下：,,由圖象得函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 ，最小值為,,,歸納小結：對于（2）一種方法是運用函數(shù)單調性的性質，另一種解法則是作出函數(shù)圖象求出最值.,,,四、本專題總結,本節(jié)課包含作三角函數(shù)圖象、圖象變換、三角函數(shù)圖象的性質，如周期、單調區(qū)間、最大值最小值等知識.主要研究由圖象解決問題、利用圖象求周期、單調區(qū)間、最大值最小值等問題，主要方法有：代點法，整體代入等方法，,,體現(xiàn)化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想等，應注意熟練掌握概念、公式，圖象及性質，提高綜合應用知識的能力.應注意圖象的左右平移要在x上作變換，兩個角的函數(shù)值相等，那么這兩個角不一定相等，注意它們的關系.,
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