天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 二次函數(shù)的應(yīng)用

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1、二次函數(shù)的應(yīng)用 一、選擇題 1. （2012四川資陽3分）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是【 】 A． B． C．且 D．或 【答案】D。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)的性質(zhì)。 【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出的解集： 由圖象得：對(duì)稱軸是x=2，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）， ∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0）。 由圖象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5。故選D。 二、填空題 1. （2012浙江紹興5分）教練對(duì)小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分

2、析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為，由此可知鉛球推出的距離是 ▲ m。 【答案】10。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。 【分析】在函數(shù)式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴鉛球推出的距離是10m。 2. （2012湖北襄陽3分）某一型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=60x﹣1.5x2，該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行　 ▲ 　m才能停下來． 【答案】600。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。1028458 【分析】根據(jù)飛機(jī)從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數(shù)的最大值。 ∵﹣1.5＜0，∴函數(shù)有最大

3、值。 ∴，即飛機(jī)著陸后滑行600米才能停止。 3. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx．小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 ▲ 秒． 【答案】36。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用 【分析】設(shè)在10秒時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，在26秒時(shí)到達(dá)B， ∵10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同， ∴A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。 則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒。 ∴從O到D需要10+8=18秒。∴從O到C需要2×18=3

4、6秒。 三、解答題 1. （2012重慶市10分）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理．某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時(shí)進(jìn)行．1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份x（1≤x≤6，且x取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表： 7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2（噸）與月份x（7≤x≤12，且x取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為y2=ax2+c(a≠0)．其圖象如圖所示．1至6月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用：z1（元）與月份x之間

5、滿足函數(shù)關(guān)系式：，該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用：z2（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：；7至12月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用均為1.5元． （1）請(qǐng)觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，分別直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）請(qǐng)你求出該企業(yè)去年哪個(gè)月用于污水處理的費(fèi)用W（元）最多，并求出這個(gè)最多費(fèi)用； （3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運(yùn)行，該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計(jì)擴(kuò)大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時(shí)每噸污水處理的費(fèi)用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加

6、（a﹣30）%，為鼓勵(lì)節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，財(cái)政對(duì)企業(yè)處理污水的費(fèi)用進(jìn)行50%的補(bǔ)助．若該企業(yè)每月的污水處理費(fèi)用為18000元，請(qǐng)計(jì)算出a的整數(shù)值． （參考數(shù)據(jù)：≈15.2，≈20.5，≈28.4） 【答案】解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值， 則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系：。 將（1，12000）代入得：k=1×12000=12000， ∴（1≤x≤6，且x取整數(shù)）。 根據(jù)圖象可以得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點(diǎn)，代入y2=ax2+c得： ，解得：。 ∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整數(shù)）。 （2）當(dāng)1≤x≤6，

7、且x取整數(shù)時(shí)： =﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。 ∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴當(dāng)x=5時(shí)，W最大=22000（元）。 當(dāng)7≤x≤12時(shí)，且x取整數(shù)時(shí)： W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。 ∵a=﹣＜0，對(duì)稱軸為x=0，當(dāng)7≤x≤12時(shí)，W隨x的增大而減小， ∴當(dāng)x=7時(shí)，W最大=18975.5（元）。 ∵22000＞18975.5， ∴去年5月用于污水處理的費(fèi)用最多，最多費(fèi)用是22000元。 （3）由題意得：12000

8、（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000， 設(shè)t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。 ∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。 ∴a≈57。 答：a整數(shù)值是57。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程。 【分析】（1）利用表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系，求出即可。再利用函數(shù)圖象得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點(diǎn)，求出二次函數(shù)解析式即可。 （2）利用當(dāng)1≤x≤6時(shí)，以及當(dāng)7≤x≤12時(shí)，分別求出處理污水的費(fèi)用，即可得出答案

9、。 （3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時(shí)每噸污水處理的費(fèi)用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，進(jìn)而求出即可。 2. （2012安徽省14分）如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m。 （1）當(dāng)h=2.6時(shí)，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍） （2）當(dāng)h=2.6時(shí)，球能否越

10、過球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說明理由； （3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。 【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴ ∴當(dāng)h=2.6時(shí)， y與x的關(guān)系式為y= (x－6)2+2.6 （2）當(dāng)h=2.6時(shí)，y= (x－6)2+2.6 ∵當(dāng)x=9時(shí)，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越過網(wǎng)。 ∵當(dāng)y=0時(shí)，即 (18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球會(huì)過界。 （3）把x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a(x-6)2+h得。 x=9時(shí)，y= (9－6)2+h

11、＞2.43 ① x=18時(shí)，y= (18－6)2+h=≤0 ② 由① ②解得h≥。 ∴若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界， h的取值范圍為h≥。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。 【分析】（1）利用h=2.6，將（0，2）點(diǎn)，代入解析式求出即可。 （2）利用h=2.6，當(dāng)x=9時(shí)，y= (9－6)2+2.6=2.45與球網(wǎng)高度比較；當(dāng)y=0時(shí)，解出x值與球場(chǎng)的邊界距離比較，即可得出結(jié)論。 （3）根據(jù)球經(jīng)過點(diǎn)（0，2）點(diǎn)，得到a與h的關(guān)系式。由x=9時(shí)球一定能越過球網(wǎng)得到y(tǒng)＞2.43；由x=18時(shí)球不出邊界得到y(tǒng)≤0。分別得出h的取值范圍，即可得出答案。 3. （2012浙江嘉興、舟山

12、12分）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為400元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項(xiàng)支出共4800元．設(shè)公司每日租出工輛車時(shí)，日收益為y元．（日收益=日租金收入一平均每日各項(xiàng)支出） （1）公司每日租出x輛車時(shí)，每輛車的日租金為　 　元（用含x的代數(shù)式表示）； （2）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司日收益最大？最大是多少元？ （3）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司的日收益不盈也不虧？ 4. （2012浙江臺(tái)州12分）某汽車在剎車后行駛的距離s（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的關(guān)系得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： 時(shí)間t（秒

13、） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行駛距離s（米） 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 … （1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的點(diǎn)； （2）選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示s與t之間的關(guān)系，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式； （3）①剎車后汽車行駛了多長(zhǎng)距離才停止？ ②當(dāng)t分別為t1，t2（t1＜t2）時(shí)，對(duì)應(yīng)s的值分別為s1，s2，請(qǐng)比較與的大小，并解釋比較結(jié)果的實(shí)際意義． 【答案】解：（1）描點(diǎn)圖所示： （2）由散點(diǎn)圖可知該函數(shù)為二次函數(shù)。設(shè)二次函數(shù)的解析式為：s=at2＋bt＋c， ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0）

14、，∴c=0。 又由點(diǎn)（0.2，2.8），（1，10）可得： ，解得：。 經(jīng)檢驗(yàn)，其余各點(diǎn)均在s=－5t2+15t上。 ∴二次函數(shù)的解析式為：。 （3）①汽車剎車后到停止時(shí)的距離即汽車滑行的最大距離。 ∵，∴當(dāng)t=時(shí)，滑行距離最大，為。 因此，剎車后汽車行駛了米才停止。 ②∵，∴。 ∴。 ∵t1＜t2，∴。∴。 其實(shí)際意義是剎車后到t2時(shí)間內(nèi)的平均速到t1時(shí)間內(nèi)的度小于剎車后平均速度。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，不等式的應(yīng)用。 【分析】（1）描點(diǎn)作圖即可。 （2）首先判斷函數(shù)為二次函數(shù)。用待定系數(shù)

15、法，由所給的任意三點(diǎn)即可求出函數(shù)解析式。 （3）將函數(shù)解析式表示成頂點(diǎn)式（或用公式求），即可求得答案。 （4）求出與，用差值法比較大小。 5. （2012江蘇常州7分）某商場(chǎng)購進(jìn)一批L型服裝（數(shù)量足夠多），進(jìn)價(jià)為40元/件，以60元/件銷售，每天銷售20件。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若每件每降1元，則每天銷售數(shù)量比原來多3件?，F(xiàn)商場(chǎng)決定對(duì)L型服裝開展降價(jià)促銷活動(dòng)，每件降價(jià)x元（x為正整數(shù)）。在促銷期間，商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件降價(jià)多少元？每天最大銷售毛利潤(rùn)為多少？（注：每件服裝銷售毛利潤(rùn)指每件服裝的銷售價(jià)與進(jìn)貨價(jià)的差） 【答案】解：根據(jù)題意，商場(chǎng)每天的銷售毛利潤(rùn)Z=（60－40－x）（2

16、0＋3x）=－3x2＋40x+400 ∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)Z取得最大值。 ∵x為正整數(shù)，且， ∴當(dāng)x=7時(shí)，商場(chǎng)每天的銷售毛利潤(rùn)最大，最大銷售毛利潤(rùn)為－3·72＋40·7+400=533。 答：商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件降價(jià)7元，每天最大銷售毛利潤(rùn)為533元。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。 【分析】求出二次函數(shù)的最值，找出x最接近最值點(diǎn)的整數(shù)值即可。 6. （2012江蘇無錫8分）如圖，在邊長(zhǎng)為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒（A．B．C．D四個(gè)頂點(diǎn)正好

17、重合于上底面上一點(diǎn)）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=x（cm）． （1）若折成的包裝盒恰好是個(gè)正方體，試求這個(gè)包裝盒的體積V； （2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？ 【答案】解：（1）根據(jù)題意，知這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)a=x，EF=a=2x， ∴x+2x+x=24，解得：x=6。則 a=6， ∴V=a3=（6）3=432（cm3）； （2）設(shè)包裝盒的底面邊長(zhǎng)為acm，高為hcm，則a= x，， ∴S=4ah+a2=。 ∵0＜x＜12，∴當(dāng)x=8時(shí)，S取得最大值384cm2。 【考點(diǎn)】二次函

18、數(shù)的應(yīng)用。 【分析】（1）根據(jù)已知得出這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個(gè)包裝盒的體積V。 （2）利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數(shù)最值求出即可。 7. （2012江蘇鹽城12分） 知識(shí)遷移： 當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椤?所以≥,從而≥(當(dāng) 時(shí)取等號(hào)).記函數(shù),由上述結(jié)論可知：當(dāng)時(shí),該函數(shù)有最小值為. 直接應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù), 則當(dāng)_________時(shí),取得最小值 為_________. 變形應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù),求的最小值,并指出取得該 最小值時(shí)相應(yīng)的的值. 實(shí)際應(yīng)用：已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含

19、以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用,共元；二是燃油費(fèi),每 千米為元；三是折舊費(fèi),它與路程的平方成正比,比例系數(shù)為.設(shè)該汽車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨榍? 求當(dāng)為多少時(shí),該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？ 【分析】直接運(yùn)用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果： ∵函數(shù),由上述結(jié)論可知：當(dāng)時(shí),該函數(shù)有最小值為， ∴函數(shù)與函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為。 變形運(yùn)用：先得出的表達(dá)式，然后將看做一個(gè)整體，再運(yùn)用所給結(jié)論即可。 實(shí)際運(yùn)用：設(shè)該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本為元，則可表示出平均每千米的運(yùn)輸成本，利用所 給的結(jié)論即可得出答案。 8. （2012江蘇揚(yáng)州12分）已知拋物線y＝ax2

20、＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸． (1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)經(jīng)過拋物線y＝ax2＋bx＋c， ∴可設(shè)拋物線為y＝a（x＋1）（x－3）。 又∵C(0，3) 經(jīng)過拋物線，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。 ∴拋物線的解析式為y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2

21、x＋3。 （2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P。 則此時(shí)的點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小。 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b， 將B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：。 ∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－x＋3。 當(dāng)x－1時(shí)，y＝2，即P的坐標(biāo)(1，2)。 （3）存在。點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)。 【分析】（1）可設(shè)交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。 （2）

22、由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)。 （3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①M(fèi)A＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解： ∵拋物線的對(duì)稱軸為： x=1，∴設(shè)M(1，m)。 ∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。 ①若MA＝MC，則MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。 ②若MA＝AC，則MA2＝AC2

23、，得：m2＋4＝10，得：m＝±。 ③若MC＝AC，則MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去。 綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。 9. （2012福建莆田8分）如圖，某種新型導(dǎo)彈從地面發(fā)射點(diǎn)Ｌ處發(fā)射，在初始豎直加速飛行階段，導(dǎo)彈上升的高度y(km)與飛行時(shí)間x(s)之間的關(guān)系式為 ．發(fā)射3 s后，導(dǎo)彈到達(dá)A點(diǎn)，此時(shí)位于與L同一水平面的R處雷達(dá)站測(cè)得AR的距離是2 km，再過3s后，導(dǎo)彈到達(dá)B點(diǎn)． (1)(4分)求發(fā)射點(diǎn)L與雷達(dá)站R之間的距離； (

24、2)(4分)當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，求雷達(dá)站測(cè)得的仰角(即∠BRL)的正切值． 【答案】解：(1)把x＝3代入，得y＝1，即AL＝1。 在Rt△ARL中，AR＝2，∴　LR＝ 。 (2)把x＝3＋3＝6代入，得y＝3，即BL＝3 。 ∴tan∠BRL＝。 答：發(fā)射點(diǎn)L與雷達(dá)站R之間的距離為km，雷達(dá)站測(cè)得的仰角的正切值。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題），勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。 【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函數(shù)解析式，即可求得AL的長(zhǎng)，在直角△ALR中，利用勾股定理即可求得LR的長(zhǎng)。 （2）在解析式中，把x=6

25、代入函數(shù)解析式，即可求得AL的長(zhǎng)，在直角△BLR中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解。 10. （2012湖北武漢10分）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和 矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的 距離是11m，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． (1)求拋物線的解析式； (2)已知從某時(shí)刻開始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離h(單位：m)隨時(shí)間t(單位：h)的變化滿足函數(shù) 關(guān)系且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5m時(shí)，需禁止船只通行，請(qǐng)通過計(jì)算說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需

26、多少小時(shí)禁止船只通行？ 【答案】解：（1）設(shè)拋物線的為y=ax2+11，由題意得B（8，8），∴64a+11=8，解得。 ∴拋物線的解析式y(tǒng)= x2+11。 （2）畫出的圖象： 水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h≥6， 當(dāng)h=6時(shí)，，解得t1=35，t2=3。 ∴35－3=32（小時(shí)）。 答：需32小時(shí)禁止船只通行。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【分析】（1）根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解。 （2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函

27、數(shù)關(guān)系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時(shí)間。 11. （2012湖北黃岡12分）某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400 元，銷售單價(jià) 定為3000 元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種 新型產(chǎn)品不超過10 件時(shí)，每件按3000 元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10 件時(shí)，每多購買一件，所購 買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10 元，但銷售單價(jià)均不低于2600 元． (1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600 元? (2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x 件，開發(fā)公司所獲的利潤(rùn)為y 元，求y(元)與x(件)

28、之間的函數(shù)關(guān)系式，并 寫出自變量x 的取值范圍． (3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤(rùn)反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤(rùn)越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變) 【答案】解：（1）設(shè)件數(shù)為x，依題意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。 答：商家一次購買這種產(chǎn)品50件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元。 （2）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（3000－2400）x=600x； 當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=x，即y=－10x2+700x； 當(dāng)x＞50時(shí)，y=（

29、2600－2400）x=200x。 ∴。 （3）由y=－10x2+700x可知拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)y有最大值， 此時(shí)，銷售單價(jià)為3000－10（x－10）=2750元， 答：公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為2750元。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。 【分析】（1）設(shè)件數(shù)為x，則銷售單價(jià)為3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價(jià)恰好為2600元，列方程求解。 （2）由利潤(rùn)y=銷售單價(jià)×件數(shù)，及銷售單價(jià)均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式。 （3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤(rùn)的最大值，并求出最大值時(shí)x的值，確定銷售單價(jià)。

30、 12. （2012湖南岳陽10分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直接坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2． （1）求C1和C2的解析式； （2）如圖②，過點(diǎn)B作直線BE：y=x﹣1交C1于點(diǎn)E（﹣2，﹣），連接OE、BC，在x軸上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點(diǎn)Q，使得△EB

31、Q的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和△EBQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】解：（1）∵拋物線C1、C2都過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（3，0）， ∴設(shè)它們的解析式為：y=a（x﹣3）（x+3）。 ∵拋物線C1還經(jīng)過D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。 ∴拋物線C1：y=（x﹣3）（x+3），即y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）。 ∵拋物線C2還經(jīng)過A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣ ∴拋物線C2：y=﹣（x﹣3）（x+3），即y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）。 （2）∵直線BE：y=x﹣1必過（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠

32、CBO=tan∠EBO=）。 ∵由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO， ∴它們的補(bǔ)角∠EOB≠∠CBx。 若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況： ①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC， 由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。 ∴3：=BP1：， 得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=?！郟1（，0） ②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即： ：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=?！郟2（﹣，0）． 綜上所述，符合條件的P點(diǎn)有：P1（，0）、P2（﹣，0）。 （3）如圖，作直線

33、l∥直線BE，設(shè)直線l：y=x+b。 ①當(dāng)直線l與拋物線C1只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)： x+b=x2﹣3，即：x2﹣x﹣（3b+9）=0。 由△=（－1）2＋4（3b+9）=0。得。 此時(shí)，。 ∴該交點(diǎn)Q2（）。 過點(diǎn)Q2作Q2F⊥BE于點(diǎn)F，則由BE：y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率為－3， 設(shè)Q2F：y=－3x＋m。將Q2（）代入，可得?！郠2F：y=－3x。 聯(lián)立BE和Q2F，解得?！郌（）。 ∴Q2到直線 BE：y=x﹣1的距離Q2F：。 ②當(dāng)直線l與拋物線C2只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：x+b=﹣x2+1，即：x2+3x+9b﹣9=0。 由△=32＋4（9b－9）=0。得。 此時(shí)，

34、?！嘣摻稽c(diǎn)Q1（）。 同上方法可得Q1到直線 BE：y=x﹣1 的距離：。 ∵， ∴符合條件的Q點(diǎn)為Q1（）。 ∴△EBQ的最大面積：。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式，點(diǎn)到直線的距離，平行線的性質(zhì)。 【分析】（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式。 13. （2012四川達(dá)州8分）問題背景 若矩形的周長(zhǎng)為1，則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，面積為s，則s與x的函數(shù)關(guān)系式為： ，利用函數(shù)的圖象或通過配方均可求得該函數(shù)的最大值.

35、提出新問題 若矩形的面積為1，則該矩形的周長(zhǎng)有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析問題 若設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，問題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大（小）值了. 解決問題 借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)的最大（?。┲? （1）實(shí)踐操作：填寫下表，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象： x ··· 1 2 3 4 ··· y （2）觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù)有最 值（填 “大”或“小”），是 . （3）推理論

36、證：?jiǎn)栴}背景中提到，通過配方可求二次函數(shù)的最大值，請(qǐng)你嘗試通過配方求函數(shù)的最大（?。┲担宰C明你的猜想. 〔提示：當(dāng)時(shí)，〕 【答案】解：（1）填表如下： x ··· 1 2 3 4 ··· y ··· 5 4 5 ··· （2）1，小，4。  （3）證明：∵，  ∴當(dāng)時(shí)，y的最小值是4，即x =1時(shí)，y的最小值是4。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用。 【分析】（1）分別把表中x的值代入所得函數(shù)關(guān)系式求出y的對(duì)應(yīng)值填入表中，并畫出函數(shù)圖象即可。

37、 （2）根據(jù)（1）中函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)直接得出結(jié)論即可。 （3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可。 14. （2012四川巴中9分）某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出200件。如果每 件商品的售價(jià)上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于72元）。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x 為整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元， （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍； （2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大月利潤(rùn)是多少元？ 【答案】解：（1）設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤(rùn)為：（60－50＋x

38、）元， 總銷量為：（200-10x）件， 商品利潤(rùn)為：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。 ∵原售價(jià)為每件60元，每件售價(jià)不能高于72元，∴0＜x≤12。 （2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250， ∴當(dāng)x=5時(shí)，最大月利潤(rùn)y=2250。 答：每件商品的售價(jià)定為5元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大月利潤(rùn)是2250元。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。 【分析】（1）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤(rùn)以及商品總的銷量，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式。 （2）根據(jù)題意利用配方法得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式（或用公式法），

39、從而得出當(dāng)x=5時(shí)得出y的 最大值。 15. （2012遼寧錦州10分）某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售量是230件，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價(jià)不能高于40元. 設(shè)每件玩具的銷售單價(jià)上漲了x元時(shí)（x為正整數(shù)），月銷售利潤(rùn)為y元. （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍. （2）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)恰為2520元？ （3）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤(rùn)最大？最大的月利潤(rùn)是多少？ 【答案】解：（1）依題意得 自變量x的取值范圍是：0＜x≤1

40、0且x為正整數(shù)。 （2）當(dāng)y=2520時(shí)，得， 解得x1=2,x2=11（不合題意，舍去）。 當(dāng)x=2時(shí)，30+x=32。 ∴每件玩具的售價(jià)定為32元時(shí)，月銷售利潤(rùn)恰為2520元。 （3） ∵a=-10＜0 ∴當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值為2722.5 。 ∵0＜x≤10且x為正整數(shù)， ∴當(dāng)x=6時(shí)，30+x=36,y=2720， 當(dāng)x=7時(shí)，30+x=37,y=2720。 ∴每件玩具的售價(jià)定為36元或37元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)。 最大

41、的月利潤(rùn)是2720元。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程。 【分析】（1）根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量×銷售單價(jià)即可得y與x的函數(shù)關(guān)系式。因?yàn)閤為正整數(shù)，所以x＞0； 因?yàn)槊考婢呤蹆r(jià)不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)。 （2）求出函數(shù)值等于2520時(shí)自變量x的值即可。 （3）將函數(shù)式化為頂點(diǎn)式即可求。 16. （2012河北省9分）某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)），這些薄板的形狀均為正方形，邊長(zhǎng)（單位：cm）在5～50之間．每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例，每張薄板的出廠

42、價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的．浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長(zhǎng)成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)． 薄板的邊長(zhǎng)（cm） 20 30 出廠價(jià)（元/張） 50 70 （1）求一張薄板的出廠價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式； （2）已知出廠一張邊長(zhǎng)為40cm的薄板，獲得的利潤(rùn)為26元（利潤(rùn)=出廠價(jià)-成本價(jià)）， ①求一張薄板的利潤(rùn)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式． ②當(dāng)邊長(zhǎng)為多少時(shí)，出廠一張薄板所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 參考公式：拋物線：y=ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為- 【答案】解：（1）設(shè)一張薄板的邊長(zhǎng)為xcm，它的

43、出廠價(jià)為y元，基礎(chǔ)價(jià)為n元，浮動(dòng)價(jià)為kx元，則y=kx+n。 由表格中的數(shù)據(jù)，得，解得。 ∴一張薄板的出廠價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+10。。 （2）①設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為p元，它的成本價(jià)為mx2元，由題意，得： p=y－mx2=2x＋10－mx2， 將x=40，p=26代入p=2x＋10－mx2中，得26=2×40+10－m×402，解得m=。 ∴一張薄板的利潤(rùn)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為。 ②∵a=－＜0，∴當(dāng)x=（在5～50之間）時(shí)， p最大值=。 ∴出廠一張邊長(zhǎng)為25cm的薄板，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是35元。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)

44、的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值。 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案。 （2）①首先假設(shè)一張薄板的利潤(rùn)為p元，它的成本價(jià)為mx2元，由題意，得：p=y-mx2，進(jìn)而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可。 ②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可。 17. （2012黑龍江大慶6分）將一根長(zhǎng)為16厘米的細(xì)鐵絲剪成兩段．并把每段鐵絲圍成圓，設(shè)所得兩圓半徑分別為和. （1）求與的關(guān)系式，并寫出的取值范圍； （2）將兩圓的面積和S表示成的函數(shù)關(guān)系式，求S的最小值． 【答案】解：（1）由題意，有2πr1+2πr2=16

45、π，則r1+r2=8。 ∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。 ∴r1與r2的關(guān)系式為r1+r2=8，r1的取值范圍是0＜r1＜8厘米。 （2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。 又∵， ∴當(dāng)r1=4厘米時(shí)，S有最小值32π平方厘米。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。119281 【分析】（1）由圓的周長(zhǎng)公式表示出半徑分別為r1和r2的圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)之和等于16π厘米列出關(guān)系式即可。 （2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根據(jù)圓的面積公式即可得到兩圓的面積和S表示成r1的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最小值。 18. （2012黑龍江哈爾濱6分）小磊要制作一個(gè)三角形的鋼架模型，在這個(gè)三角形中，長(zhǎng)度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40 cm，這個(gè)三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化． （1）請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)； （2）當(dāng)x是多少時(shí)，這個(gè)三角形面積S最大?最大面積是多少?