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1、九年級數(shù)學復習六——一元二次方程的解法、根的判別式
一、中考要求:
1. 理解一元二次方程的概念,掌握它們的解法;
2.掌握一元二次方程根的判別式,并能運用它解決相應問題;
3.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系;
二、知識要點:
1.只含有 個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式是 。
(1)從概念分析應具備三個條件:“一元”、“二次”、“整式”方程
(2)從形式上看,應先將一個方程進行整理,看是否符合一般形式。其中尤其注意的條件,若不能確定時,則需分類討論
2、:當時,它是一元二次方程;當,時,它是一元一次方程。
3.一元二次方程的解法有四種:直接開平方法,配方法,求根公式法和因式分解法。
4.一元二次方程的根的判別式△= 。當△>0時,方程 實數(shù)根;當△=0時,方程 實數(shù)根;當△<0時,方程 實數(shù)根。
5.判別式性質(zhì)的應用
(1)不解方程判斷方程根的情況;
(2)求方程中字母系數(shù)的值、范圍或者相互關(guān)系。
6. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:若關(guān)于x的一元二次方程有兩根分別為,,那么 , .
7.一元二次方程常與分式、根式、
3、一元一次不等式(組)、函數(shù)等知識相聯(lián)系,解決綜合性問題。
基礎(chǔ)練習:
1.方程的二次項系數(shù)是 ,一次項系數(shù)是 ,常數(shù)項是 .
2.關(guān)于x的一元二次方程中,則一次項系數(shù)是 .
3.一元二次方程的根是 .
4.某地2005年外貿(mào)收入為2.5億元,2007年外貿(mào)收入達到了4億元,若平均每年的增長率為x,則可以列出方程為 .
5. 關(guān)于的一元二次方程的一個根為1,則實數(shù)=( )
A. B.或 C. D.
6.一元二次方程的根的情況為( )
4、A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根
7. 若方程kx2-6x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是 .
8.設(shè)x1、x2是方程3x2+4x-5=0的兩根,則
9.關(guān)于x的方程2x2+(m2-9)x+m+1=0,當m= 時,兩根互為倒數(shù);
當m= 時,兩根互為相反數(shù).
10.若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一個根,則a= ,該方程的另一個根x2 = .
三、典例剖析:
例1.解方程:(1); (2); (3)
5、.
(4); (5) 用配方法解方程2x2+7x+3=0。
例2. 已知一元二次方程有一個根為零,求的值.
例3. 當為何值時,方程,(1)兩根相等;(2)有一根為0;(3)兩根為倒數(shù).
例4. 關(guān)于x的方程(a -5)x2-4x-1=0有實數(shù)根,則a滿足
例5. 已知a、b、c分別是△ABC的三邊,其中a=1,c=4,且關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根,試判斷△ABC的形狀。
例6.已知關(guān)于的函數(shù)(為常數(shù))(1)若函數(shù)的圖象與軸恰有一個交點,求的值; (2)若函數(shù)的圖象是拋物線
6、,且頂點始終在軸上方,求的取值范圍.
四、課后練習:
1.方程 (5x-2) (x-7)=9 (x-7)的解是_________.
2. 如果非零實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根為
3.下列方程中是一元二次方程的有 (填序號)
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0
4.菱形ABCD的一條對角線長為6,邊AB的長是方程 的一個根,則菱形ABCD的周長為
7、 .
5.當__________時,關(guān)于的方程有實數(shù)根.
6.已知一直角三角形的三邊為a、b、c,∠B=90°,那么關(guān)于x的方程的根的情況為 ( )
A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.沒有實數(shù)根 D.無法確定
7.已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根,那么m的最大整數(shù)是( )
A.2 B.-1 C.0 D.1
8.如果關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根,那么k的最大整數(shù)值是 。
9.一元二次方程的一個根為,則另一個根為 .
10
8、.已知和的半徑分別是一元二次方程的兩根,且,則和的位置關(guān)系是 .
11.若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則的取值范圍是
12. 用配方法解方程時,原方程應變形為( )
A. B. C. D.
13.函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示, 那么關(guān)于x 的方程ax2+bx+c-2=0的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個異號實數(shù)根
C.有兩個相等實數(shù)根 D.無實數(shù)根
14.設(shè)⊙O的半徑為2,圓心O到直線l的距離OP=m,且m使得關(guān)于x的方程 有實數(shù)根,則直線l與⊙O的位置關(guān)系
9、為
15. 關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根 D.無法確定
16. 兩圓的圓心距為3,兩圓的半徑分別是方程的兩個根,則兩圓的位置關(guān)系是 。
17.若n()是關(guān)于x的方程的根,則m+n的值為
18. 已知:關(guān)于x的二次三項式是完全平方式,求a的值。
19.設(shè)是方程的兩個實數(shù)根,求的值
20.已知關(guān)于x的方程-2(m+1)x+=0,當m取什么值時,原方程沒有實數(shù)根.
21.已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根,求k的取值范圍。