2013年高中數學 暑期特獻 重要知識點 定積分

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1、2013年高中數學 暑期特獻 重要知識點 定積分 不定積分的概念 　 原函數的概念 ?? 已知函數f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數，如果存在函數F(x)，使得在該區(qū)間內的任一點都有 ???????????????????????????????? dF'(x)=f(x)dx， ?? 則在該區(qū)間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。 ?? 例：sinx是cosx的原函數。 ?? 關于原函數的問題 ?? 函數f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數，那末原函數一共有多少個呢？ ?? 我們可以明顯的看出來：若函數F(x)為

2、函數f(x)的原函數， ????????????????????????????? 即：F"(x)=f(x)， ?? 則函數族F (x)+C(C為任一個常數）中的任一個函數一定是f(x)的原函數， ?? 故：若函數f(x)有原函數，那末其原函數為無窮多個. 不定積分的概念 ?? 函數f(x)的全體原函數叫做函數f(x)的不定積分， ????????????????????????????? 記作。 ?? 由上面的定義我們可以知道：如果函數F(x)為函數f(x)的一個原函數，那末f(x)的不定積分就是函數族 ????????????????????????????? F(x)+C

3、. ????????????????????????????? 即:=F(x)+C ?? 例題：求：.? ?? 解答：由于，故= 不定積分的性質 ? 1、函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和； ??? 即： ? 2、求不定積分時，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來， ??? 即： 求不定積分的方法 　 換元法 ? 換元法（一）：設f(u)具有原函數F(u)，u=g(x)可導，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數. ?????????????? 即有換元公式: ?? 例題：求 ?? 解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們

4、要利用換元法。 ???????? 設u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此： ???????? ?? 換元法（二）：設x=g(t)是單調的，可導的函數，并且g'(t)≠0，又設f[g(t)]g'(t)具有原函數φ(t)， ??????????????? 則φ[g(x)]是f(x)的原函數.(其中g(x)是x=g(t)的反函數） ??????????????? 即有換元公式: ?? 例題：求 ?? 解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元. ???????? 設x=asint(-π/2

5、?????? ?? ? 關于換元法的問題 ? 不定積分的換元法是在復合函數求導法則的基礎上得來的，我們應根據具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數的不定積分，只有作大量的練習。 分部積分法 ?? 這種方法是利用兩個函數乘積的求導法則得來的。 ?? 設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導數.我們知道，兩個函數乘積的求導公式為： ????????????????????? (uv)'=u'v+uv'，移項，得 ?????????????????????? uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得： ?????????????

6、????????? ， ?? 這就是分部積分公式 ?? 例題：求 ?? 解答：這個積分用換元法不易得出結果，我們來利用分部積分法。 ??????????? 設u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得： ???????????? ? 關于分部積分法的問題 ? 在使用分部積分法時，應恰當的選取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點： ??????????(1)v要容易求得； ?????????? (2)容易積出。 幾種特殊類型函數的積分舉例 　 有理函數的積分舉例 ?? 有理函數是指兩個多項式的商所表示的函數，當分子的

7、最高項的次數大于分母最高項的次數時稱之為假分式， ?? 反之為真分式。 ? 在求有理函數的不定積分時，若有理函數為假分式應先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。 ?? 例題：求 ??解答： ??????? ? 關于有理函數積分的問題 ? 有理函數積分的具體方法請大家參照有關書籍，請諒。 三角函數的有理式的積分舉例 ?? 三角函數的有理式是指由三角函數和常數經過有限次四則運算所構成的函數。 ?? 例題：求 ?? 解答： ? 關于三角函數的有理式的積分的問題 ? 任何三角函數都可用正弦與余弦函數表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數的有理式的積分應用，在此我 ? 們不再舉例。 簡單無理函數的積分舉例 ?? 例題：求 ?? 解答：設，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：?????? ????????