數(shù)學(xué)：第四章《圓與方程》學(xué)案（新人教A版必修2）

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數(shù)學(xué)必修②4.1～4. 2.1教材學(xué)習(xí)解讀 : 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、初步理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義,學(xué)會判定二元二次方程表示圓的條件,能用這些知識求圓的方程. 2、掌握判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法. 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn): 圓的方程, 直線與圓的位置關(guān)系. 難點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件. 三、知識點(diǎn)全解 1、確定圓方程的條件 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，有三個參數(shù)，只要求出這時圓的方程就被確定．因此確定圓方程，需三個獨(dú)立條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件． 確定圓的方程的主要方法有兩種：一是定義法，二是待定系數(shù)法。定義法是指用定義求出圓心坐標(biāo)和半徑長，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；待定系數(shù)法即列出關(guān)于的方程組，求而得到圓的一般方程，一般步驟為： (1)根據(jù)題意，沒所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組； (3)解方程組。求出的值，并把它們代人所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的一般方程． 2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系: 若，則點(diǎn)P在圓上；若,則點(diǎn)P在圓外；若,則點(diǎn)P在圓內(nèi)； 3、二元二次方程是否表示圓的條件： 先將二元二次方程配方得①,(1)當(dāng)時，方程①表示以為圓心，為半徑的圓；(2)當(dāng)時，方程①表示點(diǎn)；（3）當(dāng)時，方程①沒有實(shí)根，因此它不表示任何圖形.當(dāng)方程①表示圓時，我們把它叫做圓的一般方程，確定它需三個獨(dú)立條件且，這就確定了求它的方程的方法——待定系數(shù)法，注意用待定系數(shù)法求圓的方程，用一般形式比用標(biāo)準(zhǔn)形式在運(yùn)算上簡單，前者解的是三元一次方程組，后者解的是三元二次方程組. 4、直線與圓的位置關(guān)系有三種，即相交、相切和相離，判定的方法有兩種: (1)代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來研究。若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即△>O，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即△=0，則相切；若無實(shí)數(shù)解，即△<0，則相離． (2)幾何法：由圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷：當(dāng)<時，直線與圓相交；當(dāng)=時，直線與圓相切；當(dāng)>時，直線與圓相離． 以上兩種方法比較：為避免運(yùn)算量過大，一般不用代數(shù)法，而是用幾何法. 5、直線與圓相切，切線的求法 (1)當(dāng)點(diǎn)在圓上時，切線方程為； (2)若點(diǎn)在圓上，則切線方程為；(3)斜率為且與圓相切的切線方程為：；斜率為且與圓相切的切線方程的求法，可以設(shè)切線為，然后變成一般式，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求． (4)點(diǎn)在圓外面，則設(shè)切線方程為，變成一般式后，利用圓心到直線距離等于半徑，解出，注意若此方程只有一個實(shí)根，則還有一條斜率不存在的直線，務(wù)必要補(bǔ)上． 四、思維誤區(qū)警示 1、本章節(jié)易犯的錯誤是圓的性質(zhì)掌握不夠熟練，從而導(dǎo)致在求方程時，方程列不出來或列不全．因此，建議同學(xué)們復(fù)習(xí)一下初中圓的有關(guān)性質(zhì)． 2、本章節(jié)的題目，其方法—般不止—種，因此方法的選取尤為重要，方法得當(dāng)，則思路清晰，解法簡明。方法不好，計算量大，且易出錯,建議同學(xué)們多注意總結(jié). 第 3 頁 共 3 頁