（江蘇專用）2020版高考數學大一輪復習 第三章 2 第二節(jié) 導數與函數的單調性課件.ppt

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1、第二節(jié)導數與函數的單調性,1.函數的單調性與導數的關系,教材研讀,考點一 證明函數的單調性,考點二 求函數的單調區(qū)間,考點突破,考點三 函數單調性的應用,1.函數的單調性與導數的關系 (1)設函數f(x)在某個區(qū)間內可導: 若f (x)0,則f(x)在這個區(qū)間內是增函數; 若f (x)<0,則f(x)在這個區(qū)間內是減函數; 若f (x)=0,則f(x)在這個區(qū)間內是常數函數.,教材研讀,(2)求可導函數f(x)單調區(qū)間的步驟: (i)確定f(x)的定義域; (ii)求導數f (x); (iii)令f (x)0或f (x)0時, f(x)在相應區(qū)間上是增函數, 當f (x)<0時, f(x)在相

2、應區(qū)間上是減函數.,2.注意求函數的單調區(qū)間應遵守定義域優(yōu)先的原則,否則易導致錯誤.,1.(2018南京期末調研)函數f(x)=xex的單調減區(qū)間是.,答案(-,-1),解析f(x)=xex,f (x)=(1+x)ex,由f (x)0,得該函數的減區(qū)間為(-,-1).,,,2.若可導函數f(x)是減函數,則 (x1x2)的符號為.,答案負,解析由題意得f (x)<0,則 <0.,,,3.函數y=x-2cos x的增區(qū)間是.,答案(kZ),解析易得y=1+2sin x,由y0,得sin x-,則2k-

3、函數f(x)=sin x-x,則不等式f(x+2)+f(1-2x)<0的解集是.,答案x|x<3,解析函數f(x)=sin x-x的定義域關于原點對稱,且滿足f(-x)=-f(x),又f (x)=cos x-10,所以函數f(x)是R上的奇函數,且是減函數,則f(x+2)+f(1-2x)2x-1,解得x<3,故該不等式的解集是x|x<3.,,,5.已知m是實數,函數f(x)=x2(x-m),若f (-1)=-1,則函數f(x)的單調增區(qū)間是.,答案,(0,+),解析f (x)=3x2-2mx,f (-1)=3+2m=-1, 解得m=-2,f (x)=3x2+4x. 令f (x)0,解得x0.

4、故函數f(x)的單調增區(qū)間為,(0,+).,,,考點一 證明函數的單調性 典例1已知函數f(x)=ax4-x2(a0),x(0,+),求證: f(x)在f (x)的單調減 區(qū)間上也單調遞減.,考點突破,證明f (x)=4ax3-x(a0),x(0,+),由(4ax3-x)=12ax2-1<0得f (x)的單調遞減區(qū)間為.當x時, f (x)=4ax3-x=x(4ax2-1)<0,f(x) 在f (x)的單調減區(qū)間上也單調遞減.,,規(guī)律總結 證明可導函數的單調性有導數法和定義法兩種方法,解決問題時常用導數法,即要證明f(x),xD單調遞增(減),只需證明f (x)0,xD(f (x)0,xD)成

5、立.,1-1已知f(x)=ex+,求證: f(x)在(0,+)上是增函數. 證明因為f (x)=ex-=0,x(0,+),所以f(x)在(0,+)上 是增函數.,,考點二 求函數的單調區(qū)間 角度一求不含參數的函數的單調區(qū)間 典例2設函數f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2, f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的單調區(qū)間.,解析(1)因為f(x)=xea-x+bx, 所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 由題意知 即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1

6、)及e2-x0知, f (x)與1-x+ex-1同號.,令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1. 所以,當x(-,1)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調遞增. 故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值, 從而g(x)0,x(-,+). 綜上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,+).,易錯警示 求解函數的單調區(qū)間時首先要考慮定義域,其次求導后解不等式求得單 調區(qū)間,若區(qū)間不止一個,這些區(qū)間應用“,”或“和”隔開,不能用“”連接.,角度二求含參數的函數的單調區(qū)間 典例3(2019江蘇高考數學模擬)設kR,函數f(x)=ln x

7、+x2-kx-1. 求:(1)k=1時,不等式f(x)-1的解集; (2)函數f(x)的單調遞增區(qū)間.,解析(1)k=1時,不等式f(x)-1即ln x+x2-x0.設g(x)=ln x+x2-x,x0,因為 g(x)=+2x-1=0在定義域(0,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)上 單調遞增.又g(1)=0,所以f(x)-1的解集為(1,+). (2)f (x)=+2x-k=(x0),由f (x)0得2x2-kx+10(*).,當=k2-80,即-2k2時,(*)在R上恒成立,所以f(x)的單調遞增 區(qū)間為(0,+).,當=k2-80,即k2時,方程2x2-kx+1=0的相異實根分別為x

8、1=, x2=, 因為所以0

9、知f (x)<0在(-,0)上恒成立, 所以函數f(x)在區(qū)間(-,0)上為減函數.,,當x0時, f(x)=ex-2x,則f (x)=ex-2. 令f (x)=0,解得x=ln 2.當0ln 2時, f (x)0,所以函數f(x)在區(qū)間(0,ln 2)上為減函數,在區(qū)間(ln 2,+)上為增函數.,綜上,函數f(x)的單調減區(qū)間為(-,0)和(0,ln 2),單調增區(qū)間為(ln 2,+).,2-2(2018江蘇徐州王杰中學月考節(jié)選)已知函數f(x)=ln x-ax,g(x)=+a. 討論函數F(x)=f(x)-g(x)的單調性.,解析F(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax--a,x0,

10、則F (x)=. 當a0,F (x)0時,x(0,+),所以F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上是增函數. 當a0時,易知F(x)=f(x)-g(x)在上是增函數,在 上是減函數.,,典例4(1)(2018江蘇揚州中學高三開學考)若函數f(x)=(cos x-sin x). (cos x+sin x)+3a(sin x-cos x)+(4a-1)x在上單調遞增,則實數a的取 值范圍是. (2)(2018江蘇如東高級中學高三上學期期中)函數f(x)=x2,g(x)=aln x,對 區(qū)間1,2上任意不相等的實數x1,x2,都有2恒成立,則正 數a的取值范圍是.,考點三 函數單調性的應用 角度

11、一由函數的單調性,求參數的取值范圍,解析(1)f(x)=cos 2x+3a(sin x-cos x)+(4a-1)x,則f (x)=-sin 2x+3a(cos x+ sin x)+4a-1,由題意知f (x)0在上恒成立, 令cos x+sin x=t,則t=sin,t-1,1,則-t2+3at+4a0在t-1,1上 恒成立,則a,t-1,1, =1,當t=-1時取等號,則a1.,答案(1)1,+)(2)(0,1,,(2)不妨設1x10在1,2上遞增,則g()< g(),則f(x1)-f(x2)<2g()-2g(),則f(x1)-2g()

12、),則h(x)=x2-aln x,則h(x)在1,2上遞增,即h(x)=x-0在1,2 上恒成立,則0

13、<0,xD有解.,典例5(2017江蘇,11,5分)已知函數f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然對數 的底數.若f(a-1)+f(2a2)0,則實數a的取值范圍是.,角度二利用函數的單調性解不等式,答案,,解析易知函數f(x)的定義域關于原點對稱.,f(x)=x3-2x+ex-,,f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x- =-x3+2x+-ex=-f(x), f(x)為奇函數.,又f (x)=3x2-2+ex+3x2-2+2=3x20(當且僅當x=0時,取“=”),從而f(x) 在R上單調遞增, f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1, 解得-1a.,規(guī)

14、律總結 利用函數的單調性“脫f ”轉化為具體的不等式是解題的關鍵,有時還需要利用導數公式以及運算法則的逆向應用構造新函數,再利用導數求 函數的單調性,進而解不等式.,3-1設f(x)是定義在R上的可導函數,且滿足f(x)+x f (x)0,則不等式 f()f()的解集為.,答案1,2),解析令F(x)=xf(x),則F(x)=f(x)+x f (x),因為F(x)0,所以F(x)是定義在R上的遞增函數,f()f()f()f(), 即F()F(),則,解得-1

15、(0, f(0))處的切線方程為y =1. (1)求b,c的值; (2)若a0,求函數f(x)的單調區(qū)間; (3)設函數g(x)=f(x)+2x,且g(x)在區(qū)間(-2,-1)內存在單調遞減區(qū)間,求實數a的取值范圍.,解析(1)f (x)=x2-ax+b, 由題意得解得 (2)由(1)得f (x)=x2-ax=x(x-a)(a0). 當x(-,0)時, f (x)0; 當x(0,a)時, f (x)0. 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(-,0),(a,+),單調遞減區(qū)間為(0,a). (3)g(x)=x2-ax+2,依題意知,存在x(-2,-1),使不等式g(x)=x2-ax+2<0成立,,所以x(-2,-1)時,a<, 因為x+-2, 當且僅當x=,即x=-時等號成立. 所以實數a的取值范圍是(-,-2).,