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1、2020年7月14日星期二,1,第二章 投影定理及投影作圖方法,2.1 從屬問(wèn)題,2.2 平行問(wèn)題,2.3 相交問(wèn)題,2.4 垂直問(wèn)題,2.5 最大斜度線,2.6 線段實(shí)長(zhǎng)與傾角的求法,2020年7月14日星期二,2,一.線上取點(diǎn)定理（線上點(diǎn)的投影）,線上點(diǎn)的投影必在線的各同面投影上； 點(diǎn)分割線段之比在各投影中保持不變。,,,,2020年7月14日星期二,3,例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,在,不在,2020年7月14日星期二,4,例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。,解法一：,解法二：,,,,,,,,,,,a,b,,,,,,,,,（應(yīng)用第三投影）,（應(yīng)用定比定理）,2020年7月1
2、4日星期二,5,二.屬于平面上的點(diǎn)和線,先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。,面上取點(diǎn)的方法：,首先面上取線,若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。,位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：,若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。,2020年7月14日星期二,6,,,,,,,例3：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一：,解法二：,有無(wú)數(shù)解！,2020年7月14日星期二,7,例4：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,,n,m,n,m,,,,c,a,b,c,b,,,,,,,,,,
3、,,唯一解！,a,2020年7月14日星期二,8,在給定平面上取投影面的平行線,根據(jù)面上取點(diǎn)取線的作圖法，可在給定平面上任意取各投影面的平行線。,,,,,,,,,,,2020年7月14日星期二,9,例5：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,,,d,d,利用平面的積聚性求解,通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解,,,,2020年7月14日星期二,10,,,,,,b,,c,,k,,,,,,,,,a,d,a,d ,b,c,,,k,,,例6：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。,解法二：,,,c,,解法一：,b,,,,2020年7月14日星期二,11,一. 兩線平行定理（線與線平行）,平行二
4、線的各同面投影均平行； 平行二線的線段長(zhǎng)之比在各投影中保持不變。,2020年7月14日星期二,12,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB與CD平行。,AB與CD不平行。,對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。,2020年7月14日星期二,13,二.線與面平行,線面平行作圖法：若空間有一直線與某一平面平行，則該平面必需包含有一條與空間直線平行的直線；反之，若平面上有一條與空間直線平行的直線，則該面與空間直線平行。,2020年7月14日星期二,14,,,,,,,,g,g,1.過(guò)已知點(diǎn)作線平行已知面,EG/
5、/AC EG//ABC,EF//AB EF//ABC,EH//BC EH//ABC,2020年7月14日星期二,15,,,,,,g,g,2.過(guò)已知點(diǎn)作面平行已知線,EFG//AB,EG//AB,2020年7月14日星期二,16,二面平行作圖法：若要使平面與平面之間互相平行，則此兩平面上必須分別有不平行的兩直線對(duì)應(yīng)平行。反之，若兩平面上分別有不平行的兩直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面必平行。,三.面與面平行,2020年7月14日星期二,17,,,,,,g,g,過(guò)已知點(diǎn)作面平行已知面,EG // AB,EF // AC,EFG//ABC,2020年7月14日星期二,18,一.兩線相交定理,相交二線的各同面
6、投影均相交； 且有一共有的線上點(diǎn)（交點(diǎn)）。,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),,,2020年7月14日星期二,19,,,d,k,,k,,d,,先作正面投影,例1：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。,2020年7月14日星期二,20,例2：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置。,相交嗎？,不相交！,為什么？,交點(diǎn)不符合空間點(diǎn)的投影特性。,判斷方法？,應(yīng)用定比定理,利用側(cè)面投影,2020年7月14日星期二,21,兩線交叉,,為什么？,兩直線相交嗎？,不相交！,交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律！,2020年7月14日星期二,22,1(2),,,同名投影可能相交，但交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。,交點(diǎn)是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可判斷
7、兩線的空間位置。,投影特性：,兩線交叉,2020年7月14日星期二,23,二.線與面相交,直線與平面相交，必有一共有點(diǎn)，即交點(diǎn)。,要在這個(gè)平面上求得這一交點(diǎn)，必需先在平面上取一包含交點(diǎn)的直線。,,,,2020年7月14日星期二,24,,,,,,一般位置線與垂直面相交,垂直線與一般位置面相交,,,2020年7月14日星期二,25,一般位置線與一般位置面相交,1）包含已知線EF作輔助平面R（垂直于某一投影面）；,三步求交法,,,2）求此輔助平面R與已知平面ABC的交線MN；,3）求此交線MN與已知直線EF的交點(diǎn)K。,2020年7月14日星期二,26,可見性判斷,2020年7月14日星期二,27,可
8、見性判斷,重影點(diǎn)法+邏輯推理,線面相交時(shí)，可由重影區(qū)段的端部重影點(diǎn)進(jìn)行； 面面相交時(shí)，可由重影區(qū)域的某一對(duì)重影點(diǎn)進(jìn)行。,,2020年7月14日星期二,28,n,n,一般位置線與一般位置面相交,,,,,,m,m,,,三步求交法,,1)作輔助面RH,2）求RH面與ABC 面的交線MN,3）求MN與EF的交點(diǎn)K,2020年7月14日星期二,29,三.面與面相交,1）兩平面的交線是一條直線。它是雙方的共有部分。 2）只要求得交線上的兩個(gè)共有點(diǎn)，或一點(diǎn)一已知方向，問(wèn)題就解決。 3）求解方法有：三步求交法和三面共點(diǎn)法。,（一）用 “三步求交法”求兩平面交線,1）用“三步求交法”作出一個(gè)平面上的任一直線與另
9、一平面的交點(diǎn)。 2）用“三步求交法”再作出一個(gè)平面上另一直線與另一平面的交點(diǎn)。 3）將這兩點(diǎn)連線即為所求的交線。,有目的地將面面相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面相交問(wèn)題來(lái)逐個(gè)進(jìn)行求解。,2020年7月14日星期二,30,特位面與一般位置面相交,,,,m,n,,,,交線的水平投影,交線的正面投影,2020年7月14日星期二,31,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求EG與ABC面的交點(diǎn)M,求FG與ABC面的交點(diǎn)N,連MN即為交線,判斷可見性,2020年7月14日星期二,32,三面共點(diǎn)法：人為地設(shè)立第三面與之相交。三平面交于一點(diǎn)，此點(diǎn)就是共有點(diǎn)，屬三方共有。第三面應(yīng)是特殊位置平面。,,,,,,,2020年
10、7月14日星期二,33,,用三面共點(diǎn)法求解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PV,QH,,,,,,,,2020年7月14日星期二,34,一.兩線垂直,2020年7月14日星期二,35,直角投影定理：互相垂直的兩直線，若一直線平行于投影面，則這兩直線在該投影面的投影，反映直角。反之，若兩直線的某一投影呈直角，且其中一直線平行于該投影面，則此兩線必垂直。,2020年7月14日星期二,36,若直線垂直于平面，則該線必垂直于平面上的一切直線。,二.直線垂直于平面,線面垂直作圖法：若一直線與一平面垂直，則該線的水平投影必垂直于該面的投影面水平線的水平投影；正面投影必垂直于該面的投影面
11、正平線的正面投影；側(cè)面投影必垂直于該面的投影面?zhèn)绕骄€的側(cè)面投影 。,2020年7月14日星期二,37,1.過(guò)已知點(diǎn)作線垂直于已知面,,,,,,,,,,l,l,2020年7月14日星期二,38,2.過(guò)已知點(diǎn)作面垂直于已知線,h,h,g,g,,,,,,,,,,2020年7月14日星期二,39,三.平面垂直于平面,若一直線垂直于一平面，則包含該線所作的一切平面均與該平面垂直。反之，若二平面互相垂直，則過(guò)第一平面內(nèi)的任一點(diǎn)，向第二平面所作的垂線，必在第一平面上。,2020年7月14日星期二,40,四.雙垂直問(wèn)題,所謂“雙垂直”，是指直線與平面，或平面與平面，在互相垂直的同時(shí)，其中一方又垂直于某投影面。
12、這樣，與投影面垂直的一方，必然在該投影面上產(chǎn)生積聚投影；與此同時(shí)，另一方則必與該投影面平行。,,2020年7月14日星期二,41,2.5 最大斜度線(spurnomal),平面上垂直于該面跡線的直線，稱為最大斜度線。 最大斜度線必與屬于該平面的投影面的平行線垂直。 最大斜度線標(biāo)志著該平面對(duì)于投影面的最大斜度。 最大斜度線對(duì)于投影面的傾角，直接反映了該平面對(duì)于投影面的傾角。,,2020年7月14日星期二,42,作最大斜度線,n,n,e,e,,,,,,,,,,,m,m,mn,MN,,過(guò)C點(diǎn)作面上水平線CE,過(guò)B點(diǎn)作面上的H面的 最大斜度線MN,求MN的實(shí)長(zhǎng)和傾角,2.5 最大斜度線(spurnomal),2020年7月14日星期二,43,2.6 線段實(shí)長(zhǎng)與傾角的求法,由于直線的線段長(zhǎng)與其投影長(zhǎng)度之間存在著余弦（cos）關(guān)系，故可利用直角三角形來(lái)進(jìn)行求解。,2020年7月14日星期二,44,利用直角三角形法求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)V、H的傾角,,,,,,,,AB,,ab,AB,,,AB,,這一方法除求實(shí)長(zhǎng)外，還可用來(lái)求解坐標(biāo)差、投影長(zhǎng)以及傾角的大小。,2.6 線段實(shí)長(zhǎng)與傾角的求法,2020年7月14日星期二,45,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2020年7月14日星期二,46,,,,,,,
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