初中八年級數(shù)學(xué)上冊 第十一章 三角形11.3 多邊形及其內(nèi)角和 2多邊形的內(nèi)角和學(xué)案（新版）新人教版

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1、……………………………………………………………最新資料推薦………………………………………………… 多邊形的內(nèi)角和 （一）思考 三角形的內(nèi)角和等于180°。正方形、長方形的內(nèi)角和都等于360°，其他四邊形的內(nèi)角和等于多少？ （二）探究 任意畫一個四邊形，量出它的4個內(nèi)角，計(jì)算它們的和。 再畫幾個四邊形，量一量，算一算。你能得出什么結(jié)論?能否利用三角形內(nèi)角和等于180°得出這個結(jié)論? 如圖7.3—8，畫出任意一個四邊形的一條對角線，都能將這個四邊形分為兩個三角形。這樣，任意一個四邊形的內(nèi)角和，都等于兩個三角形的內(nèi)角和，即360°。 從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角

2、和各是多少嗎?觀察圖7.3—9，請?zhí)羁眨? 從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_______條對角線，它們將五邊形分為_______個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×_________。 從六邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引______條對角線，它們將六邊形分為________個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×__________。 通過以上問題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎? 一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢?請?zhí)羁眨? 從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引______條對角線，它們將n邊形分為________個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×______。 總結(jié)：過n邊形的一

3、個頂點(diǎn)可以做（n－3）條對角線，將多邊形分成（n－2）個三角形，每個三角形內(nèi)角和180°。 所以n邊形內(nèi)角和（n－2）×180°。 把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎?由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎? 方法2：如圖：7－3－3過n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)連接，可得n個三角形，其內(nèi)角和n×180°。再減去以O(shè)為頂點(diǎn)的周角。 即得n邊形內(nèi)角和n·180°－360°。 得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于（n－2）·180°。 （三）例題 例1 如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系? 解：如圖7.3—10，四邊形ABCD中， ∠A

4、＋∠C＝180°。 因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＋∠D＝（4—2）×180°＝360°， 所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C） =360°－180°=180°。 這就是說，如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角也互補(bǔ)。 例2如圖7.3—11，在六邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少? 分析：考慮以下問題： （1）任何一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系? （2）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少? （3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系? 聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法。 解：六邊形的任何一個外角

5、加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180°。6個外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角，共有12個角。這些角的總和等于6×180°。 這個總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和。所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°。 （四）探究 如果將例2中六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎? 思路：（用計(jì)算的方法） 設(shè)n邊形的每一個內(nèi)角為∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相鄰的外角分別為180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，…180°－∠n。外角和為（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋…＋（180°－∠n）=n×18

6、0°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360° 注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本思想。 由上面的探究可以得到： 多邊形的外角和等于360°。 你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°。 如圖7.3—12，從多邊形的一個頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和，就是多邊形的外角和。由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°。 （五）練習(xí) 一起學(xué)習(xí)課本89頁的練習(xí) （六）小結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)所學(xué)的知識點(diǎn) 3