內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習 第三講 數(shù)列與不等式 理

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1、內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習：第三講 數(shù)列與不等式(理科) 數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容，是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數(shù)列的概念、通項公式、性質(zhì)、前項和公式,對增長率、分期付款等數(shù)列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）.②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列

2、的通項公式與前n項和公式.?、?能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.　④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系. 題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例1．（1）已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且、、2成等差數(shù)列，求 ; （2）等差數(shù)列的前n項和為，已知，, 求 . 【點撥】（1）依據(jù)等差中項的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. （2）此題的算法較多，如何尋找合理、簡捷的運算途徑是解決問題的關鍵，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)， 由第一個條件得出，再由第二個條件列出方程求. 【解】（1）依題意可得：，即，

3、則有可得，解得或（舍） 所以; （2）因為是等差數(shù)列，所以，，由，得：2－＝0， ＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10， 【易錯點】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細的現(xiàn)象；（2）等差中項與等比中項的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計算等量，一旦計算量大一點，解題受阻. 變式與引申1：等差數(shù)列的前n項和為，公差 . （1）求的值; （2）當為最小時，求的值. 題型二：數(shù)列的通項與求和 例2．（2009年湖北文科卷第19題）已知是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足 .

4、 (1)求數(shù)列的通項公式; （2）若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：，求數(shù)列的前項和. 【點撥】（1）等差數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個基本量,再進一步求通項及前項和，當然若能利用等差數(shù)列的性質(zhì)來計算，問題就簡單多了.（2）分組求和、倒序相加、錯位相減、裂項相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結論以及的關系求的通項公式，根據(jù)通項公式求前 項和 . 【解】（1）解法1：設等差數(shù)列的公差為d，則依題設d>0 ，由.得① 由得② 由①得將其代入②得.即， ，代入①得 解法2：等差數(shù)列中， ，公差， ， （2）設，則有 兩式相減得，由（1）得，，即當

5、時，， 又當時，，于是 == 【易錯點】（1）由的關系及（1）的結論找不到的通項公式，使解題受阻；（2）在求的通項公式時，由得,把這個條件遺漏；（3）忽略當時，，直接寫；（4）計算數(shù)列的前項和時隨意添加項. 變式與引申2：1.已知是數(shù)列{}的前n項和，并且=1，對任意正整數(shù)n，；設）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式； （2）設的前n項和，求. 2. 等比數(shù)列{}的前n項和為， 已知對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當b=2時，記 求數(shù)列的前項和. 題型三：數(shù)列的實際應用 例3. 為了

6、解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項. (1)求數(shù)列和的通項公式； (2)求視力不小于5.0的學生人數(shù)； (3)設,求數(shù)列的通項公式. 【點撥】（1）頻率分布直方圖是解決問題的關?。唬?）已知前兩項的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項，，的前六項和可求，得，（3）

7、求得、后，根據(jù)題設條件，按遞推公式求通項公式方法求出. 【解】(1)由題意知 因此數(shù)列是一個首項.公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此數(shù)列是一個首項,公差為—5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學生人數(shù)為 (3) 由① 可知，當時，② ①－②得，當時， , , 又因此數(shù)列是一個從第2項開始的公比為3的等比數(shù)列, 數(shù)列的通項公式為 . 【易錯點】（1）不理解的意義，解題找不到切入點；（2）計算數(shù)列的通項公式時忽略“全校100名學生”這個重要的已知條件，導致前兩問的結果都不正確；（3）求出、后，由題設

8、條件不能正確地找出求的方法；（4）計算由①式變?yōu)棰谑綍r，缺少這個條件. 變式與引申3： 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示： 2008年 2009年 2010年 新植畝數(shù) 1000 1400 1800 沙地畝數(shù) 25200 24000 22400 而一旦植完，則不會被沙化． 問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少； 圖3-1-2 （2）到那一年可綠化完全部荒沙地. 題型四：數(shù)列綜合題 例4根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別

9、記為，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）寫出，由此猜想出數(shù)列； 的一個通項公式，并證明你的結論; （3）求． 【點撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標背景下的新鮮事物，因為程序框圖中循環(huán)，與數(shù)列的各項一一對應，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應引起重視；（2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項公式是解決問題 的關??；（3）掌握錯位相減法求數(shù)列的前項和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 ∴ （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，， ， ∴數(shù)列{

10、yn+1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列， （3） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 記Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 則3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴. 【易錯點】（1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對數(shù)列求和的

11、方法及每種方法所適合的題型認識不清，盲目求和；（3）對指數(shù)運算不夠熟悉，導致利用錯位相減法計算出的結果不正確. 變式與引申4：已知曲線y=，過曲線上一點（異于原點）作切線. （1）求證：直線與曲線y=交于另一點； （2）在（1）的結論中，求出的遞推關系.若，求數(shù)列的通項公式； （3）在（2）的條件下，記，問是否存在自然數(shù)m，M，使得不等式對一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否則請說明理由. 【小結】 本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項公式和前項和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應用（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學

12、的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識點交融命題，解決數(shù)列的通項公式及前項和、證明不等關系等問題（3）簡單的遞推公式求通項公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項求和、錯位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學思想. 點評：（1）“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算問題中非常重要，樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意解題的目標； （2）數(shù)列中與的關系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題型，要切實注意與之間關系的轉(zhuǎn)化.如：， =等； （3）等差、等

13、比數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學和實際生活中的有關問題； （4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，如公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等； （5）在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的認識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡，

14、 進一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學思想方法分析問題與解決問題的能力； （6）解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解． 習題3－1 1．（2009年遼寧省文科卷）已知為等差數(shù)列，且－2＝－1, ＝0,則公差d＝ （ ） A．－2 B．－ C． D．2 2．等差數(shù)列{an}，{b

15、n}的前n項和分別為Sn、Tn，若=，則=_________． 3．數(shù)列中，，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列． （1）求的值； （2）求的通項公式； （3）求數(shù)列的前項之和． 4．在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數(shù)列. ⑴求點的坐標； ⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：. 5．已知數(shù)列滿足且 （1）求的表達式； （2）求； （3）若，試比較的大小，并說明理由. 第二節(jié) 解不等式

16、 不等式是高中數(shù)學的傳統(tǒng)內(nèi)容，對不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明. 不等式因它的基礎性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識結合在一起）、應用性（實際應用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點.近幾年，高考關于不等式的命題趨勢是： （1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若是解答題也是中等難度的題目

17、； （2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性.在高考試卷中，有關解不等式的試題一般有一到兩道． 考試要求 （1）不等關系：了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景． （2）一元二次不等式 ① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型． ② 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． ③ 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖． （3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．

18、② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． ③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 題型一： 不等式的解法 例1（1）(2008年江西卷文科第13題)不等式的解集為 ． （2）、 (2008全國卷Ⅰ理科第9題)設奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 點撥；解不等式的基本思想方法是轉(zhuǎn)化：一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，指數(shù)與對數(shù)不等式（通過化“同底”）轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，抽象函數(shù)不等式（通過單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為具體不等式等.本題是指數(shù)不等

19、式，可通過化“同底”求解． 解：（1）原不等式變?yōu)?，由指?shù)函數(shù)的增減性，得： ，即，由此可得原不等式解集為 （2）由奇函數(shù)可知，而，則，當時，；當時，，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，或,選D. 易錯點：（1）分不清指數(shù)函數(shù)增減性，誤把不等式轉(zhuǎn)化為得出錯誤的結論。 （2）不考慮奇函數(shù)在上的單調(diào)性，不知道等價轉(zhuǎn)化， 變式與引申1：（1）(2009年山東卷第5題) 在R上定義運算⊙: ⊙,則滿足⊙<0的實數(shù)的取值范圍為( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2) （2） （2009年天津卷第8題）

20、設函數(shù)則不等式的解集是（ ） A B C D 題型二：含參數(shù)不等式的解法 例2 解關于的不等式． 點撥：解分式不等式應通過分解因式化成形如的不等式（稱為“規(guī)范式”，其中稱為“根”）， 然后再利用序軸穿根法寫出解集.本題盡管含有字 開始 結束 化為 化為規(guī)范式 化為規(guī)范式 與的大小 是否確定？ 討論與的大小關系 與的大小 是否確定？ 討論與的大小關系 寫出解集 圖 母參數(shù)，但解法仍然相同，所不同的是根的大 小可能不能確定，因而可能要分類討論. 首先通過移項把原不

21、等式化為， 進一步朝規(guī)范化方向行進時遇到了可能為 的問題，所以首先要對是否為分類討論， 接下來該怎樣進行，請看右邊的流程圖. 解：原不等式可化為 （＊） （1）設 ，不等式化為，解 得. （2）設， 如果，不等式可化為. 當,即時,； 當,即時,； 當,即時,解得. 如果，不等式可化為， 解得或. 綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為； 　當時，不等式的解集為； 當時，不等式的解集為； 　當時，不等式的解集為． 易錯點：在規(guī)范化的過程中，對可能為零視而不見；在已經(jīng)規(guī)范化了之后，對不確定的根的大小關系不加區(qū)分.整體表現(xiàn)為不能有序地進行分類討論

22、. 變式引申2：（1）解關于的不等式． （2）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設k>1，解關于x的不等式； 題型三：不等式的恒成立問題 例3 （2008年上海文科第19題）已知函數(shù)． （1）若，求的值； （2）若對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍 點撥：不等式恒成立問題通常有以下處理方法：（1）分離參數(shù)法，將參數(shù)與變量進行分離，再轉(zhuǎn)化為最值問題解決；（2）變換主元法，有些題分離參數(shù)后很難求最值，可考慮變換思維角度，即主元與參數(shù)互換位置（3）數(shù)形結合法。本題分離參數(shù)后可求最值.

23、 解（1）. 由已知， 解得 ∵ . （2）當即∵, ∴在上恒成立,∴.又時,, 故的取值范圍是. 易錯點：（1）絕對值的處理方法不明確，找不到解題的突破口（2）指數(shù)運算不熟悉，不能正確地將參數(shù)與變量進行分離（3）能否取等號也是常見的錯誤. 變式與引申3：（1）已知，當時，恒成立，求a的取值范圍． （2）奇函數(shù)上是增函數(shù)，當時，是否存在實數(shù)m，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實數(shù)m；若不存在，說明理由. 題型四：線性規(guī)劃問題與基本不等式 例4 （1） 設滿足則( ). 圖 （A）有最小值2，最大值3 （B）有最

24、小值2，無最大值 （C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值 （2）函數(shù)的圖象恒過定點， 若點在直線上，其中，則的最小值 為 ． 點撥：（1）首先準確地作出線性約束條件下的可行域，再由y＝－x 經(jīng)過平移得到結論，這里關鍵就在于轉(zhuǎn)化與化歸．（2）找出定點的坐標， 代入直線方程，得，由均值不等式得結果. 解（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫出y＝－x的圖象，當它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z＝2，無最大值，故選.B （2）函數(shù)的圖象恒過定點,,，,∴. 易

25、錯點： 可行域畫不準確，將y＝－x經(jīng)過平移后得到的最優(yōu)解不正確， 圖 變式與引申4：（1）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從－2連續(xù)變化到1時， 動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 ( ) A． B．1 C． D．5 （2）已知，則的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 本節(jié)主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質(zhì)及能轉(zhuǎn)化為它們的分式不等式、絕對值不等式、指數(shù)與對數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（2）基本不等式及其應用，簡單的線性規(guī)劃等問題（3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（4）數(shù)形結合

26、思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學能力. 點評： （1）解不等式的關鍵是等價轉(zhuǎn)化.分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；指數(shù)與對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式． （2）在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式；通過構造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系.對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，有時可以使分類標準更加明晰． （3）等價轉(zhuǎn)化．具體地說，分式化為整式，高次化為低次，絕對值化為非絕對值，指數(shù)與對數(shù)

27、化為代數(shù)式等．分類討論．分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時不要提前進行分類討論．數(shù)形結合．有些不等式的解決可化為兩個函數(shù)圖像間的位置關系的討論等幾何問題． （4）函數(shù)方程思想．解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與軸交點的問題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間．如“穿根法”實際上就是一種函數(shù)方程思想． （5）線性規(guī)劃問題的解題步驟：①根據(jù)線性約束條件畫出可行域；②利用線性目標函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時需要將相近的點一一列出，再代入約束條件和目標函數(shù)逐一檢驗，得出正確答案. （6）在利用基本不等式解決有關問題時，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二定值

28、，三相等”在使用基本不等式時，要掌握常見的恒等變形技巧。 （7）不等式滲透在中學數(shù)學各個分支中，有著十分廣泛的應用．如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題等，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系.因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性．在解決問題時，要依據(jù)題設、題斷的結構特點及內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結為不等式的求解． 習題3－2 1． (2009年山東卷理科第12題)設x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù) 的值是最大值為12，則的最小值為

29、 ( ) A. B. C. D. 4 2．（2010年山東卷理科第14題）若對任意，恒成立，則的取值范圍是 ． 3．已知、都是奇函數(shù)，的解集是，的解集是，求的解集 4．解關于x的不等式＞1(a≠1) ． 5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時 ＞0 (1)用定義證明在［－1，1］上是增函數(shù)； (2)解不等式：； (3)若對所有，恒成立，求實數(shù)t的取值范圍． 第三節(jié) 推理與證明 推理與證明是數(shù)學的基本思維過程

30、，也是人們經(jīng)常使用的思維方式．推理一般包括合情推理和演繹推理，證明包括直接證明、間接證明．這部分內(nèi)容是每年高考的必考知識．題型可能是選擇題、填空題，主要考查類比或歸納推理等；也可能是解答題，考查問題的證明，推理與證明常與數(shù)列、不等到式問題綜合，難度一般在之間. 考試要求 （1）合情推理與演繹推理① 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用;② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理;③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異;（2）直接證明與間接證明① 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合

31、法的思考過程、特點;② 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點. 題型一：合情推理 例1（1）若?ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a、b、c，則?ABC的面積S＝r (a+b+c) 類比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積＝ ． （2）（2009年浙江卷第15題）觀察下列等式： ，， ， ， ……… 由以上等式推測到一個一般的結論：對于， ． 【點撥】（1）類比推理是指兩類對象具有一些類似特征，由其中一類的某些已知特征推出另一類對象的某些特征；（2）

32、這是一種歸納推理方法，結論由二項構成，第二項前有，二項指數(shù)分別為要善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式． 【解】（1）比較兩個對象，三邊對四面，面積對體積，內(nèi)切圓對內(nèi)切球，三邊長對四個面的面積，由S＝r (a+b+c)等式兩邊的量，類比對應到體積、系數(shù)、半徑R、面積S1＋S2＋S3＋S4， 答：R(S1＋S2＋S3＋S4) （2）在給出的一系列的等式中，右邊為兩項，形成加減輪換的規(guī)律，其中一個的指數(shù)由構成，第二個的指數(shù)由構成，故等式的右邊為： 【易錯點】（1）類似特征不明確，類比結論錯誤；（2）不善于尋找數(shù)字間的 規(guī)律，導致結論錯誤． 變式與引申1：（1）

33、在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1， D O 圖 則；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P—ABC中， 若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結論 為____ . （2）在古臘畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應的點可以排成一個正三角形 圖 1 3 6 10 15

34、 則第個三角形數(shù)為　 （ ） A． B． C． D． 題型二：演繹推理 例2（2009年江蘇卷第16題）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點，點在上，. A B C A1 B1 C1 E F D 圖 A1 求證：（1）∥; （2）. 【點撥】數(shù)學的證明主要是通過演繹推理來進行的，證明線面平行時一定要 注意注明直線在平面內(nèi)及直線在平面外這兩個條件． 【解】證明：（1）因為分別是的中點，所以， 又，，所以∥； （2）因為直三棱柱，所以，，

35、又，所以，又，所以． 【易錯點】三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結論三部分，在書寫證明的過程中，很多學生會出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，邏輯關系不清楚是常見的錯誤． 變式與引申2：（1）已知①正方形的對角相等；②平行四邊形的對角相等；③正方形是平行四邊形．根據(jù)三段論推理得到一個結論，則這個結論的序號是 ; （2）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點. A B C D E F 圖 （1）求證：AF∥平面BCE； （2）求證：平面BCE⊥平面CDE. 題型三：直接證明與間接證明 例3 （1）已知 求證：

36、 （2）已知函數(shù)y=ax+(a＞1). （Ⅰ）證明：函數(shù)f(x)在（－1,+∞)上為增函數(shù)； （Ⅱ）用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根. 【點撥】（1）綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系，并合理運用已知條件進行有效的變換是證明的關鍵，綜合法可以使證明過程表述簡潔，但必須首先考慮從哪開始，這一點比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點，運用分析法比較容易探求解題的途徑，但過程不及綜合法簡單，所以應把它們結合起來． （2）用反證法證明把握三點：①必須先否定結論，即肯定結論的反面；②必須從否定結論進行推理，即把結論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；③導

37、致的矛盾可能多種多樣，但推導出的矛盾必須是明顯的． 【解】（1）證法1：（綜合法） ，當且僅當時等號成立， 當且僅當時等號成立， 即 證法2：（分析法） 要證，只要證 即證 ，即證 即 由 得， 所以原不等式成立 （2）證明 （Ⅰ）任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨設x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1, ∴a＞1且a＞0, ∴a-a=a (a-1)＞0. 又∵x1+1＞0,x2+1＞0, ∴-==＞0, 于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù). （Ⅱ）方法一 假

38、設存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, 則a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1, ∴0＜-＜1,即＜x0＜2， 與假設x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒有負數(shù)根. 方法二 假設存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1, ∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾. ②若x0＜-1,則＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數(shù)根. 【易錯點】（1）用綜合法證明時難找到突破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說明推出的結論為什么成立． （2）不是

39、把求證結論的反面作為條件證題（2）不寫明與什么相矛盾． 變式與引申3： 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1. （1）設bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； （2）設cn=(n=1,2,…),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式. 題型四： 數(shù)學歸納法 例4 已知函數(shù)，數(shù)列滿足遞推關系式：（），且. （1）求、、的值； （2）用數(shù)學歸納法證明：當時，； （3）證明：當時，有. 【解】（1）由及計算得：，， （2）（?。? 即當時，結論成立.

40、 （ⅱ）假設結論對（）成立，即. ∵，函數(shù)在上遞增 ∴，即當時結論也成立. 由（?。áⅲ┲?，不等式對一切都成立. （3）∵當時，由（2）得：，∴. 又由得：，且. ∴. 【易錯點】 在證明結論成立時，不用數(shù)學歸納法，不按要求做題. 變式與引申4： 已知函數(shù)． （1）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍； （2）若函數(shù)f(x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且，已知a1 = 4， 求證：an 3 2n + 2； （3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由． 本節(jié)主要考查：（1）知識點有：歸納推理、類比推理兩種合情推理和演繹

41、推理；直接證明與間接證明． （2）推理滲透在每個高考試題中，證明是推理的一種形式，有的問題需要很強的推理論證能力和技巧．推理問題常常以探索性命題的方式出現(xiàn)在高考題中；（3）常見的論證方法有：綜合法、分析法及反證法等． 點評：（1）歸納猜想是一種重要的思維方法，是對有限的資料進行觀察、分析、歸納、整理，然后提出帶有規(guī)律性的結論，是由部分到整理，由個別到一般的推理；結果的正確性還需進一步論證，一般地，考查的個體越多，歸納出的結論可靠性越大． （2）類比的關健是能把兩個系統(tǒng)之間的某些一致性確切地表述出來，也就是要把相關對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚，在學習中要注意通過類比去發(fā)現(xiàn)探索新問題

42、． （3）綜合法的特點是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實際上是尋找使問題成立的必要條件，是一個由因?qū)Ч倪^程；分析法的特點是：從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，即尋找使問題成立的充分條件，是一個執(zhí)果索因的過程． （4）一般來說：分析法有兩種證明途徑：①由命題結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件，逐步推導下去；②由命題結論出發(fā)，尋找結論成立的充要條件，逐步推導下去． （5）反證法在高考中的要求不高，但這種“正難則反”的思維方式值得重視，解決問題時要注意從多方面考慮，提高解決問題的靈活性． 習題3－3 1．將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，…進行如下分組：第一組含一個數(shù)

43、{1}；第二組含兩個數(shù){3，5}；第三組含三個數(shù){7，9，11}；第四組含四個數(shù){13，15，17，19}；……記第n組內(nèi)各數(shù)之和為Sn，則Sn與n的關系為 (　 　) A．Sn＝n2 B．Sn＝n3 C．Sn＝2n＋1 D．Sn＝3n－1 2．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設定原信息為（），傳輸信息為，其中，運算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列三個接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有誤的是 （

44、填序號）． 3．設滿足且，， 求證：是周期函數(shù)． 圖 4．如圖所示，點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于點M，PN⊥BB1交CC1于點N. （1）求證：CC1⊥MN； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EF·cos∠DFE． 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個 側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明． 5．已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）． （1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； （2）令，試比較與的大小，并予以證明． 第四節(jié) 不等式選講

45、 不等式選講是一個選考內(nèi)容,縱觀近年關于課程標準的高考試題,含絕對值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn),屬于中檔偏易題.最值與恒成立問題是高考的?？键c,不等式的證明常與數(shù)列相結合,考查數(shù)學歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求： ⑴理解絕對值及其幾何意義. ①絕對值不等式的變式：. ②利用絕對值的幾何意義求解幾類不等式：①；②；③. ⑵了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法； ⑶了解柯西不等式：若，則, 當且僅當時取等號. 題型一 含絕對值不等式 例 ⑴(2009山東卷第13題

46、)不等式的解集為 . ⑵對定義在實數(shù)集上的函數(shù)與,當時,不等式與 的解集分別為、,則與的關系是( Ｃ ). A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.與的關系無法確定 點撥：⑴此不等式左邊含有兩個絕對值符號，可考慮采用零點分段法,即令每一項都等于,得到的值作為討論的分區(qū)點,然后再分區(qū)間討論絕對值不等式,最后應求出解集的并集. ⑵仔細觀察兩不等式左邊的結構,聯(lián)想到絕對值不等式,便把問題簡化. 解：⑴原不等式等價于不等式組①或②或③ 不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集 為.答案: . ⑵由知,使成立的的每個值,必可使成立,即

47、中的每個元素都在中,故,選C. 易錯點：⑴含有多項絕對值的不等式的轉(zhuǎn)化易出錯；⑵不會運用分類討論的數(shù)學思想,去掉絕對值符號. ⑵含絕對值不等式的性質(zhì)不能正確轉(zhuǎn)化. 變式與引申： (2010年黑龍江省哈爾濱三中等四校三模)已知對于任意非零實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 題型二 不等式的性質(zhì) 例.⑴(2010年四川卷第12題)設，則的最小值是( ). A. B. C. D. ⑵設且,求的最大值. 點撥：⑴觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為,則已知可配湊成,再利用基本不等式求解；⑵觀察已

48、知條件,可將所求式子轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解. 【答案】B 解：⑴＝ . 當且僅當,,時等號成立,如取,,滿足條件. （2）∵,∴. 又,∴,即 易錯點：忽視基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”條件. 變式與引申2：已知,且,求證:. 題型三 不等式的證明 例3 已知,且,求證：. 點撥：由,得,,.可使問題得證；也可運用柯西不等式證明. 解法1：∵ ,∴,,, ∴. 解法2：由柯西不等式,得,∴. 易錯點：⑴易出現(xiàn)的錯誤；⑵忽視基本不等式中等號成立的條件. 變式與引申3： ⑴，求證：. 題型四 不等式與函數(shù)的綜合應用 例已知函數(shù).當

49、時. ⑴求證：； ⑵若,則當時,求證：. 點撥：本題中所給條件并不足以確定參數(shù),的值，但應該注意到：所要求的結論不是的確定值,而是與條件相對應的“取值范圍”,因此,我們可以用 、、來表示,,因為由已知條件有,,,可使問題獲證. 解： (1) 證明：由，從而有 ,∵,∴ (2)由,,,. 從而 ,將以上三式代入，并整理得 , . 易錯點：⑴不會用、來表示、、及其它們的和差關系式,從而解題思路受阻；⑵不能靈活運用絕對值,對問題進行轉(zhuǎn)化；⑶運用放縮法時的放縮程度把握不住. 變式與引申4：設函數(shù),,若當時,恒成立, 求證：⑴；⑵當時,. 本節(jié)主要考查：⑴不等式的性質(zhì)(

50、基本不等式與柯西不等式)應用；⑵含絕對值不等式的解法； ⑶逆求參數(shù)取值范圍；⑷數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關的不等式問題； ⑸函數(shù)方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法和放縮法等數(shù)學思想方法. 點評：⑴運用不等式性質(zhì)解有關問題時,要隨時對性質(zhì)成立的條件保持高度警惕,避免錯誤發(fā)生； ⑵應用絕對值不等式解題時,要注意絕對值不等式中等號成立的條件；解含絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號,主要思路有：①利用絕對值的幾何意義；②零點分段討論；③平方轉(zhuǎn)化；④借助圖象直觀獲解. ⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點考查內(nèi)容之

51、一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設應用基本不等式的條件,合理地拆分項或配湊因式,即把已知式子轉(zhuǎn)化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應用求最值時,“一正、二定、三相等”三個條件不可缺一. ⑷證明不等式的常用方法： ①比較法,即作差比較法與作商比較法；②綜合法—-由因?qū)Ч虎鄯治龇?--執(zhí)果索因；④數(shù)學歸納法,證明不等式時應把握兩點：一是明確證題的關鍵是第二步的證明,即運用的歸納假設作為條件去推證時的命題成立.如果沒有運用歸納假設條件,就直接證得結論那么這種證法就不是數(shù)學歸納法；二是注意明確時目標式的結構特征,以選擇恰當?shù)姆椒ㄈプC明,若直接證明目標式有困難,可借助其他輔助方法(放縮法

52、、分析法等)去證明.⑤放縮法,運用時應注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結構形式. ⑸不等式作為工具,常與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、解析幾何結合在一起,在高考中以綜合題形式出現(xiàn),應給予關注. 習題3-4 1．（2009年重慶卷理第題）不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( ). A. B. C. D. 2．(2008年山東卷第16題）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有,則的取值范圍 . 3.設,是大于的常數(shù),若的最小值是,則的值等于______. 4.求證：. 5

53、.設數(shù)列的前項和為，已知(n∈N*). （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設，數(shù)列的前項和為，若存在整數(shù)，使對任意n∈N*且n≥2,都有成立，求的最大值； （3）令，數(shù)列的前項和為，求證：當n∈N*且n≥2時，. 第五節(jié) 數(shù)列與不等式的綜合應用 數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數(shù)列是高中數(shù)學中一個重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學培養(yǎng)學生思維能力的一個突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學思維中的很多方法.數(shù)列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重. 近幾年，高考關于數(shù)列與不等式的綜合應用的命題趨勢是： （1）以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)

54、列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯． （2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學思想，試題新穎別致，難度相對較大． 題型一 數(shù)列中的不等關系 例1（2008年四川卷理科第16題）設等差數(shù)列的前項和為，，，則的最大值是 . 【點撥】數(shù)列與不等式的小題，主要是運用基本不等式、不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等求范圍或最值．本題明為數(shù)列，實為線性規(guī)劃，著力考查了轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結合思想．因約束條件只有兩個，本題

55、也可用不等式的方法求解． 【解法1】由題意，，即，，． 建立平面直角坐標系，畫出可行域（圖略），畫出目標函數(shù)即直線，由圖知，當直線過可行域內(nèi)點時截距最大，此時目標函數(shù)取最大值． 【解法2】前面同解法1 設，由解得，∴ 由不等式的性質(zhì)得： ，即 ，的最大值是4． 【解法3】前面同解法1， ∴ ∴，即 ∴，的最大值是4． 【易錯點】一方面得出不等式組，之后不知如何運用；另一方面用線性規(guī)劃求最值時，用錯點的坐標． 變式與引申1： ⑴等比數(shù)列的公比，第17項的平方等于第24項，求使 恒成立的正整數(shù)的取值范圍． ⑵設若是與的等比中項，則的最小值為 （

56、 ） A．8 B．4 C．2 D．1 題型二 數(shù)列、函數(shù)與不等式 例2 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且． （1）設，證明：； （2）設（1）中的數(shù)列的前項和為，證明． 【點撥】數(shù)列參與的不等式的證明問題常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法，利用迭代法、累加法、累乘法構建關系進行放縮. 【解】（1） 由條件知 故 （2）由（1）的過程可知 ， . 【易錯點】不易找出放縮的方法，從而

57、無法證明．放縮法中通過對分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的． 變式與引申2： 已知數(shù)列中，. （1）求； （2）設數(shù)列滿足：，求證當時，有. 題型三 數(shù)列與不等式的探索性問題 例3（2008年湖北卷理科第21題）已知數(shù)列和滿足：，，，其中為實數(shù)，為正整數(shù). （1）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列； （2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論； （3）設,為數(shù)列的前項和.是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由. 【點撥】數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設所探求對象存在或結論成

58、立，以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結論，即得到存在的結果.也可直接推理判斷是否存在. 【解】（1）證明：假設存在一個實數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22=a1a3, 即 矛盾.所以｛an｝不是等比數(shù)列. (2)因為bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）= 又,所以 當，,此時不是等比數(shù)列； 當時，,由上可知bn≠0，∴(n∈N+). 故當時，數(shù)列是以為首項，為

59、公比的等比數(shù)列. (3)由（2）知，當,不滿足題目要求. ∴，故知，于是可得 要使a3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a

60、 （2）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由； （3）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有. 題型三 數(shù)列、解幾與不等式 例4（2010年安徽卷文科第21題）設C1， C2， …Cn，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n ，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn }為遞增數(shù)列. (1)證明：{rn }為等比數(shù)列； (2)設r1=1，求數(shù)列的前項和. 【點撥】本題明是對等比數(shù)列的概念及數(shù)列求和的方法的考查，實是對數(shù)形結合及解析法的深層次的考查．

61、要求學生把相關知識方法融合，分析題意，找出解決問題的路徑，進行正確的推理與運算，簡潔明了的表述過程與結果． 【解】（1）將直線的傾斜角記為，則有 設的圓心為，則由題意得知，得，同理可得： 從而，又，∴∴{rn }為公比為3的等比數(shù)列 （2）由于，∴，從而，記，則有 ∴ 兩式相減得： ∴ 【易錯點】錯位相減法及找出及之間的關系不易建立，要充分利用數(shù)形結合解決問題． 答圖 變式與引申4： 如圖，已知曲線．從C上的點作x軸的垂線，交于點，再從點作y軸的垂線，交C于點設，． （1）求點Q1、Q2的坐標； （2）求數(shù)列的通項公式； （3）記數(shù)列的前n項和為，求證：.

62、 本節(jié)主要考查：數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用，此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數(shù)學視野的廣度和進一步學習數(shù)學的潛能. 點評 數(shù)列與不等式作為高中數(shù)學代數(shù)的兩大核心內(nèi)容，其在高考試卷中處于的核心地位，數(shù)列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數(shù)列與不等式的主要交匯，有不等式與函數(shù)的重點交叉，數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與數(shù)學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出．當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候，問題會變得非常的靈活，對學生的數(shù)學思維能力，

63、分析問題和解決問題的能力，計算能力以及數(shù)學的思想和方法、數(shù)學的素養(yǎng)都有較高的要求． （1）試題主要考查知識重點和熱點是數(shù)列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數(shù)學視野的廣度和進一步學習數(shù)學的潛能． （2）求解數(shù)列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關系確

64、定最值． （3）探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論，或探索滿足某些條件的對象是否存在，問題增加了許多可變因素，思維指向不明顯．探索型問題有：（1）猜想型，即結論未給出，解題時需要首選探索結論，然后再加以證明；（2）判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學對象是否存在或其結論是否成立，解題時常先假設存在，然后求出或?qū)С雒埽? （4） 數(shù)列中的不等式問題，一般有放縮，構造函數(shù)這兩類常見的方法．用放縮法證明不等式有：（1）利用迭代法構建關系進行放縮；（2）利用累加法構建關系進行放縮；（3）利用累乘法構建關系進行放縮；

65、 （5）利用可求和的新數(shù)列構建關系進行放縮．而放縮主要是把數(shù)列的通項放縮為一個可求和的數(shù)列，如放縮為等比、等差或可裂項求和的數(shù)列． 習題3－5 1． (湖北省武漢市六校2010屆高三第一次聯(lián)考)數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列，設數(shù)列的前項和為 ，且，則對任意實數(shù)（是常數(shù)，＝2.71828）和任意正整數(shù)，小于的最小正整數(shù)為 （ ） A．1 ? 　B．2 　 C．3 　　 D．4 2．已知成等

66、差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是________. 3．(2009年陜西卷理科第22題)已知數(shù)列滿足， . （1）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結論； （2）證明：．4．已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列的首項. （1）求函數(shù)的表達式； （2）求證：； （3）求證：. 5．已知，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足, . 求證：（1）； （2）； （3）若，則當時，有. 第三講 測試卷 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為（ ） A．或5 B．或5 C． D． 2．用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一個是偶數(shù)．下列假設中正確的是 （ ） A．假設、、都是偶數(shù) 　　 B．假設、、都不是偶數(shù) C．假設、、中至多有一個是偶數(shù) D．假設 、、中至多有兩個是偶數(shù)