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1、3.3二維正態(tài)分布,定義1 若二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為,稱(chēng)上述的 為二維正態(tài)概率密度.,也就是說(shuō),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴(lài)于參數(shù) .因此可以斷定參數(shù) 描述了 與 之間的某種關(guān)系!,二維正態(tài)分布的5個(gè)參數(shù)的概率意義是：,,定理1 二維隨機(jī)向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則X,不相關(guān)的。,與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是：X與Y是,注意：一般地兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則這兩 個(gè)隨機(jī)變量是不相關(guān)的，反之不相關(guān)的隨機(jī) 變量未必相互獨(dú)立，而二維正態(tài)分布卻是： 兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充分必要條件是： 兩個(gè)隨機(jī)變量是不相關(guān)的。,,研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采
2、用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,下面我們先介紹大數(shù)定律,3.4大數(shù)定律與中心極限定理,字母使用頻率,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,生產(chǎn)過(guò)程中的 廢品率,,闡明大量的隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系,列定理統(tǒng)稱(chēng)為大數(shù)定律。,一、大數(shù)定律,的概率幾乎等于1，即,則稱(chēng)隨機(jī)變量序列 Xn 依概率收斂于,記作,幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律,定理1（Chebyshev切比雪夫大數(shù)定律）,切比雪夫,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大數(shù)定律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述,推論 設(shè)隨機(jī)變量
3、序列 Xn 獨(dú)立且都服從某,個(gè)分布，它們的數(shù)學(xué)期望及方差均存在，,即,注 一般地，我們要求出隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期,來(lái)估計(jì)EX。當(dāng)n充分大時(shí)，偏差不會(huì)太大。,機(jī)變量X的分布時(shí)求EX的方法，即用,知道EX，上述的推論告訴了我們,在不知隨,我們往往在不知隨機(jī)變量X的分布時(shí)，希望,望，必須知道隨機(jī)變量X的分布。但實(shí)際中，,這一點(diǎn)我們將會(huì)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中看到。,定理3 (伯努利大數(shù)定律) 設(shè) 是 重伯努利試,驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗(yàn)中出,即,有,注貝努里大數(shù)定律從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性,下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.,設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，且數(shù)
4、學(xué)期望E (Xi )=, i=1,2,， 則對(duì)任給 0 ，,定理2（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,注 （1）辛欽大數(shù)定律與定理1的推論的區(qū)別 在，辛欽大數(shù)定律與方差無(wú)關(guān)。,（3）貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特 例,而辛欽大數(shù)定律在應(yīng)用中是非常重 要的。,（2） 由于證明辛欽大數(shù)定律要用特征函數(shù) 的知識(shí)，故證明略。,二、中心極限定理,,中心極限定理的客觀背景,在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差
5、等.,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).,現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理.,下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理, 也稱(chēng)列維一林德伯格（LevyLindberg）定理.,定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）,設(shè) X1, X2, , Xn 是獨(dú)立同分布的隨機(jī) 變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1
6、,2,,n，則,注 1）證明所需要的知識(shí)已超出范圍，證明略。,獨(dú)立同分布，且它們的數(shù)學(xué)期,2）中 心極限 定理表明，若 隨 機(jī) 變 量 序 列,望及方差存在，則當(dāng)n充分大時(shí)，其和的分布,,3）中心定理還表明：無(wú)論每一個(gè)隨機(jī)變量,服從什么分布，只要每一個(gè)隨機(jī)變量,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）,例1 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服 從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取 16只,設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16 只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.,由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100, D(X
7、i)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由題給條件知,諸Xi獨(dú)立,,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由于E(Y)=1600,,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,定理2 (棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理) 設(shè) 是 重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù), 又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 則對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 有:,注 1）德莫佛拉普拉斯定理表明:二項(xiàng)分布,,以正態(tài)分布為極
8、限;,2) 棣莫佛拉普拉斯定理是中心極限定理,的特殊情況.,解 設(shè) 表示某一時(shí)刻機(jī)器開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù),則,設(shè)電廠(chǎng)至少要供應(yīng) 個(gè)單位的電能,則由題意,有,由棣莫弗-拉普拉斯定理,有,查表得,應(yīng)有,故至少須向該車(chē)間供應(yīng)2261個(gè)單位的電能,才,能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).,看作是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,而總重量,是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和.,是所求得箱數(shù),由條件可以把,由林德伯格-列維定理,即 必須滿(mǎn)足,即最多可以裝98箱。,例4 在保險(xiǎn)公司里，有3000個(gè)同一年齡的人參 加人壽保險(xiǎn)，在一年里，這些人死亡的概率 為0.1%，參加保險(xiǎn)的人在一年的頭一天交付 保險(xiǎn)金10元，死亡時(shí)，家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng) 取2000元賠償金。,（2）保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少？,（1）求保險(xiǎn)公司一年中獲利不少于10000元的 概率；,概率論中的關(guān)鍵詞,隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間，事件，頻率，概率， 等可能概型，條件概率，全概率公式，貝葉斯 公式，獨(dú)立性；,隨機(jī)變量，分布函數(shù)，分布律，概率密度，函數(shù)的分布，邊緣概率分布律，邊緣概率密度，獨(dú)立性;,數(shù)學(xué)期望,方差,協(xié)方差,相關(guān)系數(shù).,0-1分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，均勻分布， 指數(shù)分布,正態(tài)分布;,
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