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1、第11章 濾波器設(shè)計,11.1 濾波器的設(shè)計基礎(chǔ) 1.分貝 首先，兩個功率值可以通過下面的公式（11.1.1）進(jìn)行比較。比值的單 位是貝爾（Bel），是電信領(lǐng)域用來表示功率訊號的增益和衰減的單位。 （11.1.1） 1個貝爾的增益是電路中放大后與放大前的功率比值 （11.1.2） 因而使用分貝來表示兩個功率 , 的比值，應(yīng),,,,,如果 ，則此環(huán)節(jié)沒有作增益或者衰減，dB0。如果 ，則此環(huán)節(jié)應(yīng) 作了增益，dB0，分貝值為正。如果 ，則此環(huán)節(jié)應(yīng)作了衰減，dB<0，分 貝值為負(fù)。 有一個非常典型的分貝值，往
2、往在揚聲器中使用這個功率點。如果兩個功 率僅是增加1倍的話，也就是 ，則用分貝表示為 同樣，也可以使用分貝來表示電壓增益。對于純電阻，功率可以表示為 （11.1.4） 式中用下標(biāo)u表示為電壓增益，與功率增益區(qū)分開來。,,,,,,,已知某系統(tǒng)電路的輸入信號為2mv，輸出電壓為1.2V，請用分貝表示電壓增益的大小。,例 1,如果直接計算電壓增益，則有。,解：,,上面的例題可以看出，用分貝（或說對數(shù)方式）計算電壓增益可以大大增加其變化的范圍，這也是這種表示方法在工程上得到廣泛應(yīng)用的原因之一；另外一個顯著的特點就是計算多級放大電路的總增益時，可將乘法化為加法進(jìn)行運算
3、。這是由對數(shù)的性質(zhì)決定的。 在后續(xù)的課程中，分貝的應(yīng)用非常普遍。比如在數(shù)字信號處理課程以及相關(guān)的通信領(lǐng)域都涉及分貝。在電子電路和自動控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計中幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)常常采用對數(shù)標(biāo)尺，這種采用對數(shù)坐標(biāo)的曲線圖稱為波特圖。 在濾波器的設(shè)計中需要學(xué)會使用波特圖分析信號變化。,2 濾波器的定義與分類,一般來說，濾波器可以分為兩類： （1）無源濾波器電路由R、L、C串聯(lián)或并聯(lián)構(gòu)成； （2）有源濾波器由有源器件，比如晶體管、運放，結(jié)合R、L、C無源器件構(gòu)成電路網(wǎng)絡(luò)。,自60年代以來，集成運算放大器獲得了迅速的發(fā)展。由集成運算放大器和R、 C組成的有源濾波電路，具有不用電感、體積小、重量
4、輕等特點。此外，由于集 成運算放大器的開環(huán)增益和輸入阻抗均很高，輸出阻抗又低，構(gòu)成有源濾波電路 后還具有一定的電壓放大和緩沖作用。不過，因受運算放大器帶寬的限制，這類 濾波器目前還僅多應(yīng)用于低頻范圍。根據(jù)頻率范圍可將其分為低通、高通、帶通 與帶阻等四種濾波器。四種濾波器的衰減特性如下圖所示。,,,,,3 頻率和阻抗的歸一化,濾波器在電子設(shè)備中的應(yīng)用極其廣泛，不同的設(shè)備對濾波器的要求相差很 大，有的要求工作頻率高，有的要求工作頻率低，負(fù)載阻抗也不一樣，因此構(gòu) 成濾波器的各元件值的大小就有可能有相當(dāng)大的差異。為了簡化計算，通常先 將頻率和阻抗（即元件R、L、C的數(shù)值）歸一化后再進(jìn)行綜合設(shè)計，待設(shè)計
5、完 畢再將計算所得的濾波器的各參數(shù)還原成實際數(shù)值。,,,,,歸一化的頻率 等于角頻率 除以截止頻率 ，即 是無量綱的量，對應(yīng)于截止頻率時， 。,,歸一化的阻抗 等于原阻抗 除以基準(zhǔn)電阻 ，即 （11.1.10） 通過把負(fù)載電阻選取為基準(zhǔn)電阻，這樣各元件的歸一化值如下：,,,,,（1）電阻 的歸一化值,,（11.1.11） 顯然，當(dāng)電路的（輸出）電阻等于負(fù)載電阻，歸一化值 。,（2）電感 歸一化值 因為一定頻率下，電感 的阻抗為 ，所以歸一化值為 為設(shè)計所需要的截止頻率， 為上述的歸一化頻率，歸一化電感為
6、 （11.1.12）,（3）電容 的歸一化值為 。一定頻率下，電容的阻抗為 則歸一化后的阻抗為 歸一化電容為 （11.1.13）,,,,,,,,,,11.2.1 巴特沃思逼近的概念 從信號處理要求出發(fā)，一個理想低通濾波器的幅頻特性應(yīng)如下面的右圖所 示，圖中 ， 。,11.2 有源濾波器,,,,,,該特性曲線表明低通濾波器允許信號中角頻率低于 的分量毫無衰減地通過，而阻止角頻率高于 的任何分量，使它們完全不通過，故稱為截止（角）頻率，而以0到的范圍為通帶，到的范圍為阻帶。但
7、是實際上，沒有任何一個線性非時變集總電路可以實現(xiàn)這一理想特性。因為線性集總電路的轉(zhuǎn)移函數(shù)總是的有理函數(shù)，故其模值應(yīng)是的連續(xù)函數(shù)，且不可能在任何頻帶上為常數(shù)，除非它在所有頻率上均為常數(shù)。,,因此一個實際低通濾波器電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)的幅頻特性只能以一定 的精度近似于理想特性。設(shè)計過程的第一步是要找到一個可實現(xiàn)的電壓轉(zhuǎn)移 函數(shù)，使它的幅度頻率響應(yīng)能滿足設(shè)計所規(guī)定的要求，巴特沃思逼近就是獲 得符合這種要求的轉(zhuǎn)移函數(shù)的方法之一。除此之外，還有切比雪夫逼近，它 的優(yōu)點是如果在給定帶內(nèi)所允許的紋波差，可以改善其波動響應(yīng)特性。,下面的函數(shù) 是一個 階巴特沃思函數(shù) 它在 時，具有最大值，然后隨 趨于 而趨于
8、零。 不同， 隨 的衰減情況也不同。所謂巴特沃思逼近就是找到一個可實現(xiàn)的電壓轉(zhuǎn)移 函數(shù) ，當(dāng) 時，有 （11.2.1a）或 （11.2.1b）滿足這一要求的的一般形式為 （11.2.2）,,,,,,,,,,,,下圖繪出了 時的曲線。,從圖示曲線可見，當(dāng) 時， 將趨于理想低通濾波器的幅頻響應(yīng)，這就是說，可以通過選擇合適的 值，使之在任意精度內(nèi)近似于理想低通濾波器幅頻特性。,,,,,,確定一個歸一化的巴特沃思低通濾波器的,例11.2.1,首先確定濾波器的階數(shù) 。按通帶要求，有,解：,，使其滿足
9、下列要求：,（1）通帶內(nèi) （2）阻帶內(nèi),,,,,由此得 ，故選 。于是根據(jù)式（11.2.2）和表（11.2.1）可得滿足設(shè)計要求的轉(zhuǎn)移函數(shù),,由此得 ，按阻帶要求有,,,,,11.2.2 有源二階電路頻率特性,用一階電路只能實現(xiàn)低通和高通頻率特性。帶通和帶阻特性必須使用二 階（或二階以上）RLC無源或有源電路來實現(xiàn)。而用有源電路實現(xiàn)的二階選 頻電路，可以避免使用電感元件，便于控制或提高Q值，實現(xiàn)傳遞函數(shù)的幅 度增益等。下面用例題來說明有源電路對二階頻率特性的實現(xiàn)。,(1)先求出傳遞函數(shù)，用節(jié)點法列方程,下圖為含受控源的二階RC電路，其中受控源代表增益為 的運放電路?，F(xiàn)在要證明其傳遞函數(shù)為
10、低通特性，然后選擇元件使電路的Q5， 。,,,例11.2.2,從中可解出,解：,,對比傳遞函數(shù)模型，可知這是一個二階低通電路，其中 。從電路上來看，當(dāng) 時，兩個電容相當(dāng)于開路， ，因此， 即直流增益為 ；當(dāng) 時，電容相當(dāng)于短路， 。因此，對無窮大頻率增益為0，這是低通幅度頻響的特征。,,,,,,,,,(2)由于 ，即 ，取電阻 ，則 ，根 據(jù) 得,根據(jù)前面對二階低通頻響的討論，可以算出幅頻特性有最大值，得 因此，幅頻曲線有一個5倍于通帶增益的諧振峰值。,,,,,,（1）在圖（a）中，運放與 組成一個電阻性同相放大器電 路，其增益為 ，在s域模型中
11、，我們把這部分電路等效為一個受 控源，如圖（b）所示。對于圖（b）電路列出s域節(jié)點方程，找出 關(guān)系。,例11.2.3,下圖（a）為RC雙T運放電路，試證明其 關(guān)系為帶阻濾波器。選擇電路元件參數(shù)，在輸出中抑制 頻率成分。要求 。,（a） （b）,,,,解：,,,,從中解出,,,,對比二階帶阻傳遞函數(shù)原型，可知其中,,,因此， 時， ，信號被完全抑制。,,,（2）要抑制信號的物理頻率 ，因此要求 。取 ，則 。根據(jù)Q值要求， ，得到 。,在本電路中，通帶增益 和 值都與 有關(guān)，在滿足Q值要求時， 不能獨立取值，需要另加放大電路來滿足實際
12、增益要求。此外，本電路為三階電路，但傳遞函數(shù)為二階，原因是對 輸出端的傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點相消的特殊情況。這一點可將節(jié)點方程中 或 解出來得到驗證。,,,,,,,,11.3 濾波器的快速設(shè)計方法,常用的逼近方法有巴特沃思（butterworth）最大平坦響應(yīng)和切比雪夫（chebysher）波動響應(yīng)。在不允許帶內(nèi)有波動時，用巴特沃思響應(yīng)較好。如果給定帶內(nèi)所允許的紋波差，則用切比雪夫響應(yīng)較好。本節(jié)主要介紹具有巴特沃思響應(yīng)的二階RC有源濾波器的設(shè)計。,一階低通有源濾波器如下圖（a），其傳遞函數(shù)為,（11.3.2）,（11.3.1） 截止角頻率為 ，直流增益為 。,,一階高通有源濾波器如下圖（b），其傳
13、遞函數(shù)為,（a） （b）,,二階RC濾波器的傳輸函數(shù)如書中表11.3.1所示。其常用電路有電壓 控制電壓源（VCVS）電路和無限增益多路反饋（MFB）電路。,上圖（a）所示電路為壓控電壓源電路，其中運放為同相輸入，輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，濾波器相當(dāng)于一個電壓源，故稱電壓控制電壓源電路。其優(yōu)點是電路性能穩(wěn)定、增益容易調(diào)節(jié)。圖（b）所示電路為無限增益多路反饋電路，其中運放為反相輸入，輸出端通過形成兩條反饋支路，故稱無限增益多路反饋電路。其優(yōu)點是電路有倒相作用，使用元件較少，但增益調(diào)節(jié)對其性能參數(shù)會有影響，故應(yīng)用范圍比VCVS電路要小。,（a）
14、 （b）,下面以二階有源濾波電路為例，來討論電路參數(shù)的計算。,例11.3.1,已知截止頻率 ，試選擇和計算下圖所示電路形式的巴特沃思二階低通濾波電路的參數(shù)。,,,,,,通常C的容量宜在數(shù)量級以下，R的數(shù)值一般約為幾百千歐 以內(nèi)。選擇C0.047 ，則,,解,（1）選擇電容器C的容量，計算電阻R的阻值。,,參看表11.3.1中的低通濾波函數(shù)，并考慮3dB截止角頻率 ，則,,,令,,并對照表11.2.1中 的情況， 有 由圖可得到電路的傳遞函數(shù)為 由上式可知,（2）求值考慮到運放兩輸入端的外接電阻必須滿足平衡條件，即 ，這樣和 聯(lián)解，可得 和 。,,,,
15、,,,由于濾波器性能對元件的誤差比較靈敏，電路宜選用穩(wěn)定而精密的電阻器和電容器。,,,,,例11.3.2,解,設(shè)計一個二階無限增益多路反饋高通濾波器，要求截止頻率 增益,,,首先根據(jù)圖11.3.2 二階無限增益多路反饋低通濾波電路， R與C互換位置，可得到如下圖所示的高通電路。,,,,,,,,,,根據(jù) ，選擇電容 對應(yīng)的參數(shù)K=10,,查設(shè)計表11.3.3得 時， K=1時，電阻 ，,,,,,將上述電阻值乘以參數(shù)K=10，得,取標(biāo)稱值,取標(biāo)稱值,,,對電路參數(shù)進(jìn)行實驗測試，可以看到信號的增益低于理想值。在測高通濾波器幅頻特性時，應(yīng)注意隨著頻率升高，信號發(fā)生器的輸出幅度可
16、能下降，從而出現(xiàn)濾波器的輸入信號與輸出信號同時下降的現(xiàn)象。這時應(yīng)調(diào)整輸入信號的幅度，使其輸出保證原值不變。,例11.3.3,下圖為含有3個運放的Two-Thomas濾波電路，試求電壓傳遞函數(shù) 和 ，并給出濾波函數(shù)的 和 的表達(dá)式。,解,,,,,運放A1及有關(guān)無源元件組成有損積分器，對A1反相端應(yīng)用KCL,,顯然， 為帶通濾波器，而 為低通濾波器。其中,A2和 ， 組成反相積分器，而A3及兩個電阻R組成反相比例器，因此有,,,求解兩式得：,,,,,,,例11.3.4,用級聯(lián)方法設(shè)計一有源RC電路，實現(xiàn)下式傳遞函數(shù),解,設(shè)取 。 可用圖（a）實現(xiàn)，其中,,,,根據(jù)題目要求， ，若取 ，比較有關(guān)系數(shù)，得,,,,,可用sallenkey低通濾波電路實現(xiàn)，如圖 (b)，其中,,,由于 ，可取 。,,,比較有關(guān)系數(shù)，得：,將圖中的兩個電路級聯(lián)，如圖中虛線所示，則實現(xiàn)了題目中給定的傳遞函數(shù)。,這時,,（a） （b）,致 謝,,本課件在制作過程中主要參考了如下有關(guān)電路課程的PPT課件,在此向相關(guān)課件的制作者表示衷心的感謝!,1. 西安交通大學(xué)國家精品課程電路.,2. 上海交通大學(xué)國家精品課程基本電路理論.,
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