初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程2.2.2 配方法教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）北師大版

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1、……………………………………………………………最新資料推薦………………………………………………… 2．2 配方法 課時(shí)安排 3課時(shí) 從容說(shuō)課 配方法是繼探索一元二次方程近似解的基礎(chǔ)上研究的一種求精確解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因?yàn)橛门浞椒ń庖辉畏匠瘫容^麻煩，一個(gè)一元二次方程需配一次方，所以在實(shí)際解一元二次方程時(shí)，一般不用配方法．但是，配方法是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵，且在以后的學(xué)習(xí)中，會(huì)常常用到配方法．因此，要理解配方法，并會(huì)用配方法解一元二次方程. 本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)是配方法．根據(jù)課程的特點(diǎn)，以及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本節(jié)內(nèi)容分三課時(shí)．

2、 在教學(xué)時(shí)，首先從前面兩節(jié)課的實(shí)例引入求精確解.因?yàn)槲覀円呀?jīng)能解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程，所以想到要求一個(gè)一元二次方程的精確解時(shí)，是否可把方程轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能解的方程，這時(shí)引入了一元二次方程的解法——配方法． 配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征． 教學(xué)方法主要是學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)的方法． 課 題 §2．2.2 配方法 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．會(huì)用開(kāi)平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． (二)能力訓(xùn)練要求 1．會(huì)用開(kāi)

3、平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法． 2．體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法． 3．能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性． (三)情感與價(jià)值觀(guān)要求 通過(guò)師生的共同活動(dòng)，學(xué)生的進(jìn)一步操作來(lái)增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力． 教學(xué)重點(diǎn) 利用配方法解一元二次方程 教學(xué)難點(diǎn) 把一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為(x+m)2＝n(n≥0)的形式． 教學(xué)方法 講練結(jié)合法 教具準(zhǔn)備 投影片六張： 第一張：?jiǎn)栴}(記作投影片§2．2．1 A) 第二張：議一議(記作投影片§ 2．2．1 B) —第三

4、張：議一議(記作投影片§ 2．2．1 C) 第四張：想一想(記作投影片§2．2．1 D) 第五張：做一做(記作投影片§2．2．1 E) 第六張：例題(記作投影片§2．2．1 F) 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課 [師]前面我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來(lái)回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)? [生甲]如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。 用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根． [生乙]平方根有下列性質(zhì)： (1)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反

5、數(shù)的． (2)零的平方根是零． (3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根． [師]很好，那你能求出適合等式x2=4的x的值嗎? [生]由x2＝4可知，x就是4的平方根．因此x的值為2和-2． [師]很好；下面我們來(lái)看上兩節(jié)課研究過(guò)的問(wèn)題．(出示投影片§2．2．1 A) 如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米? [師]由前節(jié)課的分析可知：梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿(mǎn)足x2+12x-15＝0．上節(jié)課我們已求出了x的近似值，那么你能設(shè)法求出它的精確值嗎?

6、…… 這節(jié)課我們就來(lái)研究一元二次方程的解法． Ⅱ．講授新課 [師]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念，現(xiàn)在同學(xué)們來(lái)討論一下：你能解哪些一元二次方程? [生甲]等式x2=4就是一元二次方程， 像這樣類(lèi)型的方程我們就能解. [生乙]方程(x+3)2＝9，我們也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x＝0或x＝-6． [師]乙同學(xué)分析得很好，大家聽(tīng)清楚了沒(méi)有?……好，下面大家看大屏幕(出示投影片§ 2．2．1 B) 你會(huì)解下列一元二次方程嗎?你是怎么做的?

7、(1)x2＝5； (2)3x2＝0； (3)x2-4＝0； (4)2x2-50＝0； (5)(x+2)2＝5； (6)(x-3)2＝6； (7)2x2+50＝0． [生甲]方程(1)的解為 ，-，因?yàn)閤是5的平方根． 方程(2)的解為0，因?yàn)榉匠?x2＝0可以化為x2＝0，即x是0的平方根． [生乙]方程(3)可以通過(guò)移項(xiàng)化為方程 (1)的形式，即x2＝4，所以方程(3)的根為2，-2． 方程(4)也可以通過(guò)移項(xiàng)化為方程(2)的形式，即2x2＝50，然后再化為x2＝25，因此 方程(4)的根為5，-5．

8、[生丙]解方程(5)和(6)時(shí)，只要把(x+2)和(x-3)當(dāng)作整體看待，其形式就如方程 (1)，這樣方程(5)和(6)即可求解． 方程(5)就是求(x+2)，使它的平方為5，則x+2就等于 或- ，因此，x就等于-2+或-2-． 方程(6)就是求(x-3)，使它的平方為6，則(x-3)就等于 或- ，因此，x等于 3+ 或3-． [生丁]方程(7)通過(guò)移項(xiàng)得2x2＝-50． 而由平方根的性質(zhì)可知：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)適合這個(gè)方程． [師]同學(xué)們分析得真棒，大家利用平方根的定義求解了一類(lèi)一元二次方程，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平

9、方法．其中適合方程(7)的實(shí)數(shù)x不存在，所以原方程無(wú)實(shí)數(shù)解． 從剛才的解題過(guò)程中，我們知道了一元二次方程如果有解，則它有兩個(gè)根，這兩個(gè)根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我們?cè)跁?shū)寫(xiě)時(shí)，通常用x1、x2表示未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個(gè)根． 注意： (1)方程3x2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x1=0，x2=0．這與一元一次方程3x=0有一個(gè)根x＝0是有區(qū)別的． (2)剛才我們解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0來(lái)表示．當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)，方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a、c同號(hào)時(shí)，a

10、x2+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 好，接下來(lái)同學(xué)們來(lái)看大屏幕(出示投影片§2．2．1 C)。分組討論討論． 判斷下列方程能否用開(kāi)平方法來(lái)求解?如何解? (1)x2-4x+4＝2； (2)x2+12x+36＝5． [生甲]方程(1)能用開(kāi)平方法求解．因?yàn)榉匠?1)的左邊正好是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)正數(shù)，所以它可以化為(x-2)2＝2．這樣利用直接開(kāi)平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=2-. [生乙]方程(2)也能用平方法來(lái)解，方法同解方程(1)，即原方程化為(x+6)2=5．兩邊分別開(kāi)平方，得x+6＝±， 即x1＝-6+，x2＝-6-

11、[師]很好，同學(xué)們基本了解了解一元二次方程的基本思路，誰(shuí)來(lái)給大家敘述一下呢? [生]解一元二次方程的基本思路是：把原方程變?yōu)?x+m)2＝n，然后兩邊同時(shí)開(kāi)平方，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程． [師]真棒，實(shí)際上解一元二次方程的關(guān)鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即將原方程“降次”，“降次”也是一種數(shù)學(xué)方法． 下面我們來(lái)看能否求出方程x2+12x-15=0的精確值，同學(xué)們先來(lái)想一想：(出示投影片§2．2．1 D) 解方程x2+12x-15=0的困難在哪里?你能將方程x2+12x-15＝0轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式嗎? [生]解方程x2+12x-

12、15＝0的困難就是：怎么樣能把x2+12x-15=0的左邊變成一個(gè)完全平方形式，右邊變成一個(gè)非負(fù)數(shù)． [師]噢，那想一想完全平方式的特征是什么? [生]完全平方公式是:a2±2ab+b2＝(a±b)2 [師]好，下面大家來(lái)做一做．(出示投影片§2．2．1 E) 填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立． (1)x2+12x+ ＝(x+6)2； (2)x2-4x+ =(x- )2； (3)x2+8x+ ＝(x+ )2． [生甲](1)的左邊應(yīng)填上：36． (2)的左邊應(yīng)填上4，右邊填；2． (3)的左

13、邊應(yīng)填上16，右邊填：4． [生乙]老師，我看出來(lái)了，這三個(gè)等式的左邊填的常數(shù)是：一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；而右邊填的是：一次項(xiàng)系數(shù)的一半．是嗎? [師]大家說(shuō)呢? [生齊聲]是． [師]好，我們理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-15＝0轉(zhuǎn)化為(x+m)2＝n的形式． [師生共析]x2+12x-15＝0， 可以先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x2+12x＝15． 兩邊都加上62(一次項(xiàng)系數(shù)12的一半的平方)，得 x2+12x+62=15+62， 即(x+6)2＝51． [師]接

14、下來(lái)能否求出方程x2+12x-15＝0的精確值，即梯子底端滑動(dòng)的距離呢? [生齊聲]能，給方程兩邊開(kāi)平方，得 x+6＝±， 即x+6＝或x+6＝- 所以x1＝-6+,2＝-6-． [師]噢，所以梯子底端滑動(dòng)了(-6+)m或(-6-)m． [生]老師，梯子底端滑動(dòng)的距離是正數(shù)，不能是負(fù)數(shù)，所以x1是原問(wèn)題的解，而x2不是． [師]大家說(shuō)，對(duì)嗎? [生齊聲]對(duì)． [師]很好，x1，x2是方程x2+12x-15＝0的根，但x2不是原問(wèn)題的解，所以應(yīng)舍去． 我們通過(guò)配成完全平方式的方法得到了一元二次方程

15、x2+12x-15＝0的根，這種解一元二次方程的方法稱(chēng)為配方法(Solving by completing the square)． 下面同學(xué)們來(lái)看一例題：(出示投影片§2．2．1 F) [例題]解方程x2+8x-9＝0． [師]大家能獨(dú)立解這個(gè)方程嗎? [生齊聲]能． 解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得 x2+8x＝9． 兩邊都加上16，得 x2+8x+16＝9+16， 即(x+4)2=25． 開(kāi)平方，得 x+4＝±5， 即x+4=5或x+4＝-5． 所以x1＝1，x

16、2＝-9． [師]很好，由此我們可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2＝n的形式，它的一邊是一個(gè)完全平方式，另一邊是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)n≥0時(shí)，兩邊開(kāi)平方便可求出它的根． 注；因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)任何非負(fù)數(shù)都有平方根，所以當(dāng)n≥0時(shí)，方程有解；當(dāng)n<0時(shí)，左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，因此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解． 接下來(lái)，通過(guò)做練習(xí)來(lái)進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容． Ⅲ．課堂練習(xí) 課本P49隨堂練習(xí) 1 1．解下列方程 (1)x2-10x+25＝7；(2)x2+6x＝1． 解：(1)x2-10

17、x+25＝7， (x-5)2＝7， x-5=±， 即x-5=或x-5=-， 所以x1＝5+，x2＝5- (2)x2+6x＝1， x2+6x+9＝1+9， (x+3)2＝10， x+3＝±， 即x+3＝或x+3＝-． 所以x1＝-3+，x2＝-3-． Ⅳ．課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們研究了一元二次方程的解法： (1)直接開(kāi)平方法． (2)配方法． Ⅴ．課后作業(yè) (一)課本P49習(xí)題2．3 1、2 (二)1．預(yù)習(xí)內(nèi)容P49～P52

18、 2．預(yù)習(xí)提綱 如何利用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1或一次項(xiàng)系數(shù)不為偶數(shù)的一元二次方程． Ⅵ．活動(dòng)與探究 1．解下列關(guān)于x的方程： (1)＝1(a>0)； (2)x2-a＝0(a≥0)； (3)(x-a)2＝b2； (4)(ax+c)2＝d(d≥0，a≠0)． [過(guò)程]通過(guò)對(duì)本題的探究，讓學(xué)生了解字母系數(shù)的一元二次方程的解法與數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的解法一樣，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因此只有在判明了方程的兩邊均是非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開(kāi)平方．本題的(1)、(2)方程經(jīng)過(guò)變形后，可得x2＝a，因?yàn)榻o了條件a＞0或d≥0，所以可以

19、對(duì)a進(jìn)行開(kāi)平方；方程(3)中，兩邊都是完全平方式，可以同時(shí)開(kāi)平方；方程(4)是給了條件d≥0，所以也可以直接開(kāi)平方． [結(jié)果] 解：(1)化簡(jiǎn)為x2=a． 因?yàn)閍＞0， 所以?xún)蛇呁瑫r(shí)開(kāi)平方，得x＝±， 即x1=，x2＝-． (2)化簡(jiǎn)為x2=a． 因?yàn)閍≥0， 所以?xún)蛇呁瑫r(shí)開(kāi)平方，得x＝±， 即x1=，x2＝-． (3)兩邊同時(shí)開(kāi)平方，得 x-a=±， 即x-a＝b或x-a＝-b． 解關(guān)于x的方程，得 x1=a+b，x2=a-b． (4)因?yàn)閐≥0， 所以?xún)蛇呁瑫r(shí)開(kāi)平方，得ax+c＝± 即ax+c=或ax+c=， 又因?yàn)閍≠0， ∴x1= ，x2= 注意： 若題目(4)中不給條件d≥0，則要分情況討論如下： ①若d>0時(shí)，則有ax+c＝±， 得x1＝，x2＝ ②若d＝0，則有ax+c＝0， 所以x1＝x2＝-. ③若d<0，則因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不可能 為負(fù)，所以本題無(wú)解． 板書(shū)設(shè)計(jì) 8