2020年中考數(shù)學第一輪復(fù)習專題 第23課 圓的證明
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1、 第?23?課?圓的證明 本節(jié)內(nèi)容主要考查點與圓、直線與圓的位置關(guān)系?,特別是切線的性質(zhì)與判定,一直都 是熱點。廣東省近?5?年試題規(guī)律:極少考查點與圓的位置關(guān)系,切線的性質(zhì)與判定是必考內(nèi) 容,年年考,并且經(jīng)常滲透到圓的綜合題中,近幾年這類試題難度加大,題型也有所變化。 知識清單 知識點一 位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系 點在圓內(nèi)??????????????點在圓上 點在圓外 數(shù)量關(guān)系 d<r 知識點二 直線與圓的位置關(guān)系 d=r d>r 位置關(guān)系 公共點個數(shù) 公共點的名稱
2、 數(shù)量關(guān)系 知識點三 圓的切線 相離 0 無 d>r 相切 1 切點 d=r 相交 2 交點 d<r 切線的判定 切線的性質(zhì) 切線長 切線長定理 知識點四 (1)與圓有唯一公共點的直線是圓的切線(定義法); (2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線; (3)過半徑外端點且垂直于半徑的直線是圓的切線. 切線垂直于經(jīng)過切點的半徑?. . 過圓外一點作圓的切線,這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長 從圓外一點可以引圓
3、的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連 線平分兩條切線的夾角. 三角形與圓 確定圓的條件 不在同一直線的三個點確定一個圓. 經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的 三角形的外心 外心,這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形,外心到三角形三個頂點的距 離相等. 三角形的內(nèi)心 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的 . 內(nèi)心,這個三角形叫圓的外切三角形,內(nèi)心到三角形三邊的距離相等 課前小測 1.(點與圓的位置關(guān)系)已知⊙O?的半徑為?5,若?PO=4,則點?P?與⊙O?的位置關(guān) 系是( )
4、A.點?P?在⊙O?內(nèi) B.點?P?在⊙O?上 C.點?P?在⊙O?外 D.無法判斷 2.(直線與圓的位置關(guān)系)已知⊙O?的半徑為?3,圓心?O?到直線?L?的距離為?2, 1 則直線?L?與⊙O?的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定 3.(切線的性質(zhì))如圖,AB?是⊙O?的切線,點?B?為切點,若∠?A=30°,則∠?AOB= . 4.(切線長的性質(zhì))如圖所示,PA,PB?是⊙O?的切線,且∠?APB=40°,下列說法 不正確的是( )
5、 ( ⊙ A.PA=PB B.∠?APO=20° C.∠?OBP=70° D.∠?AOP=70° 5.切線的性質(zhì))如圖,直線?AB?與⊙O?相切于點?A,?O?的半徑為?2,若∠?OBA=30°, 則?AB?的長為( ) A.4?3 B.4 C.2?3 D.2 經(jīng)典回顧 考點一?圓的位置關(guān)系 ( 【例?1】?2018?湘西州)已知⊙O?的半徑為?5cm,圓心?O?到直線?l?的距離為?5cm, 則直線?l?與⊙O?的位置關(guān)系為( )
6、A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定 【點撥】直線和圓的位置關(guān)系:若?d<r,則直線與圓相交;若?d=r,則直線于圓 相切;若?d>r,則直線與圓相離. 2 考點二?切線的性質(zhì)與判定 ( 【例?2】?2019?雅安)如圖,已知?AB?是⊙O?的直徑,AC,BC?是⊙O?的弦,OE∥?AC 交?BC?于?E,過點?B?作⊙O?的切線交?OE?的延長線于點?D,連接?DC?并延長交?BA 的延長線于點?F. (1)求證:DC?是⊙O?的切線; (2)若∠?ABC=30°,AB=8,求線段?CF?的長.
7、 【點拔】本題考查了切線的判定和性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,等腰三角 形的性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵. 對應(yīng)訓(xùn)練 1.(2019?廣州)平面內(nèi),⊙O?的半徑為?1,點?P?到?O?的距離為?2,過點?P?可作 ⊙O?的切線條數(shù)為( ) A.0?條 B.1?條 C.2?條 D.無數(shù)條 2.(2019?阜新)如圖,CB?為⊙O?的切線,點?B?為切點,CO?的延長線交⊙O?于 點?A,若∠?A=25°,則∠?C?的度數(shù)是( ) A.25°
8、 B.30° C.35° D.40° 3.(2019?哈爾濱)如圖,PA、PB?分別與⊙O?相切于?A、B?兩點,點?C?為⊙O?上 一點,連接?AC、BC,若∠?P=50°,則∠?ACB?的度數(shù)為( ) 3 A.60° B.75° C.70° D.65° 4.(2019?河池)如圖,PA,PB?是⊙O?的切線,A,B?為切點,∠?OAB=38°,則 ∠?P= °. 5.(201
9、9?鹽城)如圖,在?Rt△ABC?中,∠?ACB=90°,CD?是斜邊?AB?上的中線, 以?CD?為直徑的⊙O?分別交?AC、BC?于點?M、N,過點?N?作?NE⊥AB,垂足為?E. (1)若⊙O?的半徑為?5?,AC=6,求?BN?的長; 2 (2)求證:NE?與⊙O?相切. 中考沖刺 夯實基礎(chǔ) ( 1.?2019?無錫)如圖,PA?是⊙O?的切線,切點為?A,PO?的延長線交⊙O?于點?B, 若∠?P=40°,則∠?B?的度數(shù)為( )
10、 4 A.20° B.25° C.40° D.50° 2.如圖,AB?是⊙O?的直徑,AC?是⊙O?的切線,A?為切點,若∠?C=40°,則∠?B 的度數(shù)為( ) A.60° B.50° C.40° D.30° ( 3.?2019?福建)如圖,PA、PB?是⊙O?切線,A、B?為切點,點?C?在⊙O?上,且∠?ACB =55°,則∠?APB?等于( ) A.55° B.70° C.110° D.12
11、5° 4.(2019?包頭)如圖,BD?是⊙O?的直徑,A?是⊙O?外一點,點?C?在⊙O?上,AC 與⊙O?相切于點?C,∠?CAB=90°,若?BD=6,AB=4,∠?ABC=∠?CBD,則弦 BC?的長為 . 5.(2019?濟寧)如圖,O?為?Rt△ABC?直角邊?AC?上一點,以?OC?為半徑的⊙O?與 斜邊?AB?相切于點?D,交?OA?于點?E,已知?BC= 的面積是 . ,AC=3.則圖中陰影部分 5
12、 6.(2019?陜西)如圖,AC?是⊙O?的直徑,AB?是⊙O?的一條弦,AP?是⊙O?的切 線.作?BM=AB?并與?AP?交于點?M,延長?MB?交?AC?于點?E,交⊙O?于點?D,連 接?AD. (1)求證:AB=BE; (2)若⊙O?的半徑?R=5,AB=6,求?AD?的長. 7.(2019?赤峰)如圖,AB?為⊙O?的直徑,C、D?是半圓?AB?的三等分點,過點?C 作?AD?延長線的垂線?CE,垂足為?E. (
13、1)求證:CE?是⊙O?的切線; (2)若⊙O?的半徑為?2,求圖中陰影部分的面積. 能力提升 8.(2019?煙臺)如圖,AB?是⊙O?的直徑,直線?DE?與⊙O?相切于點?C,過?A,B 分別作?AD⊥DE,BE⊥DE,垂足為點?D,E,連接?AC,BC,若?AD= 則?AC?的長為( ) ,CE=3, 6 3?????????? B. 3???????????? C. 2???
14、???????? D. A.?2?3 3 π 3 π 2?3 3 π 9.(2019?賀州)如圖,在△?ABC?中,O?是?AB?邊上的點,以?O?為圓心,OB?為半 徑的⊙O?與?AC?相切于點?D,BD?平分∠?ABC,AD=?3?OD,AB=12,CD?的長 是( ) A.2?3 B.2 C.3?3 D.4?3 10.(2019?齊齊哈爾)如圖,以△?ABC?的邊?BC?為直徑作⊙O,點?A?在⊙O?上, 點?D?在線段?BC?的延長線上,A
15、D=AB,∠?D=30°. (1)求證:直線?AD?是⊙O?的切線; (2)若直徑?BC=4,求圖中陰影部分的面積. 11.(2019?黃石)如圖,AB?是⊙O?的直徑,點?D?在?AB?的延長線上,C、E?是⊙O 上的兩點,CE=CB,∠?BCD=∠?CAE,延長?AE?交?BC?的延長線于點?F. (1)求證:CD?是⊙O?的切線; (2)求證:CE=CF; (3)若?BD=1,CD= 2?,求弦?AC?的長. 7
16、 第?23?課?圓的證明 課前小測 1.A. 2.A. 3.60°. 4.C. 5.C. 經(jīng)典回顧 考點一?圓的位置關(guān)系 【例?1】B. 考點二?切線的性質(zhì)與判定 【例?2】(1)證明:連接?OC, ∵?OE∥?AC, 8 OC??, ∴?∠?1=∠?ACB, ∵?AB?是⊙O?的直徑, ∴?∠?1=∠?ACB=90°,
17、 ∴?OD⊥BC,由垂徑定理得?OD?垂直平分?BC, ∴?DB=DC, ∴?∠?DBE=∠?DCE, 又∵?OC=OB, ∴?∠?OBE=∠?OCE, 即∠?DBO=∠?OCD, ∵?DB?為⊙O?的切線,OB?是半徑, ∴?∠?DBO=90°, ∴?∠?OCD=∠?DBO=90°, 即?OC⊥DC, ∵?OC?是⊙O?的半徑, ∴?DC?是⊙O?的切線; (2)解:在?Rt△?ABC?中,∠?ABC=30°, ∴?∠?3=60°,又?OA=OC, ∴?△?AOC?是等邊三角形, ∴?∠?COF=
18、60°, 在?Rt△?COF?中,tan∠?COF=?CF ∴?CF=4 3?. 對應(yīng)訓(xùn)練 1.C. 2.D. 3.D. 4.76. 5.解:(1)連接?DN,ON 9 ∵?⊙O?的半徑為?5?, 2 ∴?CD=5 ∵?∠?ACB=90°,CD?是斜邊?AB?上的中線, ∴?BD=CD=AD=5, ∴?AB=10, ∴?BC=?102 62?=8 ∵?CD?為直徑 ∴?∠?CN
19、D=90°,且?BD=CD ∴?BN=NC=4 (2)∵?∠?ACB=90°,D?為斜邊的中點, ∴?CD=DA=DB=?1?AB, 2 ∴?∠?BCD=∠?B, ∵?OC=ON, ∴?∠?BCD=∠?ONC, ∴?∠?ONC=∠?B, ∴?ON∥?AB, ∵?NE⊥AB, ∴?ON⊥NE, ∴?NE?為⊙O?的切線. 中考沖刺 夯實基礎(chǔ) 1.B. 10 2.B. 3.B. 4.2 6?. 5. 6?. 6.(1)證明:∵?A
20、P?是⊙O?的切線, ∴?∠?EAM=90°, ∴?∠?BAE+∠?MAB=90°,∠?AEB+∠?AMB=90°. 又∵?AB=BM, ∴?∠?MAB=∠?AMB, ∴?∠?BAE=∠?AEB, ∴?AB=BE (2)解:連接?BC ∵?AC?是⊙O?的直徑, ∴?∠?ABC=90° 在?Rt△ABC?中,AC=10,AB=6, ∴?BC=8, ∵?BE=AB=BM, ∴?EM=12, 由(1)知,∠?BAE=∠?AEB, ∴?△?AB
21、C∽?△?EAM ∴?∠?C=∠?AME,?EM?=?AM?, AC BC 10??= 8????, 即?12 AM 11 ∴???AD?=?CD?=?BC?, ∴?AM=?48 5 又∵?∠?D=∠?C, ∴?∠?D=∠?AMD ∴?AD=AM=?48?. 5 7.(1)證明:∵?點?C、D?為半圓?O?的三等分點, ? ? ∴?∠?BOC=∠?A, ∴?OC∥?AD, ∵?CE⊥AD, ∴?CE⊥OC, ∴?CE?為⊙O?的切線; (2)解:連接?O
22、D,OC, ∴???AD?=?CD?=?BC?, = COD, 360?? = 3???. ? ? ∴?∠?COD=?1?×180°=60°, 3 ∵?CD∥?AB, ∴ ACD ∴?圖中陰影部分的面積=S 扇形COD= 60p?′?22??2p 能力提升 8.D. 9.A. 10.(1)證明:連接?OA,則∠?COA=2∠?B,
23、 12 = OA?AD=??1 ∴ 2??×2×2???3?=2???3?, 2 ∵?AD=AB, ∴?∠?B=∠?D=30°, ∴?∠?COA=60°, ∴?∠?OAD=180°﹣60°﹣30°=90°, ∴?OA⊥AD, 即?CD?是⊙O?的切線; (2)解:∵?BC=4, ∴?OA=OC=2, 在?Rt△?OAD?中,OA=2,∠?D=30°, ∴?OD=2OA=4,AD=2?3?, 1 OAD ∵∠?COA=60°,
24、 360?? = 3??π, ∴?S 扇形?COA= 60p?′?22??2 3??π. ∴?S 陰影 =?OAD﹣S 扇形?COA=2?3?﹣ 2 11.解:(1)連接?OC, ∵?AB?是⊙O?的直徑, ∴?∠?ACB=90°, 13 ∴?∠?CAD+∠?ABC=90°, ∵?CE=CB, ∴?∠?CAE=∠?CAB, ∵?∠?BCD=∠?CAE, ∴?∠?C
25、AB=∠?BCD, ∵?OB=OC, ∴?∠?OBC=∠?OCB, ∴?∠?OCB+∠?BCD=90°, ∴?∠?OCD=90°, ∴?CD?是⊙O?的切線; (2)∵?∠?BAC=∠?CAE,∠?ACB=∠?ACF=90°,AC=AC, ∴?△?ABC≌?△?AFC(ASA), ∴?CB=CF, 又∵?CB=CE, ∴?CE=CF; (3)∵?∠?BCD=∠?CAD,∠?ADC=∠?CDB, ∴?△?CBD∽?△?DCA, ∴?CD?=?AD?=?AC?, BD CD BC 1???= 2??,
26、 ∴ 2 AD 3???, ∴?DA=2, ∴?AB=AD﹣BD=2﹣1=1, 設(shè)?BC=a,AC= 2?a,由勾股定理可得: a2?+?(?2a)2?=?12?, 解得:a= 3 ∴?AC= 6?. 3 14 15
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