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1、第二節(jié) 曲線與方程,1.曲線與方程 如果曲線C上點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)為坐標的點都在曲線C上，那么，方程 f(x,y)=0叫做____________，曲線C叫做___________________.,曲線C的方程,方程f(x,y)=0的曲線,2.求曲線方程的基本步驟,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”). (1)f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.( ) (2)方程x2+xy=x的曲線是一個點和一條直線.( ) (3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2=y2.(
2、 ) (4)方程 與x=y2表示同一曲線.( ),【解析】(1)正確.由f(x0,y0)=0可知點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時，有f(x0,y0)=0, f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件. (2)錯誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0, x=0或x+y-1=0, 故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.,(3)錯誤.當以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時，是x2=y2,否則不正確. (4)錯誤.因為方程 表示的曲線，只是方程x=y2表示曲線的一部分，故其不正確. 答案：(1) (2) (3) (4
3、),考向 1 利用直接法求軌跡方程 【典例1】已知直角坐標平面上的點Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(0)，求動點M的軌跡方程.,【思路點撥】可設出動點M的坐標，依據動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(0)即可得出方程.,【規(guī)范解答】設直線MN切圓C于N點，則動點M的集合為： P=M|MN=MQ，因為圓C的半徑CN=1, 所以MN2=MC2-CN2=MC2-1， 設點M的坐標為M(x,y)，則 化簡整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互動探究】本例中的條件不變，求動點M的軌跡. 【解析】由例題解析可知：曲線的方程為 (
4、2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0)， 因為0,所以當=1時，方程化為4x-5=0,它表示一條直線; 當1時，方程化為： 它表示圓心為 半徑為 的圓.,【拓展提升】 1.直接法求曲線方程的一般步驟 (1)建立恰當的坐標系，設動點坐標(x,y). (2)列出幾何等量關系式. (3)用坐標條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)=0. (4)變方程為最簡方程. (5)檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性.,2.直接法適合求解的軌跡類型 (1)若待求軌跡上的動點滿足的幾何條件可轉化為動點與一些幾何量滿足的等量關系，而該等量關系又易于表達成含x,y的等式時，一般用直接法求軌跡方程. (2)題目給出
5、了等量關系，直接代入即可得方程.,【變式備選】已知點M，N為兩個定點，MN=6,且動點P滿足 求點P的軌跡方程. 【解析】以點M，N所在的直線為x軸，MN的中點O為坐標原點， 建立平面直角坐標系，則M(-3,0)，N(3,0),設P(x,y)，則 又因為 所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6， 化簡整理得：x2+y2=15.,考向 2 利用定義法求軌跡方程 【典例2】已知A(- ，0)，B是圓F：(x- )2+y2=4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動點P的軌跡方程. 【思路點撥】根據題設條件，尋找動點P與兩點A，F距離的和滿足的等量關系PA+PF=2，用定義
6、法求方程.,【規(guī)范解答】如圖，連接PA， 依題意可知PA=PB. PA+PF=PB+PF=BF=21. P點軌跡為以A(- ，0)， F( ，0)為焦點，長半軸長為1的橢圓. 其方程可設為 又c= ,a=1,b2=a2-c2= 故P點的軌跡方程為,【拓展提升】定義法適合所求軌跡的特點及關鍵 (1)特點：求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據定義先確定軌跡類型，再寫出其方程. (2)關鍵：理解解析幾何中有關曲線的定義是解題關鍵.,【提醒】利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中
7、的變量x或y進行限制.,【變式訓練】一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓 x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線. 【解析】如圖所示，設動圓圓心M 的坐標為(x,y)，半徑為R，設已知 圓的圓心分別為O1,O2,將圓的方程 分別配方得：(x+3)2+y2=4, (x-3)2+y2=100， 當動圓與圓O1相外切時，有O1M=R+2. ,當動圓與圓O2相內切時，有O2M=10-R. 將兩式相加，得O1M+O2M=12O1O2, 動圓圓心M(x,y)到點O1(-3,0)和O2(3,0)的距離和是常數12, 所以點M的軌跡是焦點為O1(-3,0
8、),O2(3,0),長軸長等于12的橢圓. 2c=6,2a=12,c=3,a=6,b2=36-9=27, 圓心M的軌跡方程為 軌跡為橢圓.,考向 3 利用相關點(代入)法、參數法求軌跡方程 【典例3】設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=mDA(m0,且m1).當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.,【思路點撥】解答本題的關鍵是把點M的坐標設出，利用代入法求軌跡方程.,【規(guī)范解答】設M(x,y)，A(x0,y0),則由DM=mDA(m0,且 m1)
9、,可得x=x0,|y|=m|y0|,所以 因為A點在單位圓上運動，所以 將式代入式即得所求曲線C的方程為 因為m(0,1)(1,+),所以當01時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為,【拓展提升】 1.相關點法(代入法)適用的軌跡類型及使用過程 動點所滿足的條件不易得出或轉化為等式，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x,y)的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x，y表示成x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動點P的軌跡方程. 【提醒】用代入法求軌跡方程是將x，y表示成x，y的式子，同時注意x，y的限制條件.,2.參數法適用的軌跡
10、類型及使用過程 有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發(fā)現(或經分析可發(fā)現)這個動點的運動常常受到另一個或兩個變量(斜率、比值、截距或坐標等)的制約，即動點坐標(x,y)中的x,y分別隨另外變量的變化而變化，我們可稱這些變量為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法，如果需要得到軌跡的方程，只要根據參數滿足的約束條件消去參數即可.,【變式訓練】已知拋物線y2=4px(p0),O為頂點，A，B為拋物 線上的兩動點，且滿足OAOB,如果OMAB于M點，求點M的軌 跡方程. 【解析】設M(x,y)， 當直線AB斜率存在時，設直線AB方程為y=kx+b, 由OMAB得 由y2
11、=4px及y=kx+b消去y,得 消去x，得ky2-4py+4pb=0.所以,由OAOB，得y1y2=-x1x2, 所以 故y=kx+b=k(x-4p), 把 代入，得x2+y2-4px=0(x0).(*) 當直線AB斜率不存在時，M點坐標為(4p,0)，適合(*)式. 所以M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x0).,1.已知真命題：若A為O內一定點，B為O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是以O，A為焦點，OB長為長軸長的橢圓. 類比此命題，寫出另一個真命題：若A為O外一定點，B為O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，求點P的軌跡.,【解析】如圖，
12、連接AP， 由于P是線段AB垂直平分線上一點， 故有PA=PB， 因此|PA-PO|=|PB-PO|=OB=R為定值， 其中R為O的半徑.又由于點A在圓外, 故|PA-PO|=OB=R
13、義知M在以O1,O2為焦點的橢圓上， 且 動圓圓心M的軌跡方程為,(2)由(1)知動圓圓心M的軌跡是橢圓，它的兩個焦點坐標分別 為O1(-2,0)和O2(2，0). 設P(x,y)是橢圓上的點，由 得 即x2-y2=4(x2)， 這是實軸在x軸，頂點是橢圓的兩個焦點的雙曲線(除去兩個頂 點)，它與橢圓的交點即為點P.由于雙曲線的兩個頂點在橢圓 內，根據橢圓和雙曲線的對稱性可知，它們必有四個交點. 即圓心M的軌跡上存在四個點P，使直線PO1與PO2的斜率滿足,3.(2013南京模擬)設定點M(-3,4)，動點N在圓x2+y2=4上運 動，以OM，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方
14、程. 【解析】設P(x,y)，圓上的動點N(x0,y0)，則線段OP的中點坐標為 線段MN的中點坐標為 又因為平行四邊形的對角線互相平分， 所以有 可得 又因為N(x0,y0)在圓上，所以N點坐標應滿足圓的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但應除去兩點,4.(2013淮安模擬)設F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且 (1)當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上的點，且 成等差數列，當AD的垂直平分線與x軸 交于點E(3，0)時，求B點坐標.,【解析】(1)設N(x,y)，則由 得P為M
15、N中點，所以 又 所以y2=4x(x0).,(2)由(1)知F(1，0)為曲線C的焦點，由拋物線定義知，拋物線 上任一點P0(x0,y0)到F的距離等于其到準線的距離，即 所以 根據 成等差數列，得x1+x3=2x2, 易知直線AD的斜率存在，所以直線AD的斜率為 所以AD的垂直平分線l的方程為 又AD中點 在垂直平分線上，則 即 x2=1,所以B(1,2).,5.在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC= ，一曲線E過C 點，動點P在曲線E上運動，且保持PA+PB的值不變. (1)建立適當的坐標系，求曲線E的方程. (2)直線l:y=x+t與曲線E交于M，N兩點，
16、求四邊形MANB的面積 的最大值.,【解析】(1)以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系， PA+PB=CA+CB= 動點P的軌跡為橢圓，且a= ,c=1,從而b=1. 曲線E的方程為,(2)將y=x+t代入 得3x2+4tx+2t2-2=0. 設M(x1,y1),N(x2,y2), 由得t2<3, t=0時，,6.(2013徐州模擬)在平面直角坐標 系xOy中，已知點A(-1，1)，P是動點， 且三角形POA的三邊所在直線的斜率 滿足kOP+kOA=kPA. (1)求點P的軌跡C的方程. (2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且 直線 OP與QA交于點M，問：是否存在點P使
17、得PQA和PAM的面積滿 足SPQA =2SPAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說 明理由.,【解析】(1)設點P(x,y)為所求軌跡 上的任意一點，則由kOP+kOA=kPA得， 整理得軌跡C的方程 為y=x2(x0且x-1). (2)設 由 可知直線PQOA，則kPQ=kOA, 故 即x2=-x1-1, 直線OP方程為:y=x1x，,直線QA的斜率為： 直線QA的方程為：y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1， 聯立，得x=- ，點M的橫坐標為定值- . 由SPQA =2SPAM，得到QA=2AM， 因為PQOA，所以OP=2OM. 由
18、 得x1=1,P的坐標為(1，1). 存在點P滿足SPQA =2SPAM ,P的坐標為(1,1).,7.已知線段AB的兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，AB=3， 點M滿足 (1)求動點M的軌跡E的方程. (2)若曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分，求實 數k的取值范圍.,【解析】(1)設M(x,y),A(x0,0),B(0,y0), 則 由 得 解得 代入 化簡得點M的軌跡方程為,(2)由題意知k0, 假設存在弦CD被直線l垂直平分，設直線CD的方程為 由 消去y化簡得 (k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0, =(-8kb)2-4(k2
19、+4)4k2(b2-1) =-16k2(k2b2-k2-4)0， k2b2-k2-40,,設C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中點P(xp,yp), 則,解得 當曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分時，k的 取值范圍是k- 或k .,8.(2013南通模擬)在平面直角坐標系中，已知向量a=(x,y)，b=(x,ky-4)(kR),ab,動點M(x,y)的軌跡為T. (1)求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀. (2)當k=0時，過點F(0，1)，作軌跡T的兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N，試判斷直線MN是否過定點？并說明理由.,【解析】
20、(1)ab,ab=(x,y)(x,ky-4)=0, 得x2+ky2-4y=0. 當k=0時，方程為x2=4y表示拋物線； 當k=1時，方程表示以(0，2)為圓心，2為半徑的圓； 當k0且k1時，方程表示橢圓； 當k<0時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線. (2)當k=0時，軌跡T的方程為x2=4y. 設A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). 由題意設直線AB的方程為y=k1x+1,,聯立x2=4y有：x2-4k1x-4=0， 點M的坐標為 同理可得：點N的坐標為 直線MN的斜率為 其方程為,整理得 顯然，不論k1為何值，點(0，3)均滿足方程， 直線MN恒過定點(0，3).,
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