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1、追及和相遇（一）,問題一：兩物體能追及的主要條件是什么？,能追及的特征： 兩物體在追及過程中在同一時刻處于 同一位置。,問題二：解決追及問題的關鍵在哪？,關鍵：位移關系、時間關系、速度關系,1：位移關系,追及到時：前者位移+兩物起始距離=后者位移,2：時間關系,同時出發(fā)：兩物體運動時間相同。,思考：兩物體在同一直線上同向作勻速 運動，則兩者之間距離如何變化?,3：速度關系,結論： 當前者速度等于后者時，兩者距離不變。 當前者速度大于后者時，兩者距離增大。 當前者速度小于后者時，兩者距離減小。,思考：那勻變速直線運動呢？結論 還成立嗎？,結論依然成立： 當前者速度等于后者
2、時，兩者距離不變。 當前者速度大于后者時，兩者距離增大。 當前者速度小于后者時，兩者距離減小。,問題三：解決追及問題的突破口在哪？,突破口：研究兩者速度相等時的情況,在追及過程中兩物體速度相等時， 是能否追上或兩者間距離有極值 的臨界條件。,常見題型一： 勻加速(速度小)直線運動追及勻速(速度大)直線運動,開始兩者距離增加，直到兩者速度相等，然后兩者距離開始減小，直到相遇，最后距離一直增加。,即能追及上且只能相遇一次，兩者之間在追上前的最大距離出現(xiàn)在兩者速度相等時。,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加 速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過， （1）汽車在追上自行車前經(jīng)過
3、多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？ （2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？,解法一：物理分析法,(1)解：當汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。 由上述分析可知當兩車之間的距離最大時有：,v汽atv自, tv自 /a6/32s,x自v自t x汽 at2/2,xmx自x汽,xmv自tat2/262322/26m,例1：一小汽車從靜止開
4、始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？,解法二：數(shù)學極值法,(1)解：設經(jīng)過時間t 汽車和自行車之間的距離x,xx自x汽v自tat2/2 6t3t2/2,由二次函數(shù)求極值的條件可知： 當 tb/2a6/32s 時， 兩車之間的距離有極大值， 且 xm62322/26m,(1)解：當 tt0 時矩形與三角形的面積之差最大。,xm6t0/2 （1） 因為汽車的速度圖線的斜率等于汽車的加速度大小 a6/t0 t06/a6/32s （2） 由上
5、面（1）、（2）兩式可得 xm6m,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？,解法三：圖像法,(1)解：選自行車為參照物，則從開始運動到兩車相距最遠這段過程中，汽車相對此參照物(自行車)的各個物理量的分別為： 已知：v相初6m/s，a相3m/s2， v相末0 由公式： 2a相x相v相末2v相初2 得 x相(v相末2v相初2) /2a相6m 由： v相末 v相初+ a相t 得 t = (v相末v相初) /a
6、相=2s,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？,解法四：相對運動法,例1：一小汽車從靜止開始以3m/s2的加速度啟動，恰有一自行車以6m/s的速度從車邊勻速駛過，（1）汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？（2）經(jīng)過多長時間汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？, v自t at2/2 6t3t2/2 t4s v汽at 34 12m/s,(2)解：汽車追上自行車時兩者位移相等,
7、常見題型二：勻速直線運動追及勻加速直線運動 （兩者相距一定距離，開始時勻速運動的速度大）,開始兩者距離減小，直到兩者速度相等，然后兩者距離開始增加。所以：,到達同一位置前，速度相等，,則追不上。,到達同一位置時，速度相等，,則只能相遇一次。,到達同一位置時， v加 v勻，,則相遇兩次。,例2、車從靜止開始以1m/s2的加速度前進，車后相距x0為25m處，某人同時開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。,解析：依題意，人與車運動的時間相等，設為t, 當人追上車時，兩者之間的位移關系為： x人x0 x車 即： v人tx0at2/2 由此方程求解t，
8、若有解，則可追上；若無解，則不能追上。 代入數(shù)據(jù)并整理得： t212t500 b24ac122450560 所以，人追不上車。,在剛開始追車時，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減?。划斳囁俅笥谌说乃俣葧r，人車間的距離逐漸增大。因此，當人車速度相等時，兩者間距離最小。 at6 t6s 在這段時間里，人、車的位移分別為： x人v人t6636m x車at2/2162/218m xx0 x車x人2518367m,題型三：速度大的勻減速直線運動追速度小的勻速運動：,當兩者速度相等時，若追者仍未追上被追者，則永遠追不上，此時兩者有最小距離。,若追上時，兩者速度
9、剛好相等，則稱恰能相遇，也是兩者避免碰撞的臨界條件。,若追上時，追者速度仍大于被追者的速度，（若不出現(xiàn)碰撞）則先前的被追者還有一次追上先前的追者的機會，其間速度相等時，兩者相距最遠。,例2、甲車在后以15 m/s的速度勻速行駛，乙車在前以9 m/s的速度勻速行駛。為了避免碰撞，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問為了避免碰撞甲剎車時距離乙最近為多少？,同學們，請用四種方法解題。,如果兩車之間的距離大于18米，又會出現(xiàn)什么情況。（假定兩車不會碰撞）,解答：設經(jīng)時間t追上。依題意： v甲tat2/2Lv乙t 15tt2/2329t t16s t4s (舍去) 甲車剎車后
10、經(jīng)16s追上乙車,變式訓練：甲車在前以15 m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9 m/s的速度勻速行駛。當兩車相距32m時，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問經(jīng)多少時間乙車可追上甲車？,解答：甲車停止后乙再追上甲。 甲車剎車的位移 x甲v02/2a152/2112.5m 乙車的總位移 x乙x甲32144.5m tx乙/v乙144.5/916.06s,例2、甲車在前以15 m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9 m/s的速度勻速行駛。當兩車相距32m時，甲車開始剎車，加速度大小為1m/s2。問經(jīng)多少時間乙車可追上甲車？,A、B兩車沿同一直線向同一方向運動，A車的速度vA
11、4 m/s，B車的速度vB10 m/s。當B車運動至A車前方7 m處時，B車以a2 m/s2的加速度開始做勻減速運動，從該時刻開始計時，則A車追上B車需要多長時間？在A車追上B車之前，二者之間的最大距離是多少？,解答：設經(jīng)時間t追上。依題意： vBtat2/2x0vAt 10tt274t t7s t1s (舍去) A車剎車后經(jīng)7s追上乙車,解答：B車停止后A車再追上B車。 B車剎車的位移 xBvB2/2a102/425m A車的總位移 xAxB732m txA/vA32/48s,vAvBat T6/23s xx0 xBxA 7211216m,A、B兩車沿
12、同一直線向同一方向運動，A車的速度vA4 m/s，B車的速度vB10 m/s。當B車運動至A車前方7 m處時，B車以a2 m/s2的加速度開始做勻減速運動，從該時刻開始計時，則A車追上B車需要多長時間？在A車追上B車之前，二者之間的最大距離是多少？,題型四：速度大的勻速運動追速度小的勻減速直線運動,兩者距離一直變小，一定能追上。要注意追上時，勻減速運動的速度是否為零。,題型五：勻變速運動追勻變速運動,總結：,解答追及，相遇問題時，首先根據(jù)速度的大小關系判斷兩者的距離如何變化，把整個運動過程分析清楚，再注意明確兩物體的位移關系、時間關系、速度關系，這些關系是我們根據(jù)相關運動學公式列方程的依據(jù)。,
13、（2）常用方法 1、解析法 2、臨界狀態(tài)分析法 3、圖像法 4、相對運動法,甲乙兩車同時同向從同一地點出發(fā)，甲車以v116m/s的初速度，a12m/s2的加速度作勻減速直線運動，乙車以v24m/s的速度，a21m/s2的加速度作勻加速直線運動，求兩車相遇前兩車相距最大距離和相遇時兩車運動的時間。,解法一：當兩車速度相同時，兩車相距最遠，此時兩車運動時間為t1，兩車速度為v 對甲車： vv1a1t1 對乙車： vv2a2t1 兩式聯(lián)立得 t1(v1v2)/(a2a1)4s 此時兩車相距 xx1x2(v1t1a1t12/2)(v2t1a2t12/2)24m 當乙車追上甲車時，兩
14、車位移均為x，運動時間為t，則： v1ta1t2/2v2t2 a2t2/2 得 t8s 或 t0(出發(fā)時刻，舍去。),解法二： 甲車位移 x1v1ta1t2/2 乙車位移 x2v2ta2t2/2 某一時刻兩車相距為x x x1x2 (v1ta1t2/2)(v2ta2t2/2) 12t3t2/2 當tb/2a 時，即 t4s 時，兩車相距最遠 x124342/224m 當兩車相遇時，x0，即12t3t2/20 t8s 或 t0(舍去),一列火車以v1的速度直線行駛，司機忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運動，
15、于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a應滿足什么條件？,方法1：設兩車經(jīng)過時間t相遇，則 v1tat2/2v2tx 化簡得：at22(v1v2)t2x0 當 4(v1 v2)2 8ax0 即a(v1v2)2/2x時，t無解，即兩車不相撞.,方法2：當兩車速度相等時，恰好相遇，是兩車相撞的臨界情況，則 v1atv2 v1tat2/2v2tx 解得 a(v1v2)2/2x 為使兩車不相撞，應使 a(v1v2)2/2x,一列火車以v1的速度直線行駛，司機忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運動，于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a
16、應滿足什么條件？,方法3: 后面的車相對前面的車做勻減速運動，初狀態(tài)相對速度為(v1v2)，當兩車速度相等時，相對速度為零， 根據(jù) vt2v022ax ，為使兩車不相撞，應有 (v1v2)2 2ax a (v1v2)2/2x,一列火車以v1的速度直線行駛，司機忽然發(fā)現(xiàn)在正前方同一軌道上距車為x處有另一輛火車正沿著同一方向以較小速度v2做勻速運動，于是他立即剎車，為使兩車不致相撞，則a應滿足什么條件？,1、在一條公路上并排停著A、B兩車，A車先啟動，加速度a120m/s2，B車晚3s啟動，加速度a230m/s2，以A啟動為計時起點，問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？這個
17、距離是多少？,解一、兩車速度相等時，相距最遠。 a1ta2(t3) 得 t9s xa1t2/2a2(t3)2/2270m,解二、 xa1t2/2a2(t3)2/2 5t290t135 5(t218t27) 二次項系數(shù)為負，有極大值。 x5(t9)2270 當t9s時，x有極大值，x270m,1、在一條公路上并排停著A、B兩車，A車先啟動，加速度a120m/s2，B車晚3s啟動，加速度a230m/s2，以A啟動為計時起點，問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？這個距離是多少？,解三、用圖象法。 作出vt圖象。由圖可知， 在t9s時相遇。 x即為圖中斜三角形
18、的面積。 x3180/2270m,1、在一條公路上并排停著A、B兩車，A車先啟動，加速度a120m/s2，B車晚3s啟動，加速度a230m/s2，以A啟動為計時起點，問：在A、B相遇前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？這個距離是多少？,2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當A、B相距100m時，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時，A車與B車相遇時不相撞。,解一：分析法。 對A： x1v1tat2/2 v2v1at 對B： x2v2t 且 x1x2 100m 由、得 10020tat2/210t10tat2/
19、2 由、得 t20s a0.5m/s2,解二、利用平均速度公式。 x1 (v1v2)t/215t x2v2t10t x1x215t10t100 t20s 由v2v1at得 a0.5m/s2,2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當A、B相距100m時，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時，A車與B車相遇時不相撞。,解三、作出vt圖。 圖中三角形面積表示A車車速由20m/s到10m/s時，A比B多之的位移，即x1x2 100m。 10010t/2 t20s a0.5m/s2,2、A、
20、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當A、B相距100m時，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時，A車與B車相遇時不相撞。,解四、以B車為參照物，用相對運動求解。 A相對于B車的初速度為10m/s，A以a減速，行駛100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。 vt2v022ax 0102 2a100 a 0.5m/s2 v2v1at 得 t20s,2、A、B兩車在一條水平直線上同向勻速行駛，B車在前，車速v210m/s，A車在后，車速v120m/s，當A、B相距100m時，A車用恒定的加速度a減速。求a為何值時，A車與B車
21、相遇時不相撞。,3、甲、乙兩車相距x，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關系.,分析 由于兩車同時同向運動，故有 v甲v0a2t v乙a1t,當a1a2時，可得兩車在運動過程中始終有v甲v乙。由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次.,當a1a2時，可得v甲v0v乙，同樣有v甲v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次.,當a1a2時，v甲和v乙的大小關系會隨著運動時間的增加而發(fā)生變化。
22、最初v甲 v乙；隨著時間的推移，有v甲v乙，接下來則有v甲v乙。 若在v甲v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇； 若在v甲v乙 時，兩車剛好相遇，隨后v甲v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次； 若在v甲v乙前，甲車已超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次.,當a1a2時，甲、乙兩車的運動圖線分別為圖中的和，其中劃斜線部分的面積表示t時間內甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為x，則t時刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時間內甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次.,,當a1a2時，甲、乙兩車的運動圖線分別為圖中的和，兩車也只能相遇一次.,,當a1a2時，甲、乙兩車的運動圖線分別為圖中的和，其中劃實斜線部分的面積表示甲車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移。若劃實斜線部分的面積小于x，說明甲車追不上乙車，則不能相遇；若劃實斜線部分的面積等于x，說明甲車剛追上乙車又被反超。則相遇一次；,,若劃實斜線部分的面積大于x。說明兩車先后相遇兩次。,
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