內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二講三角函數(shù)與平面向量理科

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1、 內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二講三角函數(shù)與平面向量理科 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及證明涉及恒等變換，而三角函數(shù)的恒等變換是歷年高考命題的熱點(diǎn). 它既可以出現(xiàn)小題（選擇或者填空），也可以與三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形，向量等知識(shí)結(jié)合，參雜、滲透在解答題中，它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間. 提高三角變換能力, 要學(xué)會(huì)設(shè)置條件, 靈活運(yùn)用三角公式, 掌握運(yùn)算、化簡(jiǎn)及證明的方法和技能. 考試要求 ⑴理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（2）會(huì)推導(dǎo)兩角和與差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能

2、解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 題型一 已知三角函數(shù)的值求角問(wèn)題 例1 （１）（2010年天津卷理科7題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，則（　　）． ?。粒　　．　　　C．　　　D． （２）若，，求α+2β= . 點(diǎn)撥 本題（１）宜利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后利用余弦定理求角A. 題（２）首先應(yīng)求α+2β的函數(shù)值，為了使角的范圍好控制，這里選用正切值好一點(diǎn)，然后根據(jù)條件依次找出所需的條件，要注意角的范圍. 解三角形的問(wèn)題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理，正確進(jìn)行邊化角、角化

3、邊，探尋解答. 題（２）最困難的地方在于確定α+2β的范圍，一般地，根據(jù)已知條件，把角的范圍限制得越精確，結(jié)果也越準(zhǔn)確. 解（１）由及正弦定理，得，代入，得 　　　　，即，又，（為什么從角化邊入手？） 由余弦定理，（選用余弦定理合理否？） 所以．故選Ａ． （２）∵，，∴ ∴，（為什么要把角的范圍定得這樣精確？） α+2β,又tan2β=, ∴,∴α+2β=. 易錯(cuò)點(diǎn) 題（１）記錯(cuò)公式、忘記討論角的范圍或者代數(shù)運(yùn)算不熟練是造成這類(lèi)解三角形問(wèn)題的出錯(cuò)的主要原因.這里選用余弦定理求角是正確的，如果選用正弦定理求角就不合理，一是出現(xiàn)2個(gè)角，二是要討論舍棄1個(gè)角，更容易出錯(cuò)；題（

4、２）中，角的范圍容易忽略或放大，導(dǎo)致錯(cuò)誤. 變式與引申1：已知α，β為銳角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值. 題型二 三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題 例2　（2007安徽卷理科第16題）已知為的最小正周期， ，且．求的值． 點(diǎn)撥 本題解題的關(guān)鍵是如何把的化簡(jiǎn)結(jié)果與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，可聯(lián)想到“齊次式”. 高考題中的三角與向量問(wèn)題，向量常常只是工具，重點(diǎn)難點(diǎn)還是三角變換，但兩者的交匯很值得注意. 向量在三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值中的運(yùn)用主要涉及向量的數(shù)量積，向量的平行、垂直、夾角、模等方面. 解 因?yàn)闉榈淖钚≌芷?，故? 因，又．故． 由于，所以 . 另一個(gè)解題思路是： 由， 可

5、得,再由結(jié)論，很容易化簡(jiǎn)得出結(jié)果. 易錯(cuò)點(diǎn) 化簡(jiǎn)后，與結(jié)論聯(lián)系不起來(lái)；結(jié)論化簡(jiǎn)出錯(cuò)或?qū)忣}有誤，不知道結(jié)論可用表示. 變式與引申2：已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）. （1）若α∈(－π，0)，且||＝||，求角α的大小； （2）若⊥，求的值． 題型三 三角函數(shù)的取值范圍問(wèn)題 例3?。?010年江西卷理科17題）已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，，求的值. 點(diǎn)撥 （1）首先爭(zhēng)取把變換成的形式，要特別注意在什么區(qū)間上求的取值范圍；（2）如何把正切值轉(zhuǎn)換為已知的三角函數(shù)值，從而求出的值. 解 (1

6、) 當(dāng)，. 由，得， 從而在區(qū)間上的取值范圍是. （2）= = . 由，得 ， .所以，由 ，求得 . 在高考中，本題第（2）小題還出現(xiàn)一些新的解法，同學(xué)們不妨一試： 解法思路：由 ，從而有四條思路： （1），化成關(guān)于的等式，求出m-2; （2），同（1），求出m=-2. （3），同（1），求出m-2. （4）由，，求出m-2. 易錯(cuò)點(diǎn) 記錯(cuò)二倍角公式；不會(huì)在區(qū)間上，聯(lián)系三角函數(shù)圖像求函數(shù)的取值范圍；或運(yùn)用公式不合理，產(chǎn)生錯(cuò)誤.例如用，去求，容易出現(xiàn)符號(hào)處理帶來(lái)的麻煩等等. 變式與引申3：已知向量，，且，其中A、B、C

7、是ABC的內(nèi)角，分別是角A，B，C的對(duì)邊． （1）求角C的大??； （2）求的取值范圍． 題型四 三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值的綜合應(yīng)用 例4　已知角是三角形的三內(nèi)角，向量,,， 且. （1）求角； （2）求；（3）若邊的長(zhǎng)為，求的面積． 點(diǎn)撥 本題難在第（2）題，若整理成關(guān)于角B的二次式或齊次式，運(yùn)算則相對(duì)簡(jiǎn)單；第（3）題也要注意選擇運(yùn)算簡(jiǎn)單的思路. 解（1）∵, ∴ , 即. ,. ∵,∴,∴, ∴. （2）由題知，整理得，∴, ∴.∴或.而使，舍去. ∴. ∴. （3）由（1）知， 得，又，故（舍去負(fù)值，為什么？）, 由正弦定理，∴. ∴. 故三角形的面積

8、. 易錯(cuò)點(diǎn) 求解本題，易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是本題有點(diǎn)運(yùn)算量,很容易由于選擇的解法運(yùn)算繁瑣而算錯(cuò)；二是不會(huì)根據(jù)條件回避討論.由角的范圍或其它隱含條件去討論甄別函數(shù)值至關(guān)重要，也很容易出錯(cuò)． 其它解法思路：化簡(jiǎn)時(shí)，也有很多的思路，如： ⑴由,得； ⑵由得等. 變式與引申4：在題（3）中，若內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，且求邊c的長(zhǎng). 本節(jié)主要考查 ⑴三角函數(shù)的公式及其在化簡(jiǎn)、求值和證明中的運(yùn)用；⑵ 恒等變換的能力和運(yùn)算能力；⑶三角形中的邊、角、面積等關(guān)系（正余弦定理）；（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法等等. 點(diǎn)評(píng) 高考試題中的三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點(diǎn)突出.

9、因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中既要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì).以及化簡(jiǎn)、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又要注重三角知識(shí)的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識(shí)的應(yīng)用意識(shí).本節(jié)涉及的知識(shí)與技能主要有: （1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在最后所得到的結(jié)果中，要求所含函數(shù)和角的名稱或種類(lèi)最少,三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一，各項(xiàng)的次數(shù)盡可能地低，出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)最少，一般應(yīng)使分母和根號(hào)不含三角函數(shù)式，對(duì)能求出具體數(shù)值的，要求出值． （2）三角函數(shù)的求值問(wèn)題，是訓(xùn)練三角恒等變換的基本題型，求值的關(guān)鍵是熟練掌握公式及應(yīng)用, 掌握公式的逆用和變形.在化簡(jiǎn)和求值中

10、，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，對(duì)角的范圍尤其要注意討論. （3）證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式. 證明時(shí)常用的方法有：①?gòu)囊贿呴_(kāi)始，證明它等于另一邊；②證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；③證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立；④分析法等. （4）近年的考綱明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查，且常結(jié)合三角形內(nèi)的三角恒等變換進(jìn)行考查．解三角形這類(lèi)題目的解答程序是：一是看方向（是從角化邊入手還是邊化角入手）；二是用定理（合 理且靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理）；三是

11、定答案（根據(jù)取值范圍討論并確定答案）.還要特別注意三角形中三個(gè)角A、B、C，三條邊a、b、c，中線ma，角平分線AD，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，三角形面積S之間的關(guān)系和三角形的形狀. （5）三角函數(shù)的綜合問(wèn)題常常與向量，二次函數(shù)等有關(guān)，但著力點(diǎn)還是三角知識(shí)，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差等進(jìn)行恒等變形，是高考考查的重中之重. 解答這類(lèi)綜合問(wèn)題的原則是三點(diǎn)： 降次——化次數(shù)較高的三角式為次數(shù)較低的三角式； 減元——化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù)； 變角——化多角的三角函數(shù)為單角的三角函數(shù). 還要特別注意： ①1的變化： ②角的變化：

12、③化切為弦、升冪公式、降冪公式的合理運(yùn)用； ④在理解的基礎(chǔ)上熟記和靈活運(yùn)用各種公式，包括正用公式、反用公式和變用公式. 習(xí)題2－1 1. 已知cos+sinβ=，sin+cosβ的取值范圍是D，x∈D，則函數(shù)y=的最小值為( ). A. B. C. D. 圖 2.（2010年江蘇卷理科第13題）在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，則=________． 3.已知，求的值． 4.（2007年江西卷理科第18題）如圖，函數(shù) 的圖象與 軸交于點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線

13、的斜率為． （1）求和的值； （2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值． 5.已知向量m＝（，1），n＝(，). （1）若m?n=1,求的值; （2）記f(x)= m?n，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f(A)的取值范圍. 第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其變換 近幾年高考對(duì)“三角函數(shù)”一章三角的考查要求略有降低，而對(duì)三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)的考查有逐步加強(qiáng)的趨勢(shì). “考試大綱”將三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由“了解”改為“理解”，提高了一個(gè)層次.因此，考生在復(fù)習(xí)中要作出相應(yīng)的調(diào)整.它們的難度值一般

14、控制在0.5-0.8之間，且在解答題中大多需要利用三角函數(shù)的變換和性質(zhì)求解. 考試要求 ⑴理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì),理解正切函數(shù)的單調(diào)性；⑵了解函數(shù)的物理意義，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，了解參數(shù) 對(duì)函數(shù)圖像變化的影響. 題型一 由“參”定“形”，由“形”定“參” 【例1】(1) 圖 ⑵已知函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式為. 點(diǎn)撥：（1）在函數(shù)y＝Asin（ωx＋j）的有關(guān)問(wèn)題中，只要確定了這三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，則該函數(shù)的圖像、性質(zhì)等就出來(lái)了；同理，（2）中

15、，已知圖像求解析式問(wèn)題，關(guān)鍵也是確定三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，最困難的就是求φ. 于是，本題的答案為②、③． 以下求j的值有多種方法可供選擇： 易錯(cuò)點(diǎn) 題（１）中，選項(xiàng)“”的含義容易被誤解；題（2）中，已知圖像求解析式中的φ時(shí)，常常由于方法不當(dāng)或范圍不清晰而不能求出準(zhǔn)確值. 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的圖像由若干個(gè)參數(shù)確定(即由“參”定“形”)，同時(shí)，已知三角函數(shù)的圖像也能夠確定這若干個(gè)參數(shù)（即由“形”定“參”).本例所用的方法帶有普遍性，用來(lái)求解有關(guān)函數(shù)y＝

16、Asin（ωx＋j）的圖象問(wèn)題十分奏效. 變式與引申1：（2009全國(guó)卷Ⅱ理）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ） A． B. C. D. 題型二 利用圖像的性質(zhì)解題 【例2】設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a，x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈N* ）， （1）y＝sin3x 在[0,]上的面積為　 　；（2）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為　 . 圖 點(diǎn)撥：本題解題的關(guān)鍵是審題，可以畫(huà)個(gè)草圖幫助理解題意，

17、如圖.第（1）問(wèn)簡(jiǎn)單，第（2）問(wèn)的函數(shù)圖像有了變化：向右移動(dòng)個(gè)單位，再向上移動(dòng)1個(gè)單位；其所求的面積就是圖中直線, ，x軸以及y＝sin（3x－π）＋1的圖像 所圍成圖形的面積. 可以把直線y=1上方的兩 個(gè)“波峰”拿一個(gè)填入“波谷”，得到一個(gè)矩形 和一個(gè)“波峰”，其面積容易求出. 【解析】（1）T=, n=3,一個(gè)周期的面積為. （2）S=1×(-)+=. 易錯(cuò)點(diǎn): 第（2）問(wèn)審題容易出問(wèn)題，結(jié)合圖像能夠幫助理解題意. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象的平移變換、對(duì)稱變換及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意觀察題目函數(shù)圖像的特點(diǎn)隨機(jī)應(yīng)變，如本題可利用圖像的對(duì)稱性解題. 變式與引申2：已

18、知函數(shù)，x∈[0, ]的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，求該圖形的面積. 題型三 三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 【例３】已知函數(shù)（，且均為常數(shù)）， （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到的最小值2，試求的值． 點(diǎn)撥 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時(shí)，首先應(yīng)該對(duì)所給的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最好化為一個(gè)角（形如）、一種三角函數(shù)的形式． 三角函數(shù)的性質(zhì)是本章的重點(diǎn)之一．三角函數(shù)在確定區(qū)間上的最值（或值域）問(wèn)題則是個(gè)難點(diǎn)，一般要利用到其有界性和單調(diào)性，且經(jīng)常與三角函數(shù)的恒等變形，二次函數(shù)，不等式，解方程等結(jié)合起來(lái)，綜合考查能力．

19、 【解析】（1） （其中）， 所以，函數(shù)的最小正周期為． （2） 由（1）可知：的最小值為，所以，． 另外，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上的最小值為， 所以，，聯(lián)立解得：. 易錯(cuò)點(diǎn): 在題（2）中，能否正確列出方程組，還有計(jì)算時(shí)也容易出錯(cuò). 變式與引申3：求函數(shù)的值域. 題型四 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例4】已知函數(shù)的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，將圖象上的各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，然后再向左平移1個(gè)單位得到的圖象，且方程的所有正根構(gòu)成一個(gè)以3為公差的等差數(shù)列，求的解析式及其最小正周期、單調(diào)遞減區(qū)間. 點(diǎn)撥 本題比較難，首先難在審題上，要理清各

20、層題目意思；其次，原題中的函數(shù)不但有a,b,c三個(gè) 參數(shù)，而且圖像也不在標(biāo)準(zhǔn)位置上；第三難在通過(guò)圖像變換后，會(huì)得到什么樣的函數(shù)圖像，還有方程的根正好構(gòu)成等差數(shù)列又怎么理解.解題思路分析如下：第一步，要化成同名函數(shù)；其次是利用轉(zhuǎn)化的思想，把“三元”化為“一元”，這可以通過(guò)圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化得到；然后處理圖像變換，得出y=f(x)的含參解析式；最后利用等差數(shù)列求出參數(shù)c. 此題是三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用題，要正確解答必須對(duì)三角函數(shù)圖象變換的基本特性有較深刻的認(rèn)識(shí)，考查綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，和數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.解決三角函數(shù)的圖象變換問(wèn)題，要注意以下兩方面：首先要化為同名函數(shù)；其次是周期

21、變換發(fā)生在相位變換之前時(shí)，應(yīng)明確平移的量是什么.還要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解題. 【解析】將函數(shù)化為，由條件得 ， 圖 下一步是關(guān)鍵是求出參數(shù)c，顯然的周期，其半周期的長(zhǎng)度恰好為3.而可看成的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且由半 周期的長(zhǎng)度為3可知，相鄰交點(diǎn)間的距離也為3，從而由 三角函數(shù)圖象的特征知道，，否則無(wú)法滿足半周期為3. 的圖象與與直線的交點(diǎn)只可能是在的各 對(duì)稱中心，對(duì)稱軸向上平移了3個(gè)單位，即，如圖 .從而,單調(diào)遞減區(qū)間為. 易錯(cuò)點(diǎn) 本題易出錯(cuò)的地方是平移、伸縮時(shí)，解析式的變化，再就是用等差數(shù)列的條件時(shí)討論不全． 變

22、式與引申4：函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞?，研究函?shù)f(x)= +的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上，作出其在的草圖． 本節(jié)主要考查 ⑴三角函數(shù)的圖象，包括：①y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象；②“五點(diǎn)法”畫(huà)出y=Asin（ωx+φ）的簡(jiǎn)圖；③利用平移和伸縮變換畫(huà)出y=Asin（ωx+φ）的圖象；⑵三角函數(shù)性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值；⑶三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用；（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法. 點(diǎn)評(píng) 高考對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一向是考查的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注意與三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值等基礎(chǔ)知識(shí)，以及三角函數(shù)的

23、恒等變形等結(jié)合起來(lái)，還要注意與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系.復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是正、余弦函數(shù)的圖象變換及其應(yīng)用，掌握它們的性質(zhì),其中單調(diào)性又是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn). 1.對(duì)三角函數(shù)圖象要從對(duì)稱軸和有界性這兩個(gè)角度去把握，對(duì)稱性包括對(duì)稱軸和對(duì)稱中心兩個(gè)關(guān)鍵要素，要熟記y=sinx、y=cosx、y=tanx的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心． 2．對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的研究要首先建立在定義域的基礎(chǔ)之上．而求三角函數(shù)的定義域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表現(xiàn)為圖象法或三角函數(shù)線法． 對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的考查總是與三角變換相結(jié)合．一般解題規(guī)律是先對(duì)三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行三角變換，使之轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，再利用換元法

24、轉(zhuǎn)化為對(duì)基本三角函數(shù)性質(zhì)的研究． 3. 求三角函數(shù)的最值問(wèn)題屬于常見(jiàn)題型，主要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般通過(guò)三角變換和換元化為一次函數(shù)或二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,或引入輔助角,或采用“不等式”法,或“數(shù)形結(jié)合”等基本類(lèi)型處理. 4.對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其圖象的基本變換是個(gè)難點(diǎn)，各種變換的實(shí)質(zhì)要熟練掌握，不能單從形式上簡(jiǎn)單判斷． 5．“五點(diǎn)法”是三角函數(shù)作簡(jiǎn)圖的有力武器,要熟練掌握.最基本的三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征，要準(zhǔn)確掌握，它是利用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵． 6.主要題型：求三角函數(shù)的定義域、值域、周期，

25、判斷奇偶性，求單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性比較大小，圖象的平移和伸縮，圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，利用圖象解題，根據(jù)圖象求解析式. 7．常用方法： (1)求三角函數(shù)的值域、最值：利用正弦、余弦函數(shù)的有界性，通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值問(wèn)題； (2)求周期：將函數(shù)式化為一個(gè)三角函數(shù)的一次方的形式，再利用公式，利用圖象判斷. 習(xí)題2－2 圖 1.（2009浙江文、理）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( ) 2. 若函數(shù)f（x）= a+bcosx+csinx的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B（,且時(shí), f（x）≤2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

26、 3.函數(shù)f(x)=a+bsin2x+ccos2x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（，1）,且當(dāng)x∈［0, ］時(shí)，f(x)取得最大值2－1．（1）求f(x)的解析式；（2）(選作題)是否存在向量m，使得將f(x)的圖象按向量m平移后可以得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象？若存在，求出滿足條件的一個(gè)m;若不存在，說(shuō)明理由. 4.已知函數(shù)f(x)=A(A>0,>0,0<<函數(shù)，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)（1，2）. （1）求f(x); （2）計(jì)算f(1)+f(2)+… +f(2 011). 5．設(shè)函數(shù)f(x)=a·b，其中向量a=

27、(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R. （1）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x； （2）試作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖； (3) 設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M ，若有10個(gè)互不相等的正數(shù)且 ，求的值. 第三節(jié) 平面向量與代數(shù)的綜合應(yīng)用 平面向量與代數(shù)的綜合應(yīng)用為每年高考必考內(nèi)容，以選擇題（填空題）形式出現(xiàn)，或作為題設(shè)條件與三角函數(shù)（解三角形）、數(shù)列、函數(shù)不等式形成綜合解答題的形式出現(xiàn)，分值在4～12分左右；向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”，這使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，也成為多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，在高考中主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，突出

28、向量的工具作用，難度系數(shù)在0.4～0.8之間. 考試要求⑴理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等及向量共線的含義；⑵掌握向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算；⑶了解平面向量基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，理解用坐標(biāo)表示向量的加法和減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件；⑷理解平面向量的數(shù)量積的含義及其物理意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式并會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，能用數(shù)量積表示兩向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系. 題型一 平面向量的有關(guān)概念及應(yīng)用 例1（2010年山東卷理）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下，對(duì)任意的，，令，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

29、（A）若與共線，則 （B） （C）對(duì)任意的，有 （D） 點(diǎn)撥：仿照平面向量的線性運(yùn)算規(guī)則及數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行“”運(yùn)算. 解：若與共線，則有，故A正確；因?yàn)椋? 而，所以有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選B. 易錯(cuò)點(diǎn)：把定義的運(yùn)算“”混同與“”，認(rèn)同選項(xiàng)B正確. 變式與引申1：已知兩個(gè)非零向量，定義運(yùn)算“#”：，其中為的夾角．有兩兩不共線的三個(gè)向量，下列結(jié)論：①若，則；②；③若；則；④；⑤．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 題型二 平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 例2：已知向量，． (1)當(dāng)時(shí)，

30、求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間． 點(diǎn)撥：(1)由向量平行列方程解出的值，所求式子轉(zhuǎn)化成正切單角名稱的三角代數(shù)式，代入可求解；(2)進(jìn)行向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積運(yùn)算得到的解析式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)結(jié)構(gòu). 解：(1)由 得，即， 所以. (2) 因?yàn)?，；所以? ；所以最小正周期為;由 得，故單調(diào)遞增區(qū)間為 (). 易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)算的值出錯(cuò)；轉(zhuǎn)化為形式出錯(cuò)；下結(jié)論時(shí)遺漏. 變式與引申2： 已知向量, (1)若,求；(2)求的最大值． 題型三 平面向量與數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3(2008年株洲一模)在平面直角坐標(biāo)系中已知,滿足向量與向量共線，且點(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上.若. (1)

31、 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和. 點(diǎn)撥：利用點(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上和與共線分別得出數(shù)列遞推公式和，求出后再求的通項(xiàng)公式. 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上，所以，即于是數(shù)列是等差數(shù)列，故；因?yàn)?，；又因?yàn)楣簿€，所以 即，當(dāng)n≥2時(shí)， ，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立, 所以. (2), . 易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤理解點(diǎn)都在斜率為6的同一條直線上的含義,無(wú)法求得的通項(xiàng)公式；由與共線錯(cuò)列方程得到結(jié)果. 變式與引申3：數(shù)列中，，，數(shù)列中，，，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)列，則向量++…+的坐標(biāo)為(　 ). A. B. C. D. 題型四 平面

32、向量與函數(shù)的綜合應(yīng)用 例4(2010年洛陽(yáng)十校)已知平面向量(，－1)，(, ). (1) 若存在實(shí)數(shù)和，使得＋, ，且，試求函數(shù)的關(guān)系式；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定的單調(diào)區(qū)間. 點(diǎn)撥：第(1)問(wèn)先分別求得與的坐標(biāo)，再用的充要條件或是直接利用的充要條件，進(jìn)行向量的代數(shù)運(yùn)算,其過(guò)程將用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，得到函數(shù)的關(guān)系式；第(2)問(wèn)中求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法.解：（1）方法一：由題意知(,), ，又故＝×（）＋×()＝0，整理得：，即 . 方法二：因?yàn)?，－1)，(, ),所以＝2，＝1且，又故＝0. 即，化簡(jiǎn)得, 所以. (2) 由(1)知：，求導(dǎo)，令＜0得

33、－1＜＜1；令＞0得 ＜－1或＞1.故的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 易錯(cuò)點(diǎn)：字母運(yùn)算出錯(cuò)不能正確得到的坐標(biāo)形式；沒(méi)能通過(guò)簡(jiǎn)單的心算判斷出，使得的展開(kāi)式中無(wú)法消去含有的項(xiàng). 變式與引申4：1.已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角α，使向量＝＋(), ＝＋,且⊥，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍； 2.(2010山東德州模擬)已知兩個(gè)向量， . （1）若且，求實(shí)數(shù)x的值； （2）對(duì)寫(xiě)出函數(shù)具備的性質(zhì). 本節(jié)主要考查（1）知識(shí)點(diǎn)有平面向量的有關(guān)概念、加減法的幾何意義、向量共線定理、平面向量的基本定理、坐標(biāo)表示、垂直關(guān)系、向

34、量的數(shù)量積；（2）演繹推理能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)；（3）函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法. 點(diǎn)評(píng)（1）掌握平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算來(lái)處理向量與代數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題（如例1），要善于利用向量“數(shù)”與“形”兩方面的特征；（2）向量共線的充要條件中應(yīng)注意只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，向量共線的坐標(biāo)表示不能與向量垂直的坐標(biāo)表示相混淆；（3）理解向量的數(shù)量積的定義、運(yùn)算律、性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，向量的數(shù)量積的結(jié)果是實(shí)數(shù)而不是向量，注意數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律的差異；（4）向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，向量與函數(shù)、數(shù)列、解三角形、不等式等相結(jié)合形成了代數(shù)的綜合問(wèn)

35、題（如例2、例3、例4），在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題來(lái)考查了向量的工具性及學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 習(xí)題2—3 1.（2010年廣東文數(shù)）若向量，，滿足條件，則= A. 6 B.5 C.4 D.3 2.（2010年西南師大附中月考） 設(shè)兩個(gè)向量和其中為實(shí)數(shù).若則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 3.（2009年晉城二模）已知向量 (m是常數(shù)), (1)若是奇函數(shù)，求m的值; (2)若向量的夾角為中的值，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 4.（2009年湖北卷理）已知向量，，

36、. （1）求向量的長(zhǎng)度的最大值； （2）設(shè)且，求的值. 5.（2010鄭州四中模擬）已知點(diǎn)集，其中，點(diǎn)列在中，為與軸的公共點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1； (1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和k*s*5*u滿足對(duì)任意的都成立，試求的取值范圍. 第四節(jié) 平面向量與幾何的綜合應(yīng)用 平面向量與幾何的綜合應(yīng)用內(nèi)容為每年高考必考內(nèi)容，多以選擇題（填空題）形式考查平面向量相關(guān)概念的幾何意義及與平面幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，或作為題設(shè)條件與解析幾何知識(shí)綜合以解答題形式出現(xiàn)，分值在4-12分左右；難度系數(shù)在0.3～0.6之間. 考試要求⑴理解平面向量的概念、兩個(gè)向量平行或共線及相等的幾何意

37、義；⑵掌握向量的加減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算幾何意義，了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義；⑶了解平面向量基本定理及其意義；⑷理解平面向量的數(shù)量積的含義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，能用數(shù)量積表示兩向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系；⑸會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題和簡(jiǎn)單力學(xué)問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題. 題型一 平面向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義應(yīng)用 例1 ⑴已知為平面上四點(diǎn)，且，，則( 　) A．點(diǎn)M在線段AB上 B．點(diǎn)B在線段AM上 C．點(diǎn)A在線段BM上 D．O、A、M、B四點(diǎn)共線 ⑵在中，點(diǎn)在上，平分．若，，，

38、，則( 　)　　　　A. B. C. D. 點(diǎn)撥：⑴考查了平面向量的加減法運(yùn)算，利用數(shù)乘運(yùn)算幾何意義根據(jù)來(lái)判斷點(diǎn)M的位置：⑵考查向量的基本運(yùn)算和三角形的角平分線定理，關(guān)鍵在于確定點(diǎn)D在AB上的位置，由角平分線定理得出D為AB的三等分點(diǎn)，結(jié)合向量的基本運(yùn)算求解； 解：⑴選B. 根據(jù)題意知,則，即.由判斷出點(diǎn)Ｍ在線段AB的延長(zhǎng)線上，即點(diǎn)B在線段AM上； ⑵選B．因?yàn)槠椒?，由角平分線定理得，所以Ｄ為AB的三等分點(diǎn)，且，故； 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴沒(méi)有根據(jù)來(lái)判斷點(diǎn)M的位置；⑵同學(xué)對(duì)角平分線定理不熟悉，導(dǎo)致求解出錯(cuò). 變式與引申1：⑴（2010湖北卷）已知和點(diǎn)M滿足，

39、若存在實(shí)數(shù)使得成立，則=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 ⑵設(shè)分別是的三邊上的點(diǎn)，且則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 題型二 平面向量基本定理及數(shù)量積的幾何意義應(yīng)用 例2：⑴（2010江蘇泰興質(zhì)檢）在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是　　?。? ⑵已知， ，，，，設(shè)，如果，，，那么為何值時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上？ ⑶（2010江蘇南通質(zhì)檢）如圖2-8，在等腰中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是（包括邊界）內(nèi)任意一點(diǎn)，則的取值范圍是

40、 ； 點(diǎn)撥：⑴利用平面向量基本定理和向量加法的平行四邊形法則，通過(guò)畫(huà)圖數(shù)形結(jié)合解出，或者用平面向量基本定理及線性規(guī)劃的知識(shí)來(lái)解出；⑵向量個(gè)數(shù)較多，應(yīng)選準(zhǔn)一對(duì)作為基底，利用平面向量共線充要條件列出方程求解；⑶因?yàn)?，又是向量在的方向上的投影，那么相?dāng)于與向量在的方向上的投影的乘積. G 圖 A B C D E F 解：⑴方法一，的取值范圍是.從特例試一試，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)(如圖)，確定，過(guò)點(diǎn)作和（即和）的平行線得，易知，, 所以；同理點(diǎn)與重合時(shí)，也可以得；點(diǎn)與重合 時(shí)，，所以. 方法二，如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)六邊形的邊長(zhǎng)為2，各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分 圖 x C y

41、 F E D A B o P 別是、、、、、， 令，那么,,. 由得 ①， ②，二者聯(lián)立 有，.因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)（包括邊界），所以點(diǎn) 必在直線和的下方，同時(shí)在直線的上方，求出直線和的方程， 根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)得到點(diǎn)滿足的約束條件是：；把分別換成得；作圖驗(yàn)證可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，即；點(diǎn)與重合時(shí)，，即.所以的取值范圍是； C A B N 圖 M P ⑵由題設(shè)知，，三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，即，整理得，①若共線，則可為任意實(shí)數(shù)；②若不共線，則有，解之得，．所以綜上所述，當(dāng)共線時(shí)，則可為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)不共線時(shí)，； ⑶因?yàn)辄c(diǎn)是定點(diǎn)，點(diǎn)在（包括邊界）

42、內(nèi)任意移動(dòng)，所以向 量在方向上的投影最長(zhǎng)時(shí)位于處的，最短時(shí)位于處， 且為負(fù)數(shù)，所以，再以為原點(diǎn)， 所在直線為軸，所在直線為軸建立坐標(biāo)系,得,,, ,，,即. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴對(duì)平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法進(jìn)行平行四邊形法則作圖不到位，判斷的取值出錯(cuò)；⑵不能正確選準(zhǔn)一對(duì)向量來(lái)作為基底去表示，沒(méi)有對(duì)是否共線進(jìn)行分類(lèi)討論；⑶沒(méi)有認(rèn)識(shí)到的取值范圍即為向量在方向上的投影. 變式與引申2：⑴已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，O為原點(diǎn)，且（其中均為實(shí)數(shù)），若N（1，0），則的最小值是 . ⑵已知=1，=,,點(diǎn)在內(nèi)，且=30°，設(shè) ，則等于（　 ） A. 　 B.3

43、 　 C. D. 題型三 平面向量與平面幾何綜合的問(wèn)題 例３：⑴已知中，過(guò)重心的直線交于，交邊于，設(shè)的面積為，的面積為，，，則① 　　 ，②的取值范圍是 ； ⑵（2010全國(guó)卷）已知圓的半徑為１，為該圓的兩條切線，、為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 點(diǎn)撥：⑴令通過(guò)引入中間變量根據(jù)三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之間的關(guān)系式；⑵用的三角函數(shù)形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算形式求解. 解：⑴；設(shè)因?yàn)槭恰鞯闹?/p>

44、心，故，又，，因?yàn)榕c共線，所以，即，又與不共線， A P B Q G C 圖 所以及，消去，得； ① ，故； ② ，那么，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，，故，故，但因?yàn)榕c不能重合，故 B 圖 P A ⑵選D.方法一：如圖，令 ， 令，； 方法二：以圓心O的坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為軸，建立坐標(biāo)系：圓的方程為， 設(shè)，，，，由 ， 所以有． 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴沒(méi)有正確引入中間變量使得和之間的關(guān)系式運(yùn)算出錯(cuò)：⑵對(duì)的三角形式化簡(jiǎn)方向偏離正確結(jié)構(gòu)或建立坐標(biāo)系沒(méi)有利用得出，難以繼續(xù)演算． A C B P O 圖 變式與引申3：⑴（2009合肥一中）是平面上一定

45、點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足則的軌跡一定通過(guò) 的( ) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 ⑵如圖2-11，半圓的直徑，為圓心，是圓弧上不同于的任意 一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ； 題型四 平面向量與圓錐曲線綜合的問(wèn)題 例4（2010北京宣武區(qū)二模）已知直線與曲線：交于兩點(diǎn)A、B； ⑴設(shè)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程； ⑵是否存在常數(shù)，對(duì)任意，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由. ⑶對(duì)為任意正實(shí)數(shù)，是否存在常數(shù)，都有為常數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：⑴從

46、分析點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)，直線方程與曲線方程聯(lián)立消，演算出點(diǎn)關(guān)于的參數(shù)方程，消參數(shù)可求點(diǎn)P的軌跡方程；⑵由和根與系數(shù)關(guān)系式建立方程組，去探究是否存在常數(shù)；⑶應(yīng)該是上一問(wèn)的引申，遵循了由特殊到一般的探究過(guò)程． 解：⑴設(shè)，則，由消去，得： ；依題意有解得：且；，；所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為消去，得：，即，由得，由且，解得或，點(diǎn)P的軌跡方程為（或）； ⑵假設(shè)存在這樣的常數(shù)．由消y得：?、?，及；因?yàn)? ；解得：．當(dāng)時(shí)，，且方程①判別式，所以對(duì)任意，A、B兩點(diǎn)總存在，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有； ⑶假設(shè)這樣的常數(shù)存在，對(duì)為任意正實(shí)數(shù)，使為一常數(shù)M.即， 即，化簡(jiǎn)得：，對(duì)為任意正實(shí)數(shù)，有，成立，即，出現(xiàn)了

47、矛盾．所以這樣的常數(shù)不存在． 易錯(cuò)點(diǎn)：求出點(diǎn)P的軌跡方程后，沒(méi)有注意到的取值范圍，代數(shù)式化簡(jiǎn)運(yùn)算出錯(cuò)． 變式與引申4：⑴已知定點(diǎn)(-1,0)和B (1,0)，是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 ；最小值是 . ⑵（2010遼寧名校）已知、B、C是橢圓M：上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，BC過(guò)橢圓M的中心，且，； ① 求橢圓M的方程； ②過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在時(shí)）與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，設(shè)D為橢圓M與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且求實(shí)數(shù)的取值范圍． 本節(jié)主要考查 ⑴知識(shí)點(diǎn)有平面向量的加減法、向量共線定理、平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積的幾何意義及運(yùn)算，平面向量平

48、行和垂直位置關(guān)系；⑵演繹推理能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)；⑶數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)、不等式思想、分類(lèi)討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和應(yīng)用向量法分析解決問(wèn)題． 點(diǎn)評(píng) ⑴認(rèn)識(shí)向量的幾何特性．對(duì)于向量問(wèn)題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究，掌握平面向量相關(guān)概念的幾何意義，正確地運(yùn)用向量的各種運(yùn)算來(lái)處理向量與幾何的綜合應(yīng)用問(wèn)題（如例1、例2），要善于利用向量“數(shù)”與“形”兩方面的特征；⑵理解向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律、性質(zhì)幾何意義，并能靈活應(yīng)用處理與向量的夾角、模長(zhǎng)和垂直的相關(guān)問(wèn)題；⑶平面向量能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，注意向量在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，要關(guān)注平面向量與三角形等平面幾何知識(shí)相結(jié)合的綜合問(wèn)題

49、（如例３）及平面向量作為解析幾何問(wèn)題的已知條件與之交織在一起的綜合問(wèn)題（例４）；⑷平面向量重視考查綜合能力，體現(xiàn)了向量的工具性及學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，學(xué)生要善于運(yùn)用向量方法解題，樹(shù)立運(yùn)用向量知識(shí)解題的意識(shí)；⑸知曉三角形五“心”向量形式的充要條件，設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則 ①為的外心； ②為的重心； ③為的垂心； ④為的內(nèi)心； ⑤為的的旁心； 習(xí)題２－４ 1．在△ABC中，若對(duì)任意，有，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形　　　B．直角三角形　　　C．等腰三角形或直角三角形　　　D．等腰直角三角形 2．設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則△AB

50、P的面積與△ABQ的面積之比為_(kāi)_______． 3．（2010荊州模擬）已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，O是直線l外一點(diǎn)，向量，，滿足，求函數(shù))的表達(dá)式； ４．已知△ABC的周長(zhǎng)為6，成等比數(shù)列．⑴求的面積S的最大值；⑵求的取值范圍． 5．（2010泉州模擬）過(guò)拋物線上不同兩點(diǎn)、分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)， ⑴求點(diǎn)的軌跡方程； ⑵已知點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 第二講　測(cè)試卷 一、選擇題:本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.將時(shí)鐘的分針撥慢10分鐘，那么此過(guò)程中分針經(jīng)過(guò)的弧

51、度數(shù)為 （ ） A． B. － C. D. － 2．已知平行四邊形ABCD，O是平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，，，，則向量等于 （ ） A．++ B．+- C．-+ D．-- 3. 已知： A． B． C． D．高☆考♂資♀源€網(wǎng) 4．若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為

52、 （ ） A． B. C. D. 5.函數(shù)y=|sinx|－2sinx的值域是 （ ） A.［－3，－1］ B.［－1，3］ C.［0，3］ D.［－3，0］ 6．已知＝(sinθ，)，＝(1，)，其中θ∈(π，)，則一定有 （ ） A．∥ B．⊥ C．與夾角為45° D．||＝|| 7．已知向量＝(6，－4)，＝(0，2),＝＋l，若C點(diǎn)在函數(shù)y

53、＝sinx的圖象上,實(shí)數(shù)l＝（ ） A． B． C．－ D．－高☆考♂資♀源€網(wǎng) 8．對(duì)于函數(shù)f（x）=給出下列四個(gè)命題： ①該函數(shù)的值域?yàn)椋郏?，1］；②當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值1； ③該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π

54、 ） A． B． C． D． 10. ( ) A. B. C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分,共25分．把答案填在題中橫線上． 11．設(shè)函數(shù).若是奇函數(shù)，則__________． 12.已知向量＝(sinq，2cosq)，＝(,－).若∥，則sin2q的值為_(kāi)___________． 13.設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則

55、的值為 ____________________. 14.已知=4, =3, =61.在中，=, =, 則的內(nèi)角A的度數(shù)是 . 15．設(shè)=（1+cosα，sinα）， =（1－cosβ，sinβ）， =（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），與的夾角為θ1，與的夾角為θ2，且θ1－θ2=，則sin的值 ． 三、解答題:本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字的說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 16．(本題滿分12分)．已知向量，． （1）當(dāng)，且時(shí)，求的值； （2）當(dāng)，且∥時(shí)，求的值． 17．(本題滿分12分)在△ABC

56、中，A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，已知向量＝(1，2sinA)，＝(sinA，1＋cosA)，滿足∥，b＋c＝a. (1)求A的大小； (2)求sin(B＋)的值． 18. (本題滿分12分)已知＝(cosx＋sinx，sinx)，＝(cosx－sinx，2cosx). （1）求證：向量與向量不可能平行； （2）若f(x)＝·，且x∈[－,]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值． 19. (本題滿分12分) 已知ΔABC中，A、B、C分別是三個(gè)內(nèi)角，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)sinB,ΔABC的外接圓的

57、半徑為. （1）求角C; （2）求ΔABC面積S的最大值. 20．（本小題滿分13分）已知、是兩個(gè)不共線的向量，且=（cos，sin）, =（cos，sin）. （1）求證：+與－垂直； （2）若∈（），=，且|+| = ，求sin. 21．(本題滿分14分)已知向量, ,記函數(shù) 已知的周期為π. （1）求正數(shù)之值, 并求函數(shù)f(x)的的單調(diào)遞增區(qū)間. （2）試用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖，并指出該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？ （3）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿足sin,試求f(x)的值域. - 27 -