2014屆高三數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)+難點）《 第51講 拋物線課時訓(xùn)練卷 理 新人教A版

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1、　[第51講　拋物線] (時間：45分鐘　分值：100分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．拋物線y2＝－8x的焦點坐標(biāo)是(　　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0) 2．以拋物線y2＝8x上的任意一點為圓心作圓與直線x＋2＝0相切，這些圓必過一定點，則這一定點的坐標(biāo)是(　　) A．(0，2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，4) 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在原點O，且過點P(2，4)，則該拋物線的方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8

2、x C．y2＝4x D．y2＝－4x 4．[2013·西安質(zhì)檢] 過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且垂直于對稱軸的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p的值為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 5．[2013·石家莊質(zhì)檢] 已知拋物線y2＝2px，直線l經(jīng)過其焦點且與x軸垂直，并交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝10，P為拋物線的準(zhǔn)線上一點，則△ABP的面積為(　　) A．20 B．25 C．30 D．50 6．[2013·黃岡模擬] 過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們到直線x＝－2的距離之和等于5

3、，則這樣的直線(　　) A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 7．[2013·廈門質(zhì)檢] 拋物線y2＝mx的焦點為F，點P(2，2)在此拋物線上，M為線段PF的中點，則點M到該拋物線準(zhǔn)線的距離為(　　) A．1 B. C．2 D. 8．[2013·四川卷] 已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)，若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 9．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)

4、線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 10．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0，2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則點B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 圖K51－1 11．[2013·陜西卷] 圖K51－1是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m，水位下降1 m后，水面寬________ m. 12．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線準(zhǔn)線的交點為B，點A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C，若＝，·＝12，則p的值為________． 13．[2013·重

5、慶卷] 過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________． 14．(10分)[2013·廣州調(diào)研] 設(shè)雙曲線C1的漸近線為y＝±x，焦點在x軸上且實軸長為1.若曲線C2上的點到雙曲線C1的兩個焦點的距離之和等于2，并且曲線C3：x2＝2py(p>0是常數(shù))的焦點F在曲線C2上． (1)求滿足條件的曲線C2和曲線C3的方程； (2)過點F的直線l交曲線C3于點A，B(A在y軸左側(cè))，若＝，求直線l的傾斜角． 15．(13分)[2013·泉州質(zhì)檢] 已知點F(1，0)，直線l：x＝－

6、1，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離． (1)試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程； (2)是否存在過N(4，2)的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點N所平分？ 16．(12分)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m，對于過點M(m，0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有·<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 課時作業(yè)(五十一) 【基礎(chǔ)熱身】 1．B　[解

7、析] 由y2＝－8x，易知焦點坐標(biāo)是，故選B. 2．B　[解析] 根據(jù)拋物線定義，圓心到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離． 3．A　[解析] 設(shè)所求拋物線方程為y2＝ax，依題意42＝2a?a＝8，故所求為y2＝8x. 4．C　[解析] 拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，對稱軸為x軸，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且垂直于對稱軸的直線為x＝，交拋物線于A，B兩點，線段AB的長為8，故2p＝8?p＝4. 【能力提升】 5．B　[解析] 拋物線y2＝2px，直線l經(jīng)過其焦點且與x軸垂直，并交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝2p，|AB|＝10，所以拋物線方程為y2＝10x，P為拋

8、物線的準(zhǔn)線上一點，P到直線AB的距離為p＝5，則△ABP的面積為×10×5＝25. 6．D　[解析] 設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為A，B兩點到直線x＝－2的距離之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5，所以x1＋x2＝1.由拋物線的定義得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而過拋物線焦點弦的最小值(當(dāng)弦AB⊥x軸時，是最小焦點弦)為4，所以不存在滿足條件的直線． 7．D　[解析] 由點P(2，2)在此拋物線y2＝mx上，得m＝4， ∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，焦點為F(1，0)． 又M為線段PF的中點，∴M的坐標(biāo)為， ∴M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的距離為. 8．B　[解

9、析] 設(shè)方程為y2＝2px，準(zhǔn)線為x＝－，而M點到準(zhǔn)線距離為3，可知－＝－1，即p＝2， 故拋物線方程為y2＝4x， 當(dāng)x＝2時，可得y0＝±2， ∴|OM|＝＝2. 9．B　[解析] 拋物線的焦點F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋， 將其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0， 所以＝p＝2，所以拋物線為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1，故選B. 10.　[解析] 拋物線的焦點坐標(biāo)為，點F，A的中點為，代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝，故點B的坐標(biāo)為，故點B到拋物線準(zhǔn)線的距離為＋＝. 11．2　[解析] 本小題主要考查了拋物線

10、的知識，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系求出拋物線的方程．以拱頂為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，由題意知拋物線過點(2，－2)，代入方程得p＝1，則拋物線的方程為x2＝－2y，當(dāng)水面下降1 m時，為y＝－3，代入拋物線方程得x＝，所以此時水面寬為2 m. 12．1　[解析] 設(shè)A，B，F(xiàn)，由＝得，＝(－p，yB)，由此得t2＝3p2，yB＝－t.設(shè)C，則＝，＝(0，2t)，所以·＝12得4t2＝12，故p＝1. 13.　[解析] 由拋物線方程可知p＝1，焦點F的坐標(biāo)為，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，所以x1

11、＋x2＝.設(shè)直線AB的方程為y＝k，代入拋物線y2＝2x，得k2＝2x，即k2x2－(k2＋2)x＋＝0，x1＋x2＝＝，所以k2＝24，將k2＝24代入k2x2－(k2＋2)x＋＝0，因為|AF|＜|BF|，所以解方程得x1＝，所以|AF|＝x1＋＝. 14．解：(1)雙曲線C1滿足：解得 則c1＝＝1，于是曲線C1的焦點F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)， 曲線C2是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，設(shè)其方程為＋＝1(a2>b2>0)， 由題意得即C2：＋y2＝1. 依題意，曲線C3：x2＝2py(p>0)的焦點為F(0，1)， 于是＝1，所以p＝2，曲線C3：x2＝4y. (2)由條

12、件可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k>0)， 由得x2－4kx－4＝0，Δ＝16(k2＋1)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 由＝得－3x1＝x2，代入x1＋x2＝4k，得x1＝－2k，x2＝6k，代入x1x2＝－4得k2＝，由于點A在y軸左側(cè)，所以x1＝－2k<0，即k>0，所以k＝，直線l的傾斜角為. 15．解：(1)因點P到點F的距離等于它到直線l的距離，所以點P的軌跡C是以F為焦點、直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x. (2)方法一：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

13、 依題意，得 ①當(dāng)直線m的斜率不存在時，不合題意． ②當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m的方程為y－2＝k(x－4)， 聯(lián)立方程組 消去y，得k2x2－(8k2－4k＋4)x＋(2－4k)2＝0，(*) ∴x1＋x2＝＝8，解得k＝1. 此時，方程(*)為x2－8x＋4＝0，其判別式大于零， ∴存在滿足題設(shè)的直線m， 且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0. 方法二：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依題意，得 易判斷直線m不可能垂直y軸， ∴設(shè)直線m的方程為x－4＝a(y－2)， 聯(lián)立方程組 消去x，得y

14、2－4ay＋8a－16＝0， ∵Δ＝16(a－1)2＋48>0， ∴直線與軌跡C必相交． 又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1. ∴存在滿足題設(shè)的直線m， 且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0. 方法三：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m.設(shè)直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依題意，得 ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在軌跡C上， ∴有將(1)－(2)，得y－y＝4(x1－x2)． 當(dāng)x1＝x2時，弦AB的中點不是N，不合題意， ∴＝＝1，即直線AB的斜率k＝1， 注意到點N在曲線C的張口內(nèi)(或：經(jīng)檢驗，直線m與軌跡C相交)， ∴存在滿足題設(shè)

15、的直線m， 且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0. 【難點突破】 16．解：(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：－x＝1(x>0)． 化簡得y2＝4x(x>0)． (2)設(shè)過點M(m，0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)>0， 于是① 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， ·<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.② 又x＝，于是不等式②等價于·＋y1y2－＋1<0 ?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0.③ 由①式，不等式③等價于m2－6m＋1<4t2.④ 對任意實數(shù)t，4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1<0，即3－2