湘潭大學 劉任任版 離散數(shù)學課后習題答案 習題14

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1、 習題十四 1．試判斷下列語句是否為命題，并指出哪些是簡單命題，哪些是復(fù)合命題。 分析：本題主要是考察命題的定義，只要理解定義即可。 （1）是有理數(shù)。 解：是命題，且為簡單命題 （2）計算機能思考嗎？ 解：非命題 （3）如果我們學好了離散數(shù)學，那么，我們就為學習計算機專業(yè)課程打下了良好的基礎(chǔ)。 解：是命題，且為復(fù)合命題。 （4）請勿抽煙！ 解：非命題。 （5）X+5＞0 解：非命題。 （6）π的小數(shù)展開式中，符號串1234出現(xiàn)奇數(shù)次。 解：是命題，且為簡單命題。 （7）這幅畫真好看?。? 解：非命題。 （8）2050年元旦的那天天氣晴朗。 解：是命題，且為簡

2、單命題。 （9）李明與張華是同學 解：是命題，且為簡單命題。 （10）2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。 解：是命題，且為復(fù)合命題。 2．討論上題中命題的真值，并將其中的復(fù)合命題符號化。 解：（1）F （3）T （6）不知真假 （8）不知真假 （9）真或假，視情況而定 （10）T （3）P：我們學好了離散數(shù)學。Q：我們?yōu)閷W習計算機專業(yè)課程打下了良好的基礎(chǔ)。 P→Q （10）P：2是質(zhì)數(shù)； Q：2是偶數(shù)； P∧Q 3．將下列命題符號化 分析：本題主要是考察命題的符號化，主要是要分清合取、析取、蘊含、等價的使用環(huán)境。 （1）小王很聰明，但不用功 解：P：小王很聰明；

3、Q：小王不用功； P∧Q （2）如果天下大雨，我就乘公共汽車上班。 解：P：天下大雨； Q：我乘公共汽車上班； P→Q （3）只有天下大雨，我才乘公共汽車上班 解：P：天下大雨； Q：我乘公共汽車上班； Q→P （4）不是魚死，就是網(wǎng)破 解：P：魚死； Q：網(wǎng)破； P∨Q （5）李平是否唱歌，將看王麗是否伴奏而定。 解：P：李平唱歌 Q：王麗伴奏 P Q 4．求下列命題公式的真值表： 分析：主要考察真值表。這個最好自己按照一個思路寫出來所有的解釋，不要遺漏。（可以參考二進制來進行給

4、出解釋，例如：P，Ｑ，那么我們可以按照這樣的順序給出解釋：（０，０）（０，１）（１，０）（１，１）） （1）P→(QR) (2)∧（QR） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 5．用真值表方法驗證下列基本等值式 分析：本題主要是通過驗證等值符號兩邊的真值表相同即可。 （1）分配律 解：1） ∴ （2）De Morgen律 ⅰ) ⅱ) ⅰ) ⅱ) (3) 吸收律 ⅰ) ⅱ) ⅰ) ⅱ) 6．用等值演算的方法證明下列等值式： 分析：本題主要是通過所學過的基本等值式來進行等值演算，把

5、某一邊轉(zhuǎn)換到另一邊，或者是兩邊同時等值演算到一個相同的命題公式。 （1） 解： （2） 解： （3） 解： 7．設(shè)A、B、C為任意命題公式，試判斷以下的說法是否正確，并簡單說明之。 分析：本題主要是兩個命題公式的析取、合取、否滿足一定條件，另外的一種情況的結(jié)論是否滿足。成立給出證明，不成立給出反例。 （1）若。 解：不正確。 如A為真，B為假，C為真時， 成立，但不成立。 （2）若。 解：不正確，如A為真，B為假，C為假時，成立，但不成立。 （3）若。 解：成立。，同真時，A、B同假，、假時，A，B同真。 8．下表是含兩個命題變元的所有命題

6、公式F1~F16的真值表，試寫出每個命題公式Fi的最多兩個命題變元的具體形式，i=1,2……16。 分析：本題主要是觀察所給出的真值表，通過兩個命題變元的析取、合取、否、蘊含、等價等基本運算來寫出對應(yīng)的命題公式。 解： 11．求下列命題公式的析取范式和合取范式： 分析：通過所學過的基本等值式經(jīng)過等值演算寫出析取范式、合取范式。 （1） 解：原式（析、合取范式） （2） 原式 ∴為： 又 ∴合取范式為： (3) 解：原式 ∴析、合取范式均為: (4) 解：原

7、式 ∴析、合取范式均為： 12．求下列命題的主析取范式和主合取范式 分析：通過所學過的基本等值式，經(jīng)過等值演算寫出析取范式、合取范式，然后再根據(jù)定理求出對應(yīng)的主析取范式、主合取范式。 （1） 解：原式 ∴主合取式為=M0 ∴主析取式為m1∨m2∨m3= （2） 解：原式 ∴主合取式為：=M0 ∴主析取式為： 即： （3） 解：原式 ∴主合取范式為： =M0 ∧ M2∧ M3∧M4 ∧M5 。 ∴主析取范式為：= 13．通過求主析取范式，證明： 分析：本題主要是通過求主析取范式來證明一個命題公式蘊含另外一個命題公式。這個

8、題目如果沒有要求用主析取范式來證明，我們同時也可以用求主合取范式來證明結(jié)論。 證： ∴兩式的主析取范式相同，即 為真時，亦為真，此時成立 而為假時，不論為何值成立 ∴為重言式 故 14．構(gòu)造下面推理的證明： 分析：本題主要是通過構(gòu)造證明法，依據(jù)所學的基本的蘊含式來證明。 （1）前提： 證論：P 證明：（1）R 前提引入 （2）Q∨R 前提此入 （3）Q 析取三段論（1）、（2） （4）（P∧Q） 前提引入 （5）P∨Q 等值置換（4） （6）P 析取三段論

9、（3）、（5） （2） 前提：P→（Q→S），Q，P∨R 證論：R→S 證明：（1）R 附加前提 （2）P∨R 前提 （3）P 析取三段式（1）、（2） （4）P→（Q→S） 前提 （5）P∨（Q∨S）等價置換（4） （6）Q∨S 析取三段式（3）、（5） （7）Q 前提 （8）S 析取三段式（6）、（7） （3） 前提P→Q ， 結(jié)論：P→（P∧Q） 證明：（1）P 附加前提 （2）P→Q 前提 （3

10、）Q 假言推理（1）、（2） （4） 合取 （4）前提： 結(jié)論： 證明：（1） 前提 （2） 前提 （3） 前提 （4） 構(gòu)造二難性（1）、（2）、（3） （5）前提： 結(jié)論： 證 明：（1） 附加前提 （2） 前提 （3） 析取三段式（1）、（2） （4） 前提 （5） 等值置換（4）

11、 （6） 析取三段式（3）、（5） （7） 前提 （8） 析取三段式（6）、（7） （6）前提： 結(jié)論： 證明：（1） 前提 （2） 簡化（1） （3） 附加（2） （4） 等值置換（3） 15、某公安人員審查一件盜竊案，已知的事實如下： （1）甲或乙盜竊了電視機； （2）若甲盜竊了電視機，則作案的時間不能發(fā)生在午夜前； （3）若乙

12、的口供正確，則午夜時屋里的燈光未滅； （4）若乙的口供不正確，則作案時間發(fā)生在午夜之前； （5）午夜時屋里的燈光滅了。 試利用邏輯推理來確定誰盜竊了電視機。 分析：本題是一個實際應(yīng)用題。通過已知的事實來推斷一個結(jié)論。本題主要是寫出符號化前提、結(jié)論，然后轉(zhuǎn)化為明天邏輯的內(nèi)容。最后根據(jù)前提以及所學過的基本蘊含式以及等值式來證明結(jié)論成立。 解：P：甲盜竊了電視機； Q：乙盜竊了電視機； R：作案時間發(fā)生在午夜前； S：乙的口供正確； T: 午夜時屋里的燈光滅了。 前提： （1）T 前提 （2）

13、 前提 （3）S 拒取式（1）、（2） （4） 前提 （5）R 假言推理（3）、（4） （6） 前提 （7）P 拒取式（5）、（6） （8） 前提 （9）Q 析取三段式 結(jié)論：乙盜竊了電視機。 16、判斷下面的推理是否正確： （1）如果a、b兩數(shù)之積為0，則a、b中至少有一個數(shù)為0。a、b兩數(shù)之積不為 P

14、 Q P ， 所以，a、b均不為零 Q 解：不正確 。因推理形式為： （2）若a、b兩數(shù)之積是負的，則a、b中恰有一個數(shù)為負數(shù)。 則a、b中不是恰 P Q 有一個數(shù)為負數(shù)，所以，a、b兩數(shù)之積是非負的。 解：正確。因推理形式為： （3）如果今天是星期一，則明天是星期三。今天是星期一，所以，明天是星期三。 P Q 解：正確。因推理形式為： （4）如果西班牙是一個國家, 則北京是一個城市。北京是一個城市，所以，

15、西班牙是P Q 一個國家。 解：錯誤。因推理形式為： 17、給出下列定理的證明序列 ① 解：（1） （L1） （2） （L2） (3) (1), (2) , MP (4) L2 (5) (3)、（4）, MP ② 解：（1） L1 （2） L2 （3） MP（1）、（2） （4）

16、 L2 （5） MP（3）、（4） 18、利用演繹定理證明： 1、┝ 解：先證：┝ （1） 假設(shè) （2） L3 （3） （1）,（2）, MP 由演繹定理得：┝ 2、┝ 解：先證：┝ （1） 假設(shè) （2） （1）， 置換 （3）

17、 （1）、（2）, MP （4） （1）、（3）MP 由演繹定理得: ┝ 3、┝ 解：先證 ┝ （1） 假設(shè) （2） L1 （3） （1）、（2），MP （4） L3 （5） （3）、（4），MP （6） L1 （7） （5）、（6），HS