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1、有限元分析與應(yīng)用----------習題課,2,線彈性力學靜力問題有限元法計算列式的推導是如何采用彈性力學問題基本方程？,,答： (1) 假設(shè)單元的位移場模式,,(2) 代入到幾何方程，得,,(3) 代入到物理方程，得,(5) 疊加到總剛陣，得到結(jié)構(gòu)的平衡方程,3,2. 圖示彈性力學平面問題，采用三角形常應(yīng)變元，,網(wǎng)格劃分如圖，試求：,(1) 計算在你的結(jié)點編號下的系統(tǒng)剛度矩陣的半帶寬；,(2) 根據(jù)圖中結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)，指出那些結(jié)點自由度的,位移已知并且為何值。,解：,4,3. 彈性力學有限元中，平面等參數(shù)單元中的“等參數(shù)”,概念是何意思？ 該單元在跨相鄰單元時，位移場連,續(xù)嗎？ 應(yīng)力
2、場連續(xù)嗎？,5,4. 回答下列問題：,6,4. 回答下列問題：,7,5. 對于平面、空間實體單元，位移有限元計算結(jié)果中，,位移和應(yīng)力解結(jié)果的精確度是相當嗎？如果精度不相,當，哪一個解較精確？,6. 判斷 （ ）1. 對于高壓電線的鐵塔那樣的框架結(jié)構(gòu)的模型化處理使用梁單元 。 （ ）2. 不能把梁單元、殼單元和實體單元混合在一起作成模型。（ ）3. 四邊形的平面單元盡可能作成接近正方形形狀的單元 。 （ ）4. 平面應(yīng)變單元也好，平面應(yīng)力單元也好，如果以單位厚度來作模型化處理的話會得到一樣的答案 。,6. 判斷 （ ）5. 一般應(yīng)力變化大的地方單元尺寸要劃的小才好。 （ ）6. 所謂全約束只要將
3、位移自由度約束住，而不必約束轉(zhuǎn)動自由度。 （ ）7. 同一載荷作用下的結(jié)構(gòu)，所給材料的彈性模量越大則變形值越小 。 （ ）8. 一維變帶寬存儲通常比二維等帶寬存儲更節(jié)省存儲量。,,7. 填空,1平面應(yīng)力問題與薄板彎曲問題的彈性體幾何形狀都是薄板，但前者受力特點是： ，變形發(fā)生在板面內(nèi)；后者受力特點是： 的力的作用，板將變成有彎有扭的曲面。 2平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題都具有三個獨立的應(yīng)力分量： ，三個獨立的應(yīng)變分量： ，但對應(yīng)的彈性體幾何形狀前者為 ，后者為 。 3位移模式需反映 ，反映 ，滿足
4、 。 4單元剛度矩陣的特點有： ， ，還可按節(jié)點分塊。 5軸對稱問題單元形狀為： ，由于軸對稱的特性，任意一點變形只發(fā)生在子午面上，因此可以作為 問題處理。,平行于板面且沿厚度均布載荷作用,單元邊界上位移連續(xù),垂直于板面,x，y，xy,x，y，xy,薄板,長柱體,剛體位移,常應(yīng)變,對稱性,奇異性,二維,三角形或四邊形截面的空間環(huán)形單元,7. 填空,平衡方程、物理方程、幾何方程,6等參數(shù)單元指的是：描述位移和描述坐標采用相同的形函數(shù)形式。等參數(shù)單元優(yōu)點是：可以采用高階次位移模式，能夠模擬復雜幾何邊界，方便單元剛度矩陣和等效節(jié)點載荷的積分運算。,8一個空間
5、塊體單元的節(jié)點有 個節(jié)點位移： 。,9變形體基本變量有 ; 基本方程有 。,10.實現(xiàn)有限元分析標準化和規(guī)范化的載體就是單元,6等參數(shù)單元指的是： 。等參數(shù)單元優(yōu)點是： 。,u，v，w,3,位移、應(yīng)變、應(yīng)力,,,10. 實現(xiàn)有限元分析標準化和規(guī)范化的載體就是 。,單元,8. 選擇,（1）等參變換是指單元坐標變換和函數(shù)插值采用__ _的結(jié)點和______的插值函數(shù)。 （A）不相同，不相同 （B）相同，相同 （C）相同，不相同 （D）不相同，相同,B,8. 選擇,（2）有限元位移模式中，廣義坐標的個數(shù)應(yīng)與______
6、_相等。 （A）單元結(jié)點個數(shù) （B）單元結(jié)點自由度數(shù) （C）場變量個數(shù),B,8. 選擇,（3）如果出現(xiàn)在泛函中場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，單元的完備性是指試探函數(shù)必須至少是______完全多項式。 （A）m-1次 （B）m次 （C）2m-1次,B,8. 選擇,（4）與高斯消去法相比，高斯約當消去法將系數(shù)矩陣化成了_________形式，因此，不用進行回代計算。 （A）上三角矩陣 （B）下三角矩陣 （C）對角矩陣,C,8. 選擇,（5）對分析物體劃分好單元后，_______會對剛度矩陣的半帶寬產(chǎn)生影響。 （A）單元編號 （B）單元組集次序 （C）結(jié)點編號,C,8. 選擇,（6）n個積分點的高斯積分
7、的精度可達到______階。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n,C,8. 選擇,（7）引入位移邊界條件是為了消除有限元整體剛度矩陣的_________。 （A）對稱性 （B）稀疏性 （C）奇異性,C,8. 選擇,（8）在加權(quán)余量法中，若簡單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，這類方法稱為______________。 （A）配點法 （B）子域法 （C）伽遼金法,C,8. 選擇,（9）采用位移元計算得到應(yīng)力近似解與精確解相比較，一般___________。 （A）近似解總小于精確解 （B）近似解總大于精確解 （C）近似解在精確解上下震蕩 （D）沒有規(guī)律,C,8. 選擇,（10
8、）對稱荷載在對稱面上引起的_____________分量為零。 （A）對稱應(yīng)力 （B）反對稱應(yīng)力 （C）對稱位移 （D）反對稱位移,D,9. 簡答,（1）簡述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點。,（a）對稱性； （b）奇異性； （c）主對角元恒正； （d）稀疏性； （e）非零元素帶狀分布,9. 簡答,（2）簡述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項式）的一般原則。,一般原則有: (a) 廣義坐標的個數(shù)應(yīng)該與結(jié)點自由度數(shù)相等； (b) 選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備； (c) 多項式的選取應(yīng)由低階到高階； (d) 盡量選取完全多項式以提高單元的精度.,9. 簡答,（3）有限元法分析的目的是什么？
9、,有限元方法分析的目的： (a) 對變形體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進行定義和表達，進而建立平衡方程、幾何方程和物理方程。 (b) 針對具有任意復雜幾何形狀的變形體，完整得獲取在復雜外力作用下它內(nèi)部的準確力學信息。 (c) 力學分析的基礎(chǔ)上，對設(shè)計對象進行強度(strength)、剛度（stiffness）評判，修改、優(yōu)化參數(shù)。,9. 簡答,（4）有限單元法分析步驟.,(a) 結(jié)構(gòu)的離散化 (b) 選擇位移模式 (c) 分析單元的力學特性 (d) 集合所有單元平衡方程，得到整體結(jié)構(gòu)的平衡方程 (e) 由平衡方程求解未知節(jié)點位移 (f) 單元應(yīng)變和應(yīng)力的計算,9. 簡答,（5）簡述有限單元法的收斂性準
10、則。,完備性要求 如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則有限元解收斂性條件之一是單元位移函數(shù)至少是m階完全多項式。 (b) 協(xié)調(diào)性要求 如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則位移函數(shù)在單元邊界界面上必須具有直到m-1解的連續(xù)導數(shù)，即Cm-1連續(xù)性。,9. 簡答,（6）考慮下列三種改善應(yīng)力結(jié)果的方法（a）總體應(yīng)力磨平、（b）單元應(yīng)力磨平和（c）分片應(yīng)力磨平，請分別將它們按計算精度（高低）和計算速度（快慢）進行排序。,計算精度（a）（c）（b） 計算速度（b）（c）（a）,9. 簡答,,（a）總體應(yīng)力磨平,10. 計算,如圖1所示等腰直角三角形單元，其厚度為t，
11、彈性模量為E=1，泊松比v=0；單元的邊長a=1及結(jié)點編號見下圖所示。試求： (1)形函數(shù)矩陣N ； (2)應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S； (3)單元剛度矩陣Ke。,10. 計算,解：,,,10. 計算,解：,,,10. 計算,解：,設(shè)圖1所示的各點坐標為 點1（a，0），點2（a，a），點3（0，0） 于是，可得單元的面積為,，及,,（1）形函數(shù)N為,10. 計算,解：,,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計算,解：,,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計算,解：,,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計
12、算,解：,,（1）形函數(shù)N為,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,10. 計算,解：,,（2）單元應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S分別為,（1）形函數(shù)N為,（3） 單元剛度矩陣Ke,10. 計算,解：,,（3） 單元剛度矩陣Ke,11. 計算,,11. 計算,,11. 計算,解：,3,（1）根據(jù)對稱性，計算模型如右圖所示。,（2）每個單元的合理局部編號，如右圖所示。所謂“合理”即使半帶寬B最?。?12. 一些概念及術(shù)語理解,（1）什么是平面應(yīng)力問題？什么是平面應(yīng)變問題？,答：平面應(yīng)力問題是指薄板受平行于板面且沿厚度均布載荷作用，只有xy面上三個應(yīng)力分量x，y，xy非零。平面應(yīng)變問題是指長柱體受平行于
13、橫截面且沿長度均布載荷作用，只有xy面上三個應(yīng)變分量x，y，xy非零。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（2）單元剖分時應(yīng)注意哪些問題？,答：規(guī)模適當、單元形狀盡量接近正多邊形、不同材料部分劃分在不同單元、不同厚度或不同截面劃分在不同單元、集中力作用點及分布載荷密度變化處設(shè)置節(jié)點、應(yīng)力集中區(qū)域單元劃分密度要大、疏密過渡要平緩、希望了解某處位移此處設(shè)置節(jié)點、邊界點設(shè)置節(jié)點。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（3）什么是位移模式？位移模式應(yīng)滿足哪些條件？,答：位移模式是在單元范圍內(nèi)的位移函數(shù)，是坐標的函數(shù)。 位移模式通常應(yīng)滿足a）反映剛體位移；b）反映常變形；c）單元邊界上位移連續(xù)，三個條件。,12. 一
14、些概念及術(shù)語理解,（4）什么是節(jié)點力？什么是節(jié)點載荷？,答：節(jié)點力是單元給節(jié)點的力或節(jié)點給單元的力，等于單元的彈性力；節(jié)點載荷是外界作用在彈性體節(jié)點上的力。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（5）什么是單元分析？說說單元分析的大致過程。,答：單元分析就是尋求單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。單元分析的大致過程：設(shè)定位移模式即用節(jié)點位移表達單元內(nèi)任意一點位移、建立應(yīng)變與位移之間的幾何方程、建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系、由虛功原理建立節(jié)點力與單元內(nèi)任意一點應(yīng)力之間的平衡關(guān)系，從而得到單元剛度方程。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（6）單元剛度矩陣有哪些特點？說說它們的物理意義。,答：單元剛度矩陣具有對稱性
15、、奇異性，可按節(jié)點分塊。對稱性反映了功的互等關(guān)系，奇異性說明單元在無約束情況下可以發(fā)生剛體位移，由于每個節(jié)點具有相同的自由度，因此單元剛度矩陣可按節(jié)點分成若干相似的子塊。,功互等定理 對于線彈性體，作用在同一構(gòu)件上第一組力在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，,12. 一些概念及術(shù)語理解,（7）如何引入約束條件？,答：引入約束條件：a）對角元改1法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對應(yīng)的行和列對角元改為1，其它元素改為0，載荷向量中對應(yīng)元素置為已知位移值，其它載荷元素減去已知位移值與該行對應(yīng)列剛度系數(shù)之積。b）乘大數(shù)法，將剛度矩陣中有位移約束的自由度對應(yīng)的行
16、和列對角元乘以一個非常大的數(shù)，載荷向量中對應(yīng)元素改為該大數(shù)乘以對角元剛度系數(shù)再乘以已知位移值。c）降階法，將整體方程組中有位移約束的自由度對應(yīng)的行和列刪除，得到一組降階的修正方程，一般適用于手工計算。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（8）平面問題中對稱邊界條件是什么？,答：平面問題中對稱邊界條件：對稱軸上節(jié)點垂直于對稱軸方向的位移為零。 用有限元程序計算分析一結(jié)構(gòu)的強度須提供哪些數(shù)據(jù)？ a）總體信息：問題類型，單元類型，單位制等；b）幾何信息：節(jié)點坐標，單元節(jié)點組成，板厚度，梁截面等；c）材料信息：彈性模量，泊松比，密度等；d）載荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布體力等；e）約束信息：對稱
17、約束，反對稱約束，固定約束等。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（9）有限元分析的大致步驟是什么？,答：首先進行結(jié)構(gòu)離散化，將無限個自由度的彈性體用有限個自由度的離散結(jié)構(gòu)模擬，再進行單元分析，即找出單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，最后進行整體分析，即組集總剛、引入約束、形成整體載荷向量、方程組求解。解出節(jié)點位移，再求單元應(yīng)力等。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（10）什么是軸對稱問題？什么是空間問題？它們的節(jié)點有哪幾個自由度？,答：軸對稱問題是指幾何結(jié)構(gòu)、所受載荷和約束都關(guān)于同一軸對稱的情況，可作為二維問題處理?？臻g問題指結(jié)構(gòu)幾何形狀不屬于桿、板、殼、軸對稱等特殊情況的一般塊體，由空間塊單元模擬。軸
18、對稱問題節(jié)點兩個自由度：徑向、軸向位移，空間問題節(jié)點三個自由度：x、y、z三方向平移。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（11）軸對稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？,答：軸對稱單元是三角形或四邊形截面的空間的環(huán)形單元，平面單元是三角形或四邊形平面單元；軸對稱單元內(nèi)任意一點有四個應(yīng)變分量，平面單元內(nèi)任意一點非零獨立應(yīng)變分量有三個。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（12）已知幾何矩陣B和彈性矩陣D，推導軸對稱單元的剛度矩陣。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（13）能給出解析式的解就是精確解，只能以數(shù)值方式求得解都是近似解。這種說法對不對？為什么？,答：不一定 應(yīng)用解析法時，往往有很多假設(shè)條件，將很多工況理想化
19、，所以計算結(jié)果與實際狀況往往有出入，其誤差大小與理想化條件有關(guān)，所以解析式的解也不一定是精確解。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（14）解析解的精度一定高于數(shù)值解的說法對不對？為什么？,答：不對，原因如題13，若理想化掉的情況和分析的對象相關(guān)性較大，也就是說對分析影響很大，那么在理想化后的工況下得到的結(jié)果與實際工況相差很大，此時精度還不如數(shù)值解的精度高。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（15）有限元方程求解前為什么要進行約束處理？,答：為了消除剛體位移，使方程具有唯一解。,（16）單元節(jié)點處的位移連續(xù)性條件指的是什么？,答：各點位移必須單值連續(xù),12. 一些概念及術(shù)語理解,（17）選擇單元位移插值
20、函數(shù)是否要包含剛體位移？,答：位移插值函數(shù)的收斂性（完備性）要求： 位移插值函數(shù)必須包含常應(yīng)變狀態(tài) 位移插值函數(shù)必須包含剛體位移,（18）形函數(shù)有什么重要性質(zhì)？,答:1) 相關(guān)節(jié)點處的值為1，不相關(guān)節(jié)點處的值為0 (正交性） 2) 形函數(shù)之和恒等于1（正規(guī)性）,12. 一些概念及術(shù)語理解,（19）有限元應(yīng)用中根據(jù)什么構(gòu)造形函數(shù)？,答：形函數(shù)的性質(zhì),（20）三角形平面單元是常應(yīng)變單元，所以單元內(nèi)部各點的位移是相同的對嗎？為什么？,答: 不對，應(yīng)變是位移的導數(shù) 。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（21）幾何矩陣B表示的是什么關(guān)系？,答：B不是常矩陣，各元素均為r、s的函數(shù)。在單元內(nèi)不同點上B元素的值也不同，要計算那個點的應(yīng)力，在單元分析是就要同時給出該點處的B.要計算多個點，就要給出多個B。,（22）單元的協(xié)調(diào)性指的是什么、滿足什么條件的單元是協(xié)調(diào)單元？,答:單元的協(xié)調(diào)性（連續(xù)性），指相鄰單元公共邊界處位移的連續(xù)性條件。 滿足連續(xù)性條件的，稱為協(xié)調(diào)單元，反之稱為不協(xié)調(diào)單元。,12. 一些概念及術(shù)語理解,（23）單元剛度矩陣有什么特點？,答：單元剛度矩陣具有正定性、奇異性和對稱性三個重要特性。,（24）單元剛度矩陣的物理意義是什么？,答: 其正定性的物理意義是位移與載荷方向一致；奇異性是說單元含有剛體位移；對稱性是說單元剛度矩陣是對稱矩陣，程序設(shè)計時可充分使用。,
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