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1、空間及軸對稱問題有限元,概述 空間問題(四面體、六面體類) 軸對稱問題 軸對稱問題非軸對稱荷載,概 述,三個方向尺寸屬于同一數(shù)量級，所受荷載或形體復雜，不可能像上一章那樣簡化成平面問題處理，這時必須按空間問題求解。,與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個困難： 1）對空間物體進行離散化時不像平面問題那樣直觀，人工進行離散時很容易產(chǎn)生錯誤； 2）未知量的數(shù)量劇增。,建立網(wǎng)格自動生成前處理程序,采用高階單元來提高單元精度,平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，稱為軸對稱物體，是一類特殊的空間問題。,空間問題,1 常應變四面體單元形函數(shù),與平面三角形單元相對應，四面體單元內(nèi)任一點可用“體積坐標”
2、來表示。,各子四面體體積,與三角形單元一樣，體積坐標為Ti =Vi /V ,三個是獨立的，它有“本1，它0，總和1”的性質(zhì)。,四面體總體積 (右旋體積正),,,,,剩下來的工作基本和三角形常應變單元類似。作業(yè)：自學單元列式內(nèi)容。,,空間問題,2 十結(jié)點（二次）四面體單元形函數(shù),類似于平面六結(jié)點二次三角形單元，采用試湊法建立結(jié)點的形函數(shù)。,為使N1滿足本點為1，可得a=2， 代回后得,N1 =T1 (2T1-1),余者類似，也可按如下通式得到：,式中p為形函數(shù)階次，分子為不通過i點的平面方程左端項，分母中括號內(nèi)為i點體積坐標。,請大家自行驗證！,,,空間問題,3 形成四面體的對角線劃分方法,先劃
3、分成六面體再分為四面體,1）六面體劃分為5個四面體,A5型,1467間連6根對角線,空間問題,3 形成四面體的對角線劃分方法,1）六面體劃分為5個四面體,B5型,2358間連6根對角線,相鄰六面體必須一個為A5另一個為B5,共同點 相對面對角線 相互空間交叉,空間問題,3 形成四面體的對角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個四面體,,,,連47、76、63 6874、5673、4763,連23、25、63 2351、3562、3642,,,,空間問題,3 形成四面體的對角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個四面體,連35、52、63 3562、5673、2351,連47、46、63 3
4、764、6874、3642,,,,,,,兩種A6劃分 結(jié)果完全相同,空間問題,3 形成四面體的對角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個四面體,連23、35、45 2453、4753、2351,連45、46、67 4562、5674、6874,,,,,,,空間問題,3 形成四面體的對角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個四面體,連47、76、54 4753、5674、6874,連32、25、54 2351、4352、4562,,,,,,,兩種B6劃分 結(jié)果也完全相同,作業(yè)：P.95給出了由六面體8個角點點號，按式(4.1.25)求A6和A5型四面體結(jié)點號的方法。請考慮B6和B5型的計算公
5、式。,空間問題,4 六面體類單元的形函數(shù),1）八結(jié)點單元,類似平面問題矩形線性單元，由試湊法可建立形函數(shù)如下：,2）二十結(jié)點單元,和平面問題一樣，基于試湊法，可以根據(jù)上述八結(jié)點低階單元形函數(shù)構(gòu)造各頂點形函數(shù)。,作業(yè)：32結(jié)點三次單元,空間問題,5 五面體類單元的形函數(shù),1）試湊法建立六結(jié)點形函數(shù),用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界形狀不規(guī)則物體的分析。,課堂練習：建立15結(jié)點五面體單元形函數(shù)。,2）三維等參元列式,基本思想和平面問題一樣，具體列式參看P.101P.104。,軸對稱問題,工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對稱于某一固定軸(可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果
6、)，其力學分析稱為軸對稱問題。典型例子為煙囪、儲液罐等受恒載作用。,1 離散化,由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，,2 應力與應變,對軸對稱問題進行分析一般取柱坐標系，對稱軸為Z軸，徑向為r 軸，環(huán)向為軸。,因此軸對稱問題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實際是取子午面內(nèi)圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)所得“圓環(huán)形單元”對物體進行離散。,因此可用的單元與平面問題一樣。,軸對稱問題,在柱坐標下軸對稱問題的幾何方程為,根據(jù)具體單元,代入所建立的位移模式,即可得應變矩陣B。,,軸向位移,徑向位移,教材上有推導的示意圖，參考彈性力學。,由于算子中有1/r，所以三角形環(huán)單元B不再是常數(shù)矩陣。,軸對稱問題,根據(jù)具體單
7、元，即可得應變、應力矩陣等。,,, D = 0,式中,對稱,對線彈性問題，在上述應變分量條件下，物理方程為,以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為,軸對稱問題,,,根據(jù)軸對稱問題的算子矩陣，單元應變矩陣為,應力矩陣：,由于應變矩陣的特點，應力分量中除剪應力為常量外，其余三項正應力均不再是常數(shù)。,軸對稱問題,由于B 中含有坐標變量，因此積分運算較平面問題復雜，精確積分參見Zienkiewicz (Finite Element Method, 5th Ed，2000)。,教材上對三角形環(huán)單元具體介紹了ke和FEe的有關計算過程。請自學相關內(nèi)容。,,,單元剛度矩陣仍可按照平面問題的方法建立，但需注意體積積
8、分應在整個環(huán)上進行。,實踐證明采用近似積分也能達到一定的精度，具體對于三角形環(huán)單元用形心處坐標代替應變矩陣中的坐標變量。如何進一步改進積分精度？,軸對稱問題等參元分析,教材上P.111具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果。,,,單元位移場：,單元描述：,圓柱坐標系下雅可比矩陣：,應變矩陣：,如果軸對稱體上作用的非軸對稱荷載，如煙囪上作用的風荷載及地震荷載等，此時結(jié)構(gòu)的位移、應變和應力將不再是軸對稱的，需按照空間問題求解。,,軸對稱問題非軸對稱荷載,此時求解費用將大大增加，如何進行簡化？,采用半解析有限元方法，將此類問題化為若干軸對稱問題疊加進行求解。此處將軸對稱體上作用的一般荷載P(r,z,)沿三個坐
9、標軸方向分解，并沿方向展開成付氏級數(shù)：,,,,軸對稱,對稱,反對稱,扭轉(zhuǎn),軸對稱問題非軸對稱荷載,非軸對稱荷載的分解：,R0、Z0 與無關，是軸對稱荷載；T0 與無關、沿 方向，是扭轉(zhuǎn)荷載；,Ri(r,z)cosi等是關于=0平面的對稱荷載；,Ri(r,z)sini等是關于=0平面的反對稱荷載；,對稱,反對稱,軸對稱問題非軸對稱荷載,將位移作類似的分解：,u0、w0 軸對稱位移；v0 扭轉(zhuǎn)位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是關于=0平面對稱的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是關于=0平面反對稱的位移。
10、,,,,,軸對稱,對稱,反對稱,扭轉(zhuǎn),軸對稱問題非軸對稱荷載,對稱荷載作用下的計算：,對稱荷載引起的位移是對稱的：,,軸對稱問題非軸對稱荷載,由于荷載非軸對稱，因此一點的應變分量將有6項。采用虛位移原理或勢能原理建立單元的剛度矩陣與等效荷載矩陣,公式顯式表達式見教材P.115116.(4.4.114.4.4.18)?；谌呛瘮?shù)的正交性，單元分析得到的單元剛度矩陣是分塊對角陣。,對稱荷載下的軸對稱問題分析可由荷載的每一級數(shù)項分別計算然后疊加；并且每一級數(shù)項對應的求解都是軸對稱問題的解。,上述對稱荷載分析中當i=0時得到軸對稱荷載情況的解；若將正弦與余弦函數(shù)互換則得到反對稱情況的解，并且此時i=0時得到扭轉(zhuǎn)荷載的解。,,,彈性力學兩類平面問題,
空間與軸對稱問題有限元分析.ppt
