天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界問(wèn)題

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1、圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界問(wèn)題 一、題型特點(diǎn) 1.圖形位置不確定； 2.圖形運(yùn)動(dòng)具有連續(xù)性； 3.多以求某一變量的取值范圍或最值為主． 二、涉及的主要知識(shí)點(diǎn) 1.幾何作圖或畫(huà)函數(shù)圖象； 2.幾何計(jì)算； 3.方程或不等式（組）； 三、主要解題思路 1.通過(guò)畫(huà)圖（或示意圖）或直觀操作把問(wèn)題直觀化； 2.確定運(yùn)動(dòng)的起始位置、終止位置或某些特殊位置，化動(dòng)為靜； 3.計(jì)算臨界位置的相應(yīng)結(jié)果，得到相應(yīng)變量的取值范圍或最值． 四、例題講解 例1 在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5．如圖1所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A＇處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A＇在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P

2、、Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則BA＇的取值范圍是 ． 圖3 圖2 圖1 分析：如圖2，解題由畫(huà)圖開(kāi)始．點(diǎn)A＇在BC邊上移動(dòng)，可首先使點(diǎn)A＇與點(diǎn)B重合，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖2所示；再使點(diǎn)A＇與點(diǎn)C重合，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖3所示，可知均不滿(mǎn)足條件，進(jìn)而可得出，點(diǎn)P、Q的位置決定BA＇的取值范圍．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖4所示，BA＇值再大，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖5所示，BA＇值再小，BA＇的取值范圍可求． 圖5 圖4 解：如圖4，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)， BA＇=3． 如圖5，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)， DA

3、＇=5，CA＇=5，BA＇=1． 所以BA＇的取值范圍是1≤BA＇≤3. 例2 已知二次函數(shù)y = x2+2x+c． （1）當(dāng)c＝－3時(shí)，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； 圖4 圖3 圖2 （2）若－2＜x＜1時(shí)，該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍． 圖1 解：（1）略． （2）分析：從已知入手，畫(huà)出圖形．由函數(shù)的解析式y(tǒng) = x2+2x+c可以得出二次項(xiàng)系數(shù)是1，函數(shù)圖象的形狀確定，因?yàn)橐淮雾?xiàng)系數(shù)是2，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸確定是直線(xiàn)x=－1,故而可知該函數(shù)的圖象因常數(shù)項(xiàng)的變化而沿直線(xiàn)x=－1上下平移．又因?yàn)闂l件－2＜x

4、＜1可知，該二次函數(shù)的圖象如圖1所示．確定一種運(yùn)動(dòng)方式，不妨確定為從下向上運(yùn)動(dòng)．函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況為0、1、2、1、0五種情況．確定臨界位置分別如圖2、圖3、圖4所示．分別把（1,0）、（－2,0）、（－1,0）代入函數(shù)的解析式可得出相應(yīng)的c值，c的取值范圍可求． 解：（2）由（1,0）得，0 = 12+2×1+c， c = －3； 由（－2,0）得，0 = （－2）2+2×（－2）+c， c = 0； 由（－1,0）得，0 = （－1）2+2×（－1）+c， c =1. 所以c的取值范圍是－3＜c≤0或c =1. 圖3 例3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，

5、3），動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，分別與兩軸的正半軸交于點(diǎn)E、F，求直徑EF的范圍. 圖1 圖2 分析：要求直徑EF的范圍，就是求出EF的最大值與最小值．因?yàn)閳D形位置不確定，找到圖形運(yùn)動(dòng)的臨界位置，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，化動(dòng)為靜．由已知條件“動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，分別與兩軸的正半軸交于點(diǎn)E、F”，可得出點(diǎn)E、F與點(diǎn)O重合是此題的兩個(gè)臨界位置（此時(shí)圓心D分別在x、y軸上）．畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，如圖2、圖3所示．由已知條件動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，可以確定圓心D在線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)上，以DO為半徑依次畫(huà)出規(guī)范的圖形，如圖4所

6、示，觀察EF的變化規(guī)律：當(dāng)點(diǎn)F從圖2中的位置向圖3中的位置連續(xù)變化時(shí)，EF的大小變化是先由大變小，再由小變大，直觀得出圖3時(shí)最大，并猜想最小值在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某處．進(jìn)而猜想圓心D在線(xiàn)段OA上時(shí)，F(xiàn)E的值最小，如圖5.此猜想的證明如圖6，連接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，當(dāng)OD+DA最小時(shí)，EF的值最小，又OD+DA≥OA，所以EF得最小值等于OA． 圖6 圖5 圖4 解：如圖5，易知OA=5．如圖3，求得EF=；如圖4，求得EF=.所以5≤EF＜. 五、練習(xí)題 1．如圖

7、，∠ABC=90°，O為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O，若射線(xiàn)BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，若與⊙O有公共點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)的角度（0° ＜＜180°）的范圍是 ． 2．已知二次函數(shù)y＝2x2＋4x－6．把二次函數(shù)y＝2x2＋4x－6的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線(xiàn)(b＜k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍． 3．已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個(gè)單位后

8、得到的圖象記為，同時(shí)將直線(xiàn)向上平移個(gè)單位．請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線(xiàn)與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍． A B C D P E 4.如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線(xiàn)段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)PC， 過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于E當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，求BE的取值范圍． 5.在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF． （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重

9、合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)； （2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線(xiàn)段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)． 備用圖 練習(xí)題參考答案: 1．60° ≤≤120° 2． 3． 4． ≤BE＜2 5．(1) (2) 說(shuō)明: 例2是2012年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)試卷第22題 ； 22．已知二次函數(shù)． （1）當(dāng)c＝－3時(shí)，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若－2＜x＜1時(shí)，該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只

10、有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍． 22. 解：（1）由題意，得. 當(dāng)時(shí)，. 解得，. ∴該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－3,0），（1，0）. （2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為. ① 若拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則交點(diǎn)為（－1，0）. 有，解得. ② 若拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且滿(mǎn)足題意，則有 當(dāng)時(shí)， ≤0， ∴≤0，解得≤0. 當(dāng)時(shí)，， ∴，解得. ∴≤0. 綜上所述，c的取值范圍是或≤0. 練習(xí)2是由2009年北京市中考數(shù)學(xué)試卷第23題改編 原題及答案 23．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)

11、． (1)求k的值； (2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2x2＋4x＋k－1的圖象向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的圖象的解析式； (3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線(xiàn)(b＜k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍． 第23題圖 23．解：(1)由題意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3． ∵k為正整數(shù)，∴k＝1，2，3． (2)當(dāng)k＝1時(shí)，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一個(gè)根為零； 當(dāng)k＝2時(shí)，方程2x2＋4x＋k－1＝0無(wú)整數(shù)根；

12、 當(dāng)k＝3時(shí)，方程2x2＋4x＋k－1＝0有兩個(gè)非零的整數(shù)根． 綜上所述，k＝1和k＝2不合題意，舍去；k＝3符合題意． 當(dāng)k＝3時(shí)，二次函數(shù)為y＝2x2＋4x＋2，把它的圖象向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象的解析式為y＝2x2＋4x－6． (3)設(shè)二次函數(shù)y＝2x2＋4x－6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A(－3，0)，B(1，0)． 依題意翻折后的圖象如圖所示． 第23題答圖 當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可得； 當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可得． 由圖象可知，符合題意的b(b＜3)的取值范圍為． 練習(xí)3是由2012年北京中考數(shù)學(xué)試卷第23題改編 原題及答案 23．已知二次函數(shù)

13、 在和時(shí)的函數(shù)值相等。 （1） 求二次函數(shù)的解析式； （2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求和的值； （3） 設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為，同時(shí)將（2）中得到的直線(xiàn)向上平移個(gè)單位。請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線(xiàn)與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。 23. 解：（1）由題意得. 解得. 二次函數(shù)的解析式為. （2）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上， . 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 點(diǎn)在一次

14、函數(shù)的圖象上， . （3）由題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 平移后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 . 將直線(xiàn)平移后得到直線(xiàn) . 如圖1，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò) 點(diǎn)時(shí)，圖象（點(diǎn)除外） 在該直線(xiàn)右側(cè)，可得； 如圖2，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò) 點(diǎn)時(shí)，圖象（點(diǎn)除外） 在該直線(xiàn)左側(cè)，可得. 由圖象可知，符合題意的的取值范圍是. 練習(xí)5是2012年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)綜

15、合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試卷第25題（有改動(dòng)），原題及答案如下: 25. 在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF． （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)； （2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答： ① ∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由； ② 直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線(xiàn)段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)． 備用圖 25. 解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2， ∴PB= ，． ∵， ∴． ∴． ∴ △ABP∽△DPC． ∴，即． ∴PC=2． （2）① ∠PEF的大小不變． 理由：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G． ∴四邊形ABFG是矩形． ∴． ∴GF=AB=2，． ∵， ∴． ∴． ∴ △APE∽△GFP. ∴． ∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=． 即tan∠PEF的值不變． ∴∠PEF的大小不變． ② .