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1、第十二章,格林函數(shù),12.1,泊松方程的格林函數(shù)法,有源問題,,定解通解邊界條件,求通解積分,,定解積分邊界條件 （格林函數(shù)法）,1. 源問題,例 靜電場,處靜電場,a.無界空間,b.有界空間,,,邊界上可能出現(xiàn)感應(yīng)電荷,處靜電場是源電荷與感應(yīng)電荷 的電勢(shì)之和。,感應(yīng)電荷是源電荷的結(jié)果。,計(jì)算變成,由,計(jì)算感應(yīng)電荷，然后,是否能一次解決,,定解通解邊界條件,求通解積分,,定解積分邊界條件 （格林函數(shù)法）,2. 格林公式,第一格林公式：,,區(qū)域 T，邊界,T,設(shè) 和 在 T 中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)， 在 上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)。由高斯定理,感應(yīng)電荷 是邊界問題,第二格林公式：,交換 和
2、 ：,與上式相減,即,,,法向?qū)?shù),3. 邊值問題,泊松方程,邊界條件,定義在,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,泊松方程與第一類邊界條件，構(gòu)成第一邊值問題(狄里希利問題),泊松方程與第二類邊界條件，構(gòu)成第二邊值問題(諾依曼問題),泊松方程與第三類邊界條件，構(gòu)成第三邊值問題,4. 泊松方程的基本積分公式,點(diǎn)源泊松方程,單位負(fù)電荷在,,,,,,,奇異，不能化為,面積分。在 T 中挖掉半 徑 ，在 的小球 。 小球邊界 。,邊界條件無法帶入積分之中！,在 ， 。,和,連續(xù)。,這樣，邊界條件進(jìn)入積分之中！泊松方程的基本積分公式。,解 在區(qū)域 T 中一點(diǎn) 的值
3、 通過上面積分，由源項(xiàng)對(duì)區(qū)域的 積分（右第一項(xiàng)），和邊值得積分（右第二項(xiàng)）給出。,格林函數(shù)：,將沖量定理法擴(kuò)展到空間坐標(biāo),對(duì)兩端固定的弦,問題變成,,5. 邊值問題的格林函數(shù),還需知道點(diǎn)源泊松方程度解的邊界條件。,第一邊值問題(狄里希利問題),第三邊值問題,第一邊值問 題格林函數(shù),第三邊值問 題格林函數(shù),在,，在物理上是不合理的?？紤]它是偶函數(shù)，,具有同一個(gè)解，可作變換：,12.2,電像法求格林函數(shù),第一邊值問 題格林函數(shù),,,,,導(dǎo)體球內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)電荷 ，導(dǎo)體接 地。求球內(nèi)電勢(shì)。 電荷的存在，在導(dǎo)體上感應(yīng)了電荷。 球內(nèi)的電勢(shì)為自由電荷和感應(yīng)電荷電勢(shì)之和。,,,,,,,將感應(yīng)電荷的電勢(shì)由一 “電像電荷”的電勢(shì)表示,如右圖，當(dāng)導(dǎo)體外 M1 處有電荷 時(shí)，鏡像電荷 將在球內(nèi)M0 處。,現(xiàn)在，問題反過來，在 r0 處有電荷 -0 ，求r1，和鏡像電荷。,例1,球內(nèi)第一邊值問題,在球面上,例2,半空間第一邊值問題,解,,,,,,,,,,按電磁學(xué)思維模式， 應(yīng)當(dāng)引入鏡像電荷 表示平面（z=0）上 的感應(yīng)電荷。,計(jì)算格林函數(shù)：,鏡像電荷的作用為使 平面（z=0）上的電勢(shì) 為零。顯然，這個(gè)電荷 位于相對(duì)于平面（z=0） 對(duì)稱的幾何點(diǎn)，且有 相反的電量。,法線方向與z軸方向相反,
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