中考數(shù)學(xué)專題 數(shù)學(xué)方法

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1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 專題八：數(shù)學(xué)方法 一、考點(diǎn)綜述 考點(diǎn)內(nèi)容： 配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法 考綱要求： 配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法等解題方法是隨著對數(shù)學(xué)對象的研究的深入而發(fā)展起 來的。要求學(xué)生鉆研習(xí)題、精通解題方法，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步熟練地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教材，練好解題的基本功， 提高解題技巧，積累教學(xué)資料，提高考試答題的應(yīng)變能力。 考查方式及分值： 配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法等解題方法在中考中選擇、填空、解答題都有出現(xiàn)， 常常在綜合題目中出現(xiàn)，分值在?20?分左右。

2、 備考策略： 分析解題思路，總結(jié)解題方法，重在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；分析中考對知識(shí)的考查方式和未來 中考命題的趨勢，使學(xué)生全面了解和掌握各個(gè)題型的命題特點(diǎn)與命題趨勢，做到有的放矢。 二、例題解析 1、配方法 所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的 和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種 重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的 極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

3、 例?1：用配方法解方程：?2?x2?-?x?-?1?=?0?． 解題思路： （1）此方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為?1，要先化成?1； （2）在配方時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為?1?時(shí)，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的一半的平方就得到完全平方式。 解析：兩邊都除以?2，得?x2?- 1???1 x?-??=?0?． 2???2 移項(xiàng)，得?x2?- 1???1 x?=??． 2???2 配方，得??x2?- x?+?????÷??=?? ，????x?- ÷??=?? ． \?x?-??1 4?? 4????? 4??? 4

4、??????????????? 2 1 ??1??2 9 ? 1??2 9 2 è?4?? 16 è 4?? 16 3 1 3 1 = 或?x?- =?- ．\?x?=?1，?x?=?- ． 1 2 規(guī)律總結(jié)：用配方法解一元二次方程的一般步驟： （1）?化二次項(xiàng)系數(shù)為?1 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 （2）移項(xiàng)：使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng) （3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值的一半的平方就得到完全平方式 （4）用直接開平方法解方 2、因式分解法 因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基

5、礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè) 有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。 例?2．已知?4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求證：2x2+3xy+y2-x-y=0 解題思路：要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值為零，通常是將此多項(xiàng)式分解因式．若分解后的因式中有一個(gè)值為零，則原 多項(xiàng)式的值為零．經(jīng)過分組分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若?x+y?或?2x+y-1?為零，則原多項(xiàng)式的 值為零．為達(dá)此目的，就要從條件入手． 證明：因?yàn)?4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以 (2x+y)2-2(2x+y)+1

6、=0， (2x+y-1)2=0． 所以 2x+y-1=0． 又因?yàn)? 2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)． 而 2x+y-1=0， 所以 2x2+3xy+y2-x-y=0． 規(guī)律總結(jié)：要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值為零，通常是將此多項(xiàng)式分解因式．若分解后的因式中有一個(gè)值為零，則原 多項(xiàng)式的值為零。 3、換元法 換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元 法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個(gè)部分或改造原來的式子，使它簡化，使

7、 問題易于解決。 例?3．解方程：?2?x?- 1????4?x - x??2?x?2?-?1  =?3 1 2?x?2?-?1 解題思路：此題初看似乎應(yīng)先去分母，但去分母會(huì)使方程兩邊次數(shù)太高，仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)2?x?- = ， x x 2?x?2?-?1 所以應(yīng)設(shè)?y?= ，用換元法解。 x 解：?x??=?1?+? 6 2?????????? 2??????? 2 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 6 1 ，?x?=?1?- ，?x?= ，?x?=?-1 1 2 3 4 規(guī)律總結(jié)：用新的變元去代替原式的一部分

8、或改造原來的式子，要注意觀察方程的特點(diǎn)。 4、待定系數(shù)法 在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條 件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問 題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。 例?4?直線?l?與直線 數(shù)解析式。 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?2，與直線??????????的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?1，求直線?l?對應(yīng)的函 解題思路：設(shè)直線?l?對應(yīng)的函數(shù)解析式為 ，需找出?y?與?x?的兩對對應(yīng)值才能求出待定系

9、數(shù) k，b?的值，由于?l?與直線 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?2，可求出?l?上一點(diǎn)（2，5），l?與 的交點(diǎn)的 縱坐標(biāo)為?1，可求得?l?上另一點(diǎn)（1，1）于是問題得以解決。 解析：在 所以?l?與直線 在 中，當(dāng)?x=2?時(shí)， 交點(diǎn)為（2，5） 中，y=1?時(shí)， 所以直線?l?與直線 的交點(diǎn)為（1，1） 設(shè)直線?l?與 ，則 解得 所以?l?的解析式為 規(guī)律總結(jié)：根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種

10、 關(guān)系。 5、面積法 平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它 來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法， 它是幾何中的一種常用方法。 例?5．如圖，已知在ΔABC?中，AB=AC，D?為?BC?上任意一點(diǎn)，DE⊥AB、DF⊥AC，垂 足分別為?E、F，BG?是?AC?邊上的高。求證：DE+DF=BC 解題思路：連接?AD，由 得到?BG×AC=DE×AB+DF×AC，因 為?AB=AC，所以?BG=DE+D

11、F. 規(guī)律總結(jié)：運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，它是幾何中的一種常 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 用方法。 綜合訓(xùn)練 一、選擇題 1、用換元法解方程  2(?x?2?+?1)??6(?x?+?1) + x?+?1????x?2?+?1  =?7?時(shí)，下列換元方法中最適宜的是設(shè)（??） x?2?+?1 1 A、?y?=?x?2?+?1 B、?y?=?x?+?1 C、?y?= D、?y?= x?+?1 x

12、?2?+?1 2、用換元法解方程?x?2?+?x?+ 1??1 + x??x?2  =?4?，通常會(huì)設(shè)?y?（???） A、?x?+?x?2 1????????????1??1 B、?x?+??????????C、?+ x????????????x??x?2  D、?x?+?2 3、用配方法解下列方程時(shí),配方有錯(cuò)誤的是 ( ) A.x2-2x-99=0?化為(x-1)2=100 B.?x2+8x+9=0?化為(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0?化為 C.2x2-7x-4=0?化為 

13、(?x?- 7?81?2 )?2?=?(?x?-?)2?= 4?????16?????????????????????????????????3 10 9 A．?S?=??k 4、反比例函數(shù)?y?=?k?（k>0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖?1?所示，P?為該圖象上任一點(diǎn)， x PQ⊥x?軸，設(shè)△POQ?的面積為?S，則?S?與?k?之間的關(guān)系是（ ） k B．?S?= C．S=k D．S>k 4 2 5、多項(xiàng)式①2x2－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)2－4x(x＋1)＋4④－4x2－1 ＋4x?分解因式后，結(jié)果含有相同因式的

14、是( ) A、①② B、③④ C、①④ D、②③ 二、填空題 1、某市?2008?年自然保護(hù)區(qū)覆蓋率（即自然保護(hù)區(qū)面積占全市面積的百分比）為?4.65%，尚未達(dá)到國家?A?級(jí)標(biāo) 準(zhǔn)，因此，市政府決定加快綠化建設(shè)，力爭?2004?年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率達(dá)到?8%，則該市自然保護(hù)區(qū)面積的年 平均增長率_________（結(jié)果保留三位有效數(shù)字） y 2、若?4x2+bx+9?是完全平方式，則?b= 2 3、在反比例函數(shù)?y?= （?x?>?0?）的圖象上，有點(diǎn) x P，P?，P，P?，它們的橫坐標(biāo)依次為?1，2，3，4． 1

15、 2 3 4  O 2 y?= x P1 P2 1????2  P3 3  P4 4????x 分別過這些點(diǎn)作?x?軸與?y?軸的垂線，圖中所構(gòu)成 的陰影部分的面積從左到右依次為?S?，S?，S?， 1 2 3 則?S1?+?S2?+?S3?=  ． 4、由右邊圖象寫出二次函數(shù)的解析式______________ 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 5、分解因式?a2(x－y)－b2(x－y)_______

16、_______ 6、已知如圖，4?個(gè)圓的半徑都為?a，用代數(shù)式表示其中陰影部分 的面積，并求當(dāng)?a=10，π取?3.14?時(shí)，陰影部分的面積________ 三、解答題 ??x???2 1.用換元法解下列方程：?? ÷?- è?x?+?1?? 5x x?+?1  +?6?=?0 2.?心?理?學(xué)?家?發(fā)?現(xiàn)?，?學(xué)?生?對?概?念?的?接?受?能?力?與?提?出?概?念?所?用?的?時(shí)?間?x?（?單?位?：?分?）?之?間?滿?足?式?子 x x ( 0 。 -0.?1?2?

17、+?2.?6?+?43?￡?x?￡?)30如果使學(xué)生的接受能力達(dá)到?59，用多長時(shí)間？你知道學(xué)生的最大接受能力是 多少嗎？ 3.三角形兩邊的長分別為?8?和?6，第三邊的長是方程?x2-16x+60=0?的根,求該三角形的最長邊上的高。 4.?已知拋物線與?x?軸交于?A(-1，0)、B(1，0)，并經(jīng)過?M(0，1)，求拋物線的解析式． 5.把下列各式分解因式 (1)a4－16 (2)81x4－72x2y

18、2＋16y4 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 6.若?x?2?+?6?x?+?y?2?-?4?y?+?13?=?0?求?x?y 參 考 答?案 一、選擇題 1.C?2.B?3.B?4.B?5.C 二、填空題 1.0.312 2.12?或-12 3. 三、解答題 3 1.?x?=?-2?，?x?=?- 1 2 2 3 2  4.?y=-2x2-4x．

19、5.?(x－y)(a＋b)(a－b)?6.?86 -0.1x2?+?2.6?x?+?43?=?59?整理得?x2?-?26?x?=?-160?配方，得??x?-?13 =?9 2.?解(1)． (?)2 x?=?10 x?=?16 1 2 0.1x2?+?2.6?x?+?43?=?-0.1(x2?-?26?x?-?430?)=?-0.1?é(x?-?13)2?-?169?-?430ù (2)． ???????????????????? =?-0.1(x?-?13)2?+?59.9 答：學(xué)生的最大接受能力為?

20、59.9 3.4.8 4.?解：∵拋物線與?x?軸交于?A(-1，0)、B(1，0) ∴設(shè)拋物線的解析式為?y＝a(x＋1)(x-1) 又∵拋物線過?M(0，1)，將?x=0，y=1?代入上式，解得?a=-1 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 ∴函數(shù)解析式為?y=-x2＋1． 5.?解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2) (2)81x4－72x2y2＋16y4 =(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2（先化成完全平方的形式，認(rèn)準(zhǔn)誰是公式的?a，誰是?b） =(9x2－4y2)2=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2 （注意這不是結(jié)果） =(3x＋2y)2(3x－2y)2 6.?解:?x?2?+?6?x?+?y?2?-?4?y?+?13?=?0 x2?+?6?x?+?9?+?y?2?-?4?y?+?4?=?0 (?x?+?3)2?+?(?y?-?2)2?=?0 因?yàn)?(?x?+?3)2?≥0,?(?y?-?2)2?≥0?所以?x+3=0,y-2=0?即?x=-3,y=2?則?x?y=9