山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)2013屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 知識點(diǎn)17 與二次函數(shù)有關(guān)幾何方面應(yīng)用

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1、知識點(diǎn)17 與二次函數(shù)有關(guān)幾何方面應(yīng)用 一、選擇題 1.（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 2. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 3. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 4. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 5. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 6. （2011·××省××市X模，題號，分值）

2、×××××××××××××××× 【答案】 7. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 8. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 9. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 10．（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 11.（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 12. （2011·××省××市X模，題號，分值

3、）×××××××××××××××× 【答案】 13. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 14. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 15. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 16. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 17. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 18. （2011·××省××市X模

4、，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 19. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 20．（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 二、填空題 第1題圖 1.（2011·福建省泉州市晉江初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查，17，4）如圖，拋物線:的對稱軸為直線,將拋物線向上平移5個單位長度得到拋物線,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；圖中的兩條拋物線、直 線與軸所圍成的圖形(圖中陰影部分)的面積為 . 【答案】 ,

5、 2. （2011·江蘇省鹽城市高中階段教育招生統(tǒng)一考試仿真卷，18，3）如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y=x2-2上運(yùn)動，當(dāng)⊙P與軸相切時，圓心P的坐標(biāo)為____ ______。 第2題圖 P y x O 【答案】（0，-2）（-2，2）（2，2）； 3. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 4. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 5. （2011·××省××市X模，題號，分值）××××××××××××

6、×××× 【答案】 6. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 7. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 8. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 9. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 10．（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 11.（2011·××省××市X模，題號，分值）××××××××××××

7、×××× 【答案】 12. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 13. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 14. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 15. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 16. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 17. （2011·××省××市X模，題號，分值）××××××

8、×××××××××× 【答案】 18. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 19. （2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 20．（2011·××省××市X模，題號，分值）×××××××××××××××× 【答案】 三、解答題 1.（2011·廣東省清遠(yuǎn)市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試一模，25，9）如圖1，拋物線過點(diǎn)A（，0）、B（，0）、C（0，），、是方程 的兩根，且，點(diǎn)是此拋物線的頂點(diǎn). （1）求這條拋物線的表達(dá)式； （2）填空：（1）問題中拋物線先向上平移3個單位

9、，再向右平移2個單位，得到的拋物線是____________； （3）在第一象限內(nèi)，問題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)，使. A B C D O 圖1 【答案】(1)設(shè)此拋物線的表達(dá)式為 A B C D O 圖1 E 由得 ∵，∴， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0） ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，），∴

10、 又∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)， ∴ 解得：， ∴設(shè)此拋物線的表達(dá)式為 （2）y=(x-3)２-6 或y=x2-6x+3 （3）存在 由得 點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，） 過點(diǎn)作⊥軸，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，） ∵

11、 又∵ ∴ ∴ ∵點(diǎn)在拋物線上，∴ 解得：，（舍去） ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2） 2. （2011·河南省中招考試說明解密預(yù)測試卷六，23，11）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)是A(m，0)、B(n，0)，與y軸的交點(diǎn)是C（0，2）． （1）求m，n的值； （2）設(shè)P(x，y)(0＜ x ＜n)是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q． ①線段PQ的長度是否存在最大值？如果有，最大值是多少？如果不存在，請說明理

12、由. y A O B P x C Q ②當(dāng)以O(shè)、A、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【答案】（1）∵拋物線過C(0,2) ∴c=2 ……………………………1分 ∵拋物線過A(m，0)、B(n，0) ∴ m ,n分別是一元二次方程的兩根 y A O B P x C Q 圖1 解，得 ∴ （2）①設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b． 則有 解得 ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋2． ∵0＜ x ＜6 ∴PQ＝y(tǒng)Q

13、－yP＝(－x＋2)－(x 2－x＋2) ＝－x 2＋x ＝－(x－3)2＋1 ∴當(dāng)x=3時，線段PQ的長度取得最大值，最大值為1． ②當(dāng)∠OAQ＝90°時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴P1(3，0)． 當(dāng)∠QOA＝90°時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合， ∴x＝0（不合題意）． y A O B P x C Q 圖2 D 當(dāng)∠OQA＝90°時， 設(shè)PQ與軸交于點(diǎn)D，如圖2． ∵∠QOD＋∠OQD＝90°， ∠OQD＋∠AQD＝90°． ∴∠QOD＝∠AQD． 又∵∠ODQ＝∠QDA＝90°， ∴△ODQ∽△QDA． ∴＝，即DQ 2＝OD·

14、DA． 3. （2011·河南中招考試說明解密預(yù)測試卷四，23，11）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交于點(diǎn)B、C，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，并與軸交于另一點(diǎn)A. （1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)P(x,y)是（1）所得拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸與點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N. y B x O C N P A M ①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi).試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值，若不存在，請說明理由； ②求以BC為底邊的等腰三角形△PBC的面積. 【答案】（1）∵B(4,0) C(0,4) 點(diǎn)B、C在

15、拋物線上， ∴ 解得：b=3, c=4, ∴所求函數(shù)關(guān)系式為 （2）①∵點(diǎn)P（x , y）在拋物線上，且PNx軸， ∴設(shè)點(diǎn)P的左邊為（，） 同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x , -x+4 ） 又點(diǎn)P在第一象限， ∴PN=PM-NM = ()-(-x+4) = = ∴當(dāng)x=2時，線段PN的長度的最大值為4 ②以BC為底邊的等腰△PBC則PB=PC，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC ∴

16、BC的中垂線也是的平分線，交BC于點(diǎn)Q ∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a , a） 又點(diǎn)P在拋物線上， 于是有 ∴，解得 ， ∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為： 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，點(diǎn)P在第一象限，OP= ，OQ= ∴PQ=,S= 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，點(diǎn)P在第三象限， OP=， ∴PQ=, S= ∴等腰△PBC的面積為. 4. （2011·河南中招考試說明解密預(yù)測試卷五，23，12）如圖，函數(shù)L1:ｙ＝ａ（ｘ-2）２+4　(x>0)的圖象頂點(diǎn)為M，過點(diǎn)B(4,0),將圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到函數(shù)L2的圖象，頂點(diǎn)為N,與x軸交于點(diǎn)A. （1）分別求出L1、L2的函數(shù)解析

17、式. （2）P為拋物線L1上一動點(diǎn),連接PO交L2于Q,連接PN、QN、PM、QM.求：平行四邊形 PMQN的面積S與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x（0﹤x4）間關(guān)系式 (3)求出平行四邊形 PMQN的面積S的最大值，及此時P點(diǎn)的坐標(biāo). A O B M P Q N x y 【答案】（1）把B（4,0）代入y=a(x-2)2+4得 a=-1 拋物線L1:y=-x2+4x 拋物線L2:y=x2+4x (2)根據(jù)P點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論： 1.若P 點(diǎn)在拋物線的AM段（2

18、4x2－8x 2.若P 點(diǎn)在拋物線的OM段（0

19、∥OB交BD于F，連接BE，設(shè)OE的長為m，△BEF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式； x y A O B F E D ④ 在③的基礎(chǔ)上，試說明S是否存在最大值；若存在，請求出S的最大值，并求出此時E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【答案】①；②y=x2＋3x; ③S=－m2＋m; ④存在，Smax= , . 6. （2011·福建省南平市九年級適應(yīng)性檢測，26，14）如圖，已知A（2，－１）為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（4 , 0）． （1) 求該拋物線的解析式； （2）設(shè)點(diǎn)D為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)E作直

20、線y=－2 的垂線，垂足為N． ① 探索、猜想線段EN與ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； ② 拋物線上是否有點(diǎn)E使△EDN為等邊三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【提示：拋物線y=ax2+bx+c （a0）的對稱軸是x=－， 頂點(diǎn)坐標(biāo)是】 【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=（x-h）2+k ∵拋物線的頂點(diǎn)A（2，-1）且過點(diǎn)B（4，0） ∴y=a（x-2）2 -1，且0=4a-1，a= ∴拋物線的解析式為y==… （2）

21、猜想：DE=NE 證明：易得D（2，0） 當(dāng)E與B重合時，DE=2,EN=2,∴DE=EN 當(dāng)E與O重合時，DE=2,EN=2,∴DE=EN 當(dāng)E與A重合時，DE=1,EN=1,∴DE=EN （上述三種情況未討論或討論不完整，扣1分） 當(dāng)點(diǎn)E不與B、O、A重合時， 設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為，EN交x軸與點(diǎn)F 在Rt△DEF中， DE2=

22、DF2+EF2=（x－２）2+y2 又∵NE=y＋２, ∴NE2=y2＋4y＋4=y2++4 =y2＋x2－4x+4=(x－2) 2+y2 ∴DE=NE 綜上所述，DE=NE ⑶答：存在 當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時△EDN為直角三角形，點(diǎn)E在x軸下方時△EDN為鈍角三角形，所以只當(dāng)在E在x軸上方時△EDN才可能為等邊三角形（注意：未作上述說明不扣分?。? 理由一：若△EDN為等邊三

23、角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸， ∴EN=FN=2， ∴y= x2-x=2 解得， x=22 ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2＋2，2）和（2—2，2） 理由二：若△EDN為等邊三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸， ∴∠EFD=30°，EN=FN=2 在Rt△DEF中，tan∠EDF=， ∴DF===2 ∵DA是拋物線的對稱軸，且D（2,0） ∴根據(jù)拋物線的對稱性得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2＋2，2）和（2—2，2） 7. （2011·廣東省汕頭市中考模擬考試數(shù)學(xué)試卷，24，12）如圖的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），交軸于點(diǎn)C，以O(shè)C、OB為兩邊作矩

24、形OBDC，CD交拋物線于G． （1）求OC和OB的長； （2）拋物線的對稱軸在邊OB（不包括O、B兩點(diǎn)）上作平行移動，交軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P．設(shè)OE =m，PM =h，求h與m的函數(shù)關(guān)系式， 并求出PM的最大值； M C B y O D P x A E F l （第7題圖） G （3）連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）對于，

25、M C B y O D P x A E l （第7題圖） F 當(dāng)=0時，=4；當(dāng)=0時，，解得． ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）． ∴OC=4， OB=3． （2）∵拋物線的對稱軸⊥軸，在邊PE∥，∴PE⊥軸． ∵OE =m，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m． ∵點(diǎn)P在拋物線上， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為． ∴PE=． 在Rt△BOC中，tan∠OBC=． 在Rt△BME中， ME=BE tan∠OBC=（OB－OE）·tan∠OBC=（3－m）=4－m． ∴PM = PE－ME =－4+m=． ∴ h與m的函數(shù)關(guān)系式

26、為h=（0

27、秒. （1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；（用含x的代數(shù)式表示） （2）試求 ⊿MPA面積的最大值，并求此時x的值。 （3）請你探索：當(dāng)x為何值時，⊿MPA是一個等腰三角形？ 你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出你的研究成果。 【答案】（１）(3—x , x) (2)設(shè)⊿MPA的面積為S，在⊿MPA中，MA=3—x，MA邊上的高為x，其中，0≤x≤3. ∴S=（3—x）×x =(—x2+3x) = — (x—)2+ ∴S的最大值為 此時x =. (3)延長ＮＰ交x軸于Ｑ，則有ＰＱ⊥ＯＡ ①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ

28、＝ＱＡ＝x. ∴3x=3, ∴x=1 ②若ＭＰ＝ＭＡ，則ＭＱ＝3—2x，ＰＱ=x，ＰＭ＝ＭＡ＝３—x 在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(３—x) 2=(3—2x) 2+ (x) 2 ∴x= ③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝x，ＡＭ＝３—x ∴x=３—x ∴x= 綜上所述，x=1，或x=，或x=。 9. （2011·廣東省實(shí)驗中學(xué)初三綜合測試（一），25，14）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點(diǎn)．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)矩形OA

29、CB與△PMN重疊部分的面積為． （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)． 第9題 （2）當(dāng)值由小到大變化時，求與的函數(shù)關(guān)系式． （3）若在直線上存在點(diǎn)，使 等于，請直接寫出的取值范圍． （4）在值的變化過程中，若為等腰三角形， 請直接寫出所有符合條件的值． 【答案】（1）作于，則． 圖① ，． （2）當(dāng)時，如圖①，． 當(dāng)時，如圖②， 設(shè)交于．． ． 圖② 即．或． 當(dāng)時，如圖③， 設(shè)交于．． ，或． 當(dāng)時，如圖④，． （此問不畫圖

30、不扣分） 圖③ 圖④ （3）． （提示：以為直徑作圓，當(dāng)直線與此圓相切時，．） （4）的值為，，． 圖⑤ （提示：當(dāng)時，．當(dāng)時，（舍），．當(dāng)時，．） 10．（2011·海南省初中畢業(yè)生模擬考試，24，14）如圖14，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3。 （1）求拋物線的解析式； （2）作Rt△OBC的高OD，延長OD與拋物線在 第一象限內(nèi)交于點(diǎn)E，求

31、點(diǎn)E的坐標(biāo)； （3）①在x軸上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P， 使四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； ②在拋物線的對稱軸上，是否存在上點(diǎn)Q，使得 △BEQ的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由。 y x 圖14 A O B C E D 【答案】（1）∵OA＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0）. ∵OC＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）. ∵把（－2，0），（0，3）代入，得 0＝－2－2b＋c b＝ 解得 3＝c

32、 c＝3 ∴拋物線解析式為。 （2）把y＝0代入， 解得x1＝－2, x2＝3 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴OB＝OC＝3 ∵OD⊥BC，∴OD平分∠BOC ∴OE所在的直線為y＝x x 圖14－1 A O B C E D P y＝x x1＝2， x2＝－3 解方程組 得 y y1＝2， y2＝－3 ∵點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）。 （3）存在，如圖14－1，過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線

33、 交于另一點(diǎn)P，連接BE、PO， 把y＝2代入， 解得x1＝－1, x2＝2 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，2） ∵PE∥OB，且PE＝OB＝3 x 圖14－2 A O B C E D Q ∴四邊形OBEP是平行四邊形 ∴在x軸上方的拋物線上，存在一點(diǎn)P（－1，2）， 使得四邊形OBEP是平行四邊形。 （4）存在，如圖14－2，設(shè)Q是拋物線對稱軸上的 一點(diǎn)，連接QA、QB、QE、BE ∵QA＝QB， ∴△BEQ的周長等于BE＋QA＋QE 又∵BE的長是定值 ∴A、Q、E在同一直線上時，△BEQ的周長最小， 由A（－2，0）、E（2，2）可得直線AE的

34、解析式為 ∵拋物線的對稱軸是x＝ ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，） 所以，在拋物線的對稱軸上，存在點(diǎn)Q（，），使得△BEQ的周長最小。 11.（2011·河南省中招考試猜題試卷六，23，11）如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(-，0)、B(2，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C； (1) 求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀； (2) 在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且以A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)； (3) 在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

35、 y A B C O x 【答案】(1) 根據(jù)題意，將A(-，0)，B(2，0)代入y=-x2+ax+b中，得，解這個方程，得a=，b=1， ∴該拋物線的解析式為y=-x2+x+1，當(dāng)x=0時，y=1， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)， ∴在△AOC中，AC===. 在△BOC中，BC===. AB=OA+OB=+2=， ∵===， ∴△ABC是直角三角形. (2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，1). (3) 存在.由(1)知，AC^BC.

36、 ①若以BC為底邊，則BC//AP，如圖1所示，可求得直線BC的解析式為y=-x+1，直線AP可以看作是由直線BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為y=-x+b，把點(diǎn)A(-，0)代入直線AP的解析式，求得b=-， y A B C O x P 圖 1 y A B C O P x 圖2 ∴直線AP的解析式為y=-x-. ∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2=- (舍去). 當(dāng)x=時，y=-，∴點(diǎn)P(，-).

37、 ②若以AC為底邊，則BP//AC，如圖2所示. 可求得直線AC的解析式為y=2x+1.直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b，把點(diǎn)B(2，0)代入直線BP的解析式，求得b=-4， ∴直線BP的解析式為y=2x-4.∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1=-，x2=2(舍去). 當(dāng)x=-時，y=-9，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，-9). 綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為(，-)或(-，-9). 12. （2011·

38、河南中招考試說明解密預(yù)測試卷四，23，11）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交于點(diǎn)B、C，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，并與軸交于另一點(diǎn)A. （1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)P(x,y)是（1）所得拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸與點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N. y B x O C N P A M ①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi).試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值，若不存在，請說明理由； ②求以BC為底邊的等腰三角形△PBC的面積. 【答案】（1）∵B(4,0) C(0,4) 點(diǎn)B、

39、C在拋物線上， ∴ 解得：b=3, c=4, ∴所求函數(shù)關(guān)系式為 （2）①∵點(diǎn)P（x , y）在拋物線上，且PNx軸， ∴設(shè)點(diǎn)P的左邊為（，） 同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x , -x+4 ） 又點(diǎn)P在第一象限， ∴PN=PM-NM = ()-(-x+4) = = ∴當(dāng)x=2時，線段PN的長度的最大值為4 ②以BC為底邊的等腰△PBC則PB=PC，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC ∴

40、BC的中垂線也是的平分線，交BC于點(diǎn)Q ∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a , a） 又點(diǎn)P在拋物線上， 于是有 ∴，解得 ， ∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為： 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，點(diǎn)P在第一象限，OP= ，OQ= ∴PQ=,S= 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，點(diǎn)P在第三象限， OP=， ∴PQ=, S= ∴等腰△PBC的面積為 13. （2011·河南省河南中招押題試卷二，23，12）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形的邊落在軸的正半軸上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形面積．將正方形沿軸的正半軸平行移動，設(shè)它與直角梯形的重疊部分

41、面積為． （1）求正方形的邊長； （2）①正方形平行移動過程中，通過操作、觀察，試判斷（＞0）的變化情況是 ； ②當(dāng)正方形頂點(diǎn)移動到點(diǎn)時，求的值； （3）設(shè)正方形的頂點(diǎn)向右移動的距離為，求重疊部分面積與的函數(shù)關(guān)系式． A B C O D E F 【答案】（1）∵， A B C O D E F M N （如圖①） 設(shè)正方形的邊長為， ∴，或（舍去）． （2）先增大而減少 ． （3）①當(dāng)0≤＜4時，重疊部分為三角形，如圖①． 可得△∽△，

42、A B C O D E F （如圖②） ∴，=． ∴． ②當(dāng)4≤＜6時，重疊部分為直角梯形，如圖②． A B C O D E F M （如圖③） ． ③當(dāng)6≤＜8時，重疊部分為五邊形，如圖③． 可得，，． A O B C D E F M （如圖④） =． ④當(dāng)8≤＜10時，重疊部分為五邊形，如圖④． =． A B C O E F ⑤當(dāng)10≤≤14時，重疊部分為矩形，如圖⑤

43、． ． O （如圖⑤） 14. （2011·河南省中招押題試卷三，22，10）如圖,等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD，AD=2,BC=4.點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)以每秒2個單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動；同時點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動.過點(diǎn)N作NP⊥BC,垂足為P，NP＝2.連接AC交NP于Q，連接MQ. 若點(diǎn)N運(yùn)動時間為t秒. 求：（1）請用含t的代數(shù)式表示PC； （2）求△CMQ的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時，S有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）如圖,過A作AE垂直x軸于E，則由等腰梯

44、形的對稱性可知：BE= 當(dāng)動點(diǎn)N運(yùn)動t秒時，PC＝1+t. （2）∵AD∥BC，NP⊥BC ∴∠ANQ=∠CPQ=90°又∵∠AQN=∠CQP ∴△AQN∽△CQP ∴ ∴ ∴PQ= ∵點(diǎn)M以每秒2個單位運(yùn)動，∴BM＝2t，CM＝4—2t S△CMQ＝ ＝ 當(dāng)t＝2時，M運(yùn)動到C點(diǎn)，△CMQ不存在，∴t2 ∴t的取值范圍是0≤t＜2 S△CMQ＝. 當(dāng)S有最大值，最大值是. 15. （2011·

45、河南省中招押題試卷三，23，11）如圖所示, 在平面直角坐標(biāo)系xoy中, 矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm, 點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上, 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B, 且18a+c=0. (1)求拋物線的解析式. (2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點(diǎn)B移動, 同時點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C移動.①移動開始后第t秒時, 設(shè)△PBQ的面積為S, 試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式, 并寫出t的取值范圍. x y ②當(dāng)S取得最大值時, 在拋物線上是否存在點(diǎn)R, 使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行

46、四邊形? 如果存在, 求出R點(diǎn)的坐標(biāo), 如果不存在, 請說明理由. 【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式為， 由題意知點(diǎn)A（0，－12），所以， 又18a+c=0， ∵AB∥CD,且AB=6, ∴拋物線的對稱軸是 ∴ 所以拋物線的解析式為 （2）①， ②當(dāng)時，S取最大值為9.這時點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，－12），點(diǎn)Q坐標(biāo)（6，－6） 若以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況： （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB下方時，點(diǎn)R的坐標(biāo)（3，－18）， 將（3，－18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在， 點(diǎn)R的坐標(biāo)

47、就是（3，－18）； （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的左邊，且在PB上方時，點(diǎn)R的坐標(biāo)（3，－6）， 將（3，－6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件. （Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)R在BQ的右邊，且在PB上方時，點(diǎn)R的坐標(biāo)（9，－6）， 將（9，－6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點(diǎn)R不滿足條件 綜上所述，點(diǎn)R坐標(biāo)為（3，－18） 16. （2011·河南省中招押題試卷一，23，11）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角

48、三角板放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)，點(diǎn)，如圖所示：拋物線經(jīng)過點(diǎn)． （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式； B A C x y o （3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)（點(diǎn)除外），使仍然是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）過點(diǎn)作軸，垂足為， B A D C O M N x y P1 P2 ； 又， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為； （2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則得到， 解得，所以拋物線的解析式為； （3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得仍然是以為直角邊的等腰直

49、角三角形： 若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)； 則延長至點(diǎn)，使得，得到等腰直角三角形， 過點(diǎn)作軸， ； ，可求得點(diǎn)； 若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)； 則過點(diǎn)作，且使得，得到等腰直角三角形， 過點(diǎn)作軸，同理可證； ，可求得點(diǎn)； 經(jīng)檢驗，點(diǎn)與點(diǎn)都在拋物線上． 17. （2011·河南省新密市九年級教學(xué)質(zhì)量檢測試卷，23，10）閱讀材料： 如圖12-1，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等

50、于水平寬與鉛垂高乘積的一半. 解答下列問題： 如圖12-2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(-1,-4),交x軸于點(diǎn)A(-3,0)，交y軸于點(diǎn)B. (1)求拋物線和直線AB的解析式； (2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時，求△CAB的鉛垂高CD及； (3)是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. D B C O A y x 【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式為=a（x+1-4. 把A（-3，0）代入解析式，解得a=1.

51、 ∴拋物線的表達(dá)式為=（x+1-4=+2x-4 ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）. 設(shè)直線AB的表達(dá)式為把A（-3，0），B(0,-3)待入，得 解得k=-1，b=-3. ∴直線AB的表達(dá)式為 （2）因為點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，-4），∴當(dāng)x=-1時，. ∴CD=-2-(-4)=2. . (3) 假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-3

52、. 18. （2011·湖北省黃岡中學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題，25，14）如圖，已知拋物線y=a(x－1)2＋(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連結(jié)BC． (1)求該拋物線的解析式； (2)若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s)．問：當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC=OB，動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿O→C和B→O運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一

53、個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)它們運(yùn)動的時間為t(s)，連接PQ，當(dāng)t為何值時，四邊形BCPQ的面積最小?并求出最小值及此時PQ的長． 【答案】(1)∵拋物線y=a(x－1)2＋(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0）， ∴二次函數(shù)的解析式為： ． (2)∵D為拋物線的頂點(diǎn)，∴D（1，），過D作DN⊥OB于N，則DN=． AN=3，， ∴∠DAO=60°． ∵OM//AD， ①當(dāng)AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形， ∴OP=6，∴t=6(s)． ②當(dāng)DP⊥OM時，四邊形DAOP是直角梯形， 過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1． （如果沒求出∠DAO=60°可由R

54、t△OHA∽Rt△DNA求AH=1） ∴OP=DH=5，t=5(s)． ③當(dāng)PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形， ∴OP=AD－2AH=6－2=4，∴t=4(s)． 綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形． (3)由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形， 則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，∴OQ=6－2t(0

55、點(diǎn)且CD＝4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，頂點(diǎn) 為N﹒ （1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式； （2）直線NC與x軸交于點(diǎn)E，試判斷直線CN與⊙M的位置關(guān)系并說明理由； （3）設(shè)點(diǎn)Q是（1）中所求拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，試問在（1）中所求拋物線上是否存在點(diǎn)P使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由﹒ E C x B O A D y ● M N 【答案】（１）連接MC，∵直徑AB⊥CD ，∴OC=OD=2，又∵M(jìn)C=AB

56、=2.5 在Rt⊿OMC中，OM2=MC2－OC2 ，∴OM=1.5，OA=1，OB=4， 則有A（－1，0），B（4，0），C（0，－2） a-b+c=0， 16a+4b+c=0， C=-2. 又由題意得y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)，點(diǎn)B(4,0)和C(0,－2)三點(diǎn), 解這個方程組得 a=,b=－,c=－2. 所求拋物線解析式為 y=x2－x－2　. 　　　　　　　　　　　　　　　　 （２）配方得 y= (x－)2－. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,－). 　　　　

57、 　 作對稱軸MN，過點(diǎn)N作NH⊥軸于H. 在△CMN和△CHN中，CN2+CM2=（）2+（－2）2+（）2=，MN2=（）2= ∴CN2+CM2= MN2， ∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900， 又∴MC是半徑，∴直線CN是⊙M的切線 . （３）存在以Ａ、Ｂ、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）且在（１）中所求拋物線上， 又由題意可知Q點(diǎn)在對稱軸直線Ｘ＝上， ∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為. 分以下三種情況討論： ① 當(dāng)AB為平行四邊形的邊,點(diǎn)P在對稱軸

58、右側(cè)時，QP=x－ 在平行四邊形ABPQ中, AB=QP=5, ∴x－=5,∴x= 此時y=x2－x－2= ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)　　　　　　 ②當(dāng)AB為平行四邊形邊,點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)時，PQ=－x 在平行四邊形ABMN中,AB=PQ =5 ∴－x=5 ∴x=－ 此時y=x2－x－2= ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－,)　　　　　　 ③當(dāng)AB為對角線時, 點(diǎn)P與拋物線頂點(diǎn)重合 此時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,－)　　　　　　 綜上所述點(diǎn)所求P的坐標(biāo)為(,)或(－,)或(,－)　 20．（2011·湖北省

59、棗陽市中考適應(yīng)性考試，26，12）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)A，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時間為（0＜＜5）秒. （1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）以O(shè)C為直徑的⊙O′與BC交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O′相切？請說明理由. （3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動時間和點(diǎn)P相同. ①記△BPQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S最大，最大值是多

60、少？ ②是否存在△NCQ為直角三角形的情形，若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由. O M C B A x y P Q N O′ ? O C B A x y 備用圖 O′ ? 圖 M 【答案】（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12. ∴C(0,9)，B(12,0). 又拋物線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，∴解得 ∴. 于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12. ∴A(-3,0). （2）當(dāng)t=3秒時，PM與⊙O′相切.連接OM. ∵OC是⊙O′的直徑，∴∠OMC=90

61、°. ∴∠OMB=90°. ∵O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切線. 而PM是⊙O′的切線，∴PM=PO. ∴∠POM=∠PMO. 又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM. ∴PM=PB. ∴PO=PB=OB=6. ∴PA=OA+PO=3+6=9.此時t=3（秒）. ∴當(dāng)t=3秒，PM與⊙O′相切. （3）①過點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D. ∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO. ∴=. 又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=. ∴S△BPQ=BP?QD= .即S=. S=.故當(dāng)時，S最大，

62、最大值為. ②存在△NCQ為直角三角形的情形. ∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO. ∴△NCQ欲為直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況. 當(dāng)∠NQC=90°時，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO， ∴△NCQ∽△CAO. ∴=.∴=，解得. 當(dāng)∠QNC=90°時，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO， ∴△QCN∽△CAO. ∴=.∴=，解得. 綜上，存在△NCQ為直角三角形的情形，t的值為和. 21.（2011·湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)模擬試題，25，10）如圖4—13，對稱軸為直線x

63、=一的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-6，0)和點(diǎn)B(0，4)． (1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)E(x，y)是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求□OEAF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； ①當(dāng)□OEAF的面積為24時，請判斷□OEAF是否為菱形? ②是否存在點(diǎn)E，使□OEAF為正方形?若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+)2+k(k≠0)， 則依題意得： a+k=0

64、 a+k=4 解之得： a=， k=- 即：y=(x+) 2-，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-，-)． (2) ∵點(diǎn)E(x，y)在拋物線上，且位于第三象限． ∴S=2S△OAE=2××0A×(-y) =-6y =-4(x+)2+25(-6

65、-4(x+)2+25=24， 解之得：x1=-3,x2=-4 ∴點(diǎn)E為(-3，-4)或(-4，-4) 當(dāng)點(diǎn)E為(-3，-4)時，滿足OE=AE，故□OEAF是菱形；當(dāng)點(diǎn)E為(-4，-4)時，不滿足OE=AE，故□OEAF不是菱形． ②當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時，□OEAF是正方形，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-3，-3)，而點(diǎn)E不在拋物線上，故不存在點(diǎn)E，使□OEAF為正方形。 22. （2011·湖南省長沙市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷（二），23，9）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中

66、，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是9，拋物線與x軸交于O、M兩點(diǎn)，OM=6；矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點(diǎn)A、D在拋物線上。 （1）P點(diǎn)的坐標(biāo) 、M點(diǎn)的坐標(biāo) ； （2）求拋物線的解析式； （3）設(shè)矩形ABCD的周長為，，求與的關(guān)系式，并求的最大值； 【答案】（1）P（3，9） M（0，6） （2） ?。?） ，當(dāng)x=2時，最大值為20 23. （2011·湖南省長沙市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷二，25，,10）如圖：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AB=20cm，CD=8cm。等邊三角形PMN的邊長MN=20cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動，等邊三角形PMN沿AB所在的直線勻速向右移動，直到點(diǎn)M與點(diǎn)B重合為止。 （1）等邊三角形PMN在整個運(yùn)動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由 形變?yōu)? 形， 再變?yōu)? 形； （2）設(shè)等邊三角形移動距離x（cm）時，等邊三角形PMN與等腰梯形AB