2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.2 函數(shù)的極值課件 北師大版選修1 -1.ppt

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1、第四章1函數(shù)的單調性與極值,1.2函數(shù)的極值,,,學習目標,XUEXIMUBIAO,1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系. 2.掌握函數(shù)極值的判定及求法. 3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件.,,NEIRONGSUOYIN,內容索引,自主學習,題型探究,達標檢測,1,自主學習,PART ONE,知識點一函數(shù)的極值點與極值的概念 1.如圖1，在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內，函數(shù)yf(x)在任何一點的函數(shù)值都小于或等于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值. 2.如圖2，在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內，函數(shù)yf(x)

2、在任何一點的函數(shù)值都大于或等于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)yf(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值. 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.,知識點二函數(shù)極值的判定 1.單調性判別： (1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是 ，在區(qū)間(x0，b)上是 ，則x0是極大值點，f(x0)是極大值. (2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是 ，在區(qū)間(x0，b)上是 ，則x0是極小值點，f(x0)是極小值.,增加的,減少的,增加的,減少的,2.圖表判別： (1)極大值的判定：,(2)極小值的判定：,知識點三求函數(shù)yf(x)的極值

3、的步驟 1.求出導數(shù)f(x). 2.解方程f(x)0. 3.對于方程f(x)0的每一個解x0，分析f(x)在x0左、右兩側的符號(即f(x)的單調性)，確定極值點： (1)若f(x)在x0兩側的符號為“左正右負”，則x0為極大值點； (2)若f(x)在x0兩側的符號為“左負右正”，則x0為極小值點； (3)若f(x)在x0兩側的符號相同，則x0不是極值點.,1.導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點.() 2.在可導函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行.() 3.函數(shù)f(x) 無極值.() 4.定義在a，b上的連續(xù)函數(shù)f(x)若有極值f(x0)，則x0(a，b).() 5.函數(shù)的極值點一定是其導函數(shù)的變號

4、零點.(),,思考辨析 判斷正誤,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,,,,,,2,題型探究,PART TWO,,題型一求函數(shù)的極值,例1求下列函數(shù)的極值. (1)f(x)2x33x212x1；,解函數(shù)f(x)2x33x212x1的定義域為R， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：,所以當x2時，f(x)取極大值21； 當x1時，f(x)取極小值6.,(2)f(x)x22ln x.,解函數(shù)f(x)x22ln x的定義域為(0，)，,因此當x1時，f(x)有極小值1，無極大值.

5、,得x11，x21(舍去). 當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：,反思感悟求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f(x). (2)求f(x)的拐點，即求方程f(x)0的根. (3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值. 特別提醒：在判斷f(x)的符號時，借助圖像也可判斷f(x)各因式的符號，還可用特殊值法判斷.,跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y4x4. (1)求a，b的值；,解f(x)ex(axb)aex2x4 ex(axab)2x4， f(0)

6、ab44， 又f(0)b4， 由可得ab4.,(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值.,解f(x)ex(4x4)x24x， 則f(x)ex(4x8)2x4 4ex(x2)2(x2) (x2)(4ex2). 令f(x)0，得x12，x2ln 2， 當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：,f(x)在(，2)，(ln 2，)上是增加的， 在(2，ln 2)上是減少的. 當x2時，函數(shù)f(x)取得極大值， 極大值為f(2)4(1e2).,例2設x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點. (1)試確定常數(shù)a和b的值；,,題型二已知函數(shù)極值(或極值點)求參數(shù),解f(x)a

7、ln xbx2x，,由題意可知f(1)f(2)0，,(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.,解x1，x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點. 理由如下：,又f(x)的定義域為(0，)，當x(0,1)時，f(x)0； 當x(2，)時，f(x)<0， 故在x1處函數(shù)f(x)取得極小值，在x2處函數(shù)取得極大值， 故x1為極小值點，x2為極大值點.,反思感悟已知函數(shù)極值情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式時，注意兩點 (1)根據極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列方程組. (2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以求解后必須驗證根的合理性.,跟蹤訓練2(1)已知函

8、數(shù)f(x)x33ax2bxa2在x1處有極值0，則a____，b____.,2 9,解析f(x)3x26axb，且函數(shù)f(x)在x1處有極值0，,當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，此時函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去. 當a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3). 當x(，3)時，f(x)0，此時f(x)是增加的； 當x(3，1)時，f(x)0，此時f(x)是增加的. 故f(x)在x1處取得極小值，a2，b9.,(2)若函數(shù)f(x) x3x2ax1有極值點，則a的取值范圍為__________.,(，1),解析f(x)x22xa， 由題意得方程x2

9、2xa0有兩個不同的實數(shù)根， 44a0，解得a<1.,例3已知函數(shù)f(x)x33ax1(a0).若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖像有三個不同的交點，求m的取值范圍.,,題型三函數(shù)極值的綜合應用,解因為f(x)在x1處取得極值且f(x)3x23a， 所以f(1)3(1)23a0，所以a1， 所以f(x)x33x1，f(x)3x23， 由f(x)0，解得x11，x21. 當x0； 當11時，f(x)0. 所以由f(x)的單調性可知， f(x)在x1處取得極大值f(1)1， 在x1處取得極小值f(1)3.,作出f(x)的大致圖像如圖所示. 因為直線ym與函數(shù)yf(x)的圖像

10、有三個不同的交點，結合f(x)的圖像可知，m的取值范圍是(3,1).,引申探究 若本例“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結果如何？改為“一個交點”呢？,解由本例解析可知當m3或m1時，直線ym與yf(x)的圖像有兩個不同的交點； 當m1時，直線ym與yf(x)的圖像只有一個交點.,反思感悟利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎上畫出函數(shù)的大致圖像，從直觀上判斷函數(shù)圖像與x軸的交點或兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便.,跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)x36x29x3，若函數(shù)yf(x)的圖像與y f(x) 5xm的圖像有三個不同的交點，求實數(shù)m

11、的取值范圍.,解由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,x2x3m， 則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個不相等的實根， 即g(x)x37x28xm的圖像與x軸有三個不同的交點. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,當x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：,典例已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.,,核心素養(yǎng)之直觀想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,由極值點的個數(shù)求參數(shù)范圍,解由題意知f(x)的定義域為(0，)， f(x)ln x12ax， 由于函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f(x)0有

12、兩個不等的正根， 即函數(shù)yln x1與y2ax(x0)的圖像有兩個不同的交點，則a0. 設函數(shù)yln x1上任一點(x0,1ln x0)處的切線為l，,素養(yǎng)評析(1)研究方程根的問題可以轉化為研究相應函數(shù)的圖像問題，一般地，方程f(x)0的根就是函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖像的交點的橫坐標. (2)將數(shù)轉化為形，以形助數(shù)，體現(xiàn)了直觀想象的作用和意義.,3,達標檢測,PART THREE,1.函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x) A.無極大值點，有四個極小值點 B.有三個極大值點，兩個極小值點 C.

13、有兩個極大值點，兩個極小值點 D.有四個極大值點，無極小值點,,解析f(x)的符號由正變負， 則f(x0)是極大值， f(x)的符號由負變正， 則f(x0)是極小值，由圖像易知有兩個極大值點，兩個極小值點.,,1,2,3,4,5,2.已知函數(shù)f(x)ax3x2x5在(，)上既有極大值，也有極小值，則實數(shù)a的取值范圍為,解析f(x)3ax22x1，令f(x)0， 即3ax22x10有兩個不等實根，,,,1,2,3,4,5,3.已知a為函數(shù)f(x)x312x的極小值點，則a等于 A.4 B.2 C.4 D.2,,解析f(x)x312x，f(x)3x212， 令f(x)0，則x12，x22. 當x(

14、，2)，(2，)時，f(x)0，則f(x)是增加的； 當x(2,2)時，f(x)<0，則f(x)是減少的， f(x)的極小值點為a2.,1,2,3,4,5,,4.設函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x21，則實數(shù)a的值為____.,解析f(x)18x26(a2)x2a.,,1,2,3,4,5,所以a9.,9,,1,2,3,4,5,5.已知曲線f(x)x3ax2bx1在點(1，f(1))處的切線斜率為3，且x 是yf(x)的極值點，則ab_____.,解析因為f(x)3x22axb，,2,,課堂小結,KETANGXIAOJIE,1.在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值. 2.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.可導函數(shù)f(x)在點xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側f(x)符號相反. 3.利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖像的交點問題.,