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1、專題升級訓(xùn)練26 解答題專項訓(xùn)練(立體幾何)
1．下圖是一個幾何體的直觀圖及它的三視圖(其中正(主)視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側(cè)(左)視圖為直角三角形，尺寸如圖所示)．
(1)求四棱錐P－ABCD的體積；
(2)若G為BC的中點，求證：AE⊥PG.
2．有一根長為3π cm，底面半徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？
3．如圖，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA1，CB1的中點，DE⊥平面CBB1.
(1)證明：DE∥平面ABC；
(2)求
2、四棱錐C－ABB1A1與圓柱OO1的體積比．
4．如圖所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=2，G是EF的中點．
(1)求證：平面AGC⊥平面BGC；
(2)求三棱錐A－GBC的體積．
5．已知正四面體ABCD(圖1)，沿AB，AC，AD剪開，展成的平面圖形正好是(圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點A1，A2，A3重合于四面體的頂點A)．
(1)證明：AB⊥CD；
(2)當A1D＝10，A1A2＝8時，求四面體ABCD的體積．
6．如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB
3、上一點，AB=4AN，M，D，S分別為PB，AB，BC的中點．
(1)求證：PA∥平面CDM；
(2)求證：SN⊥平面CDM.
7．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分別是AB，A1C的中點．
(1)求證：MN∥平面BCC1B1；
(2)求證：MN⊥平面A1B1C；
(3)求三棱錐M－A1B1C的體積．
8．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，G分別是AB，DF的中點．
(1)求證：CM⊥平面FDM；
(2)在線段AD上(含A，D端點)確定一點P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．
4、
參考答案
1．解：(1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，所以VP－ABCD＝PA·S正方形ABCD＝×4×4×4＝．
(2)證明：連接BP．
因為＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，
所以△EBA∽△BAP，所以∠PBA＝∠AEB，
所以∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，
所以PB⊥AE．
由題易證BC⊥平面APEB，
所以BC⊥AE．
又因為PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，
因為PG?平面PBC，所以AE⊥PG．
2．解：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的
5、鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度．AC＝＝5π(cm)，
故鐵絲的最短長度為5π cm．
3．(1)證明：連接EO，OA．
∵E，O分別為B1C，BC的中點，
∴EO∥BB1．
又DA∥BB1，且DA＝EO＝BB1．
∴四邊形AOED是平行四邊形，
即DE∥OA．又DE?平面ABC，AO?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
(2)解：由題意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥OA，
∴AO⊥平面CBB1，∴AO⊥BC，
∴AC＝AB．因BC是
6、底面圓O的直徑，得CA⊥AB．而AA1⊥CA，AA1∩AB＝A，∴CA⊥平面AA1B1B，即CA為四棱錐的高．
設(shè)圓柱高為h，底面半徑為r，
則V柱＝πr2h，V錐＝h(r)·(r)＝hr2，
∴V錐∶V柱＝．
4．(1)證明：∵G是矩形ABEF的邊EF的中點，
∴AG＝BG＝＝2，
從而得：AG2＋BG2＝AB2，∴AG⊥BG．
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，且BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF．∵AG?平面ABEF，∴BC⊥AG．
∵BC∩BG＝B，∴AG⊥平面BGC，
∵AG?平面AGC，
∴平面AGC⊥平面BGC．
(2)解：
7、由(1)得：BC⊥平面ABEF，
∴CB是三棱錐A－GBC的高，
而S△ABG＝×2×2＝4，
∴VA－GBC＝VC－ABG＝×4×4＝．
5．(1)證明：在四面體ABCD中，
∵?AB⊥平面ACD?AB⊥CD．
(2)解：在題圖2中作DE⊥A2A3于E，如右圖．
∵A1A2＝8，
∴DE＝8．
又∵A1D＝A3D＝10，
∴EA3＝6，A2A3＝10+6＝16．
又A2C＝A3C，∴A2C＝8．
即圖1中AC＝8，AD＝10，
由A1A2＝8，A1B＝A2B得題圖1中AB＝4．
∴S△ACD＝＝DE·A3C＝×8×8＝32．
又∵AB⊥面ACD，
∴VB－
8、ACD＝×32×4＝．
6．證明：(1)在三棱錐P－ABC中，因為M，D分別為PB，AB的中點，所以MD∥PA．
因為MD?平面CMD，PA?平面CMD，所以PA∥平面CMD．
(2)因為M，D分別為PB，AB的中點，所以MD∥PA．
因為PA⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC，
又SN?平面ABC，所以MD⊥SN．
在△ABC中，連接DS，因為D，S分別為AB，BC的中點，
所以DS∥AC且DS＝AC．
又AB⊥AC，所以∠ADS＝∠BAC＝90°．
因為AC＝AB，所以AC＝AD，
所以∠ADC＝45°，因此∠CDS＝45°．
又AB＝4AN，所以DN＝AD＝AC，
9、
即DN＝DS，故SN⊥CD．
又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CMD．
7．
(1)證明：連接BC1，AC1．由題知點N在AC1上且為AC1的中點．∵M是AB的中點，
∴MN∥BC1．
又∵MN?平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．
(2)證明：∵三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，
∴四邊形BCC1B1是正方形，
∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C．
連接A1M，由∠ABC＝∠MAA1＝90°，BM＝AM，BC＝AA1得△AMA1≌△BMC．∴A1M＝CM．又N是A1C的中點，∴MN⊥A1C．
∵B1C與A1C相交于點C，∴MN⊥平面A1B1C．
10、(3)解：由(2)知MN是三棱錐M－A1B1C的高．在直角△MNC中，MC＝，NC＝，∴MN＝．
又＝2，∴＝MN·＝．
8．
證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝a．
(1)∵FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，
∴FD⊥CM．
在矩形ABCD中，CD＝2a，AD＝a，M為AB中點，DM＝CM＝a，∴CM⊥DM．
∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，F(xiàn)D∩DM＝D，∴CM⊥平面FDM．
(2)點P在A點處．
證明：取DC中點S，連接AS，GS，GA，
∵G是DF的中點，∴GS∥FC．
又AS∥CM，AS∩AG＝A，
∴平面GSA∥平面FMC．而GA?平面GSA，
∴GP∥平面FMC．
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