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1、第六節(jié) 解直角三角形及其應用,考點一 銳角三角函數(shù) (5年3考) 例1(2018德州中考)如圖，在44的正方形方格圖形中， 小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則 ∠BAC的正弦值是 ．,【分析】 先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論．,【自主解答】由勾股定理可得AB2＝32＋42＝25， BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20， ∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90， ∴△ABC為直角三角形， ∴sin∠BAC＝ ＝ .故答案為 .,求三角函數(shù)值的方法 在三角形中求一般角的三角函數(shù)值時，往往需要通過作三角形的高，構造一個
2、包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)的定義解決．在網格圖中求銳角的三角函數(shù)值，要充分利用格點之間連線的特殊位置構造直角三角形，借助勾股定理解答．,1．在正方形網格中，△ABC的位置如圖所示，則cos B的值為( ),B,2．(2018濱州中考)在△ABC中，∠C＝90，若tan A＝ ，則sin B＝ ．,考點二 特殊角的三角函數(shù)值 (5年3考) 例2 在△ABC中，若|sin A－ |＋( －cos B)2＝0， ∠A，∠B都是銳角，則∠C＝ ． 【分析】 根據(jù)絕對值及完全平方的非負性，可得出∠A 及∠B的度數(shù)，再利用三角形的內角和定理即可得出∠C的 度數(shù)．,【自主解答】∵|sin A
3、－ |＋( －cos B)2＝0， ∴sin A＝ ，cos B＝ . 又∵∠A，∠B都是銳角，∴∠A＝45，∠B＝30， ∴∠C＝180－45－30＝105. 故答案為105.,熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法 (1)按值的變化：30，45，60角的正余弦的分母都是 2，正弦的分子分別是1， ， ，余弦的分子分別是 ， ，1，正切分別是 ，1， .,(2)特殊值法 ①在直角三角形中，設30角所對的直角邊為1，那么三邊 長分別為1， ，2； ②在直角三角形中，設45角所對的直角邊為1，那么三邊 長分別為1，1， .,3．(2017煙臺中考)在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2， BC＝ ，則
4、sin ＝ ．,,4．(2016臨沂中考)一般地，當α，β為任意角時， sin(α＋β)與sin(α－β)的值可以用下面的公式求得： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 例如sin 90＝sin(60＋30)＝sin 60cos 30 ＋cos 60sin 30＝ ＝1. 類似地，可以求得sin 15的值是_________．,考點三 解直角三角形 (5年3考) 例3 (2018自貢中考)如圖，在△ABC中，BC＝12，tan A ＝ ，∠B＝30，求AC和AB的長． 【分析】 過點C作CD⊥AB
5、，在直角三角形中求出AD，BD，即可得解．,【自主解答】如圖，過點C作CD⊥AB于點D. 在Rt△BCD中， ∵∠B＝30，BC＝12， ∴CD＝BCsin 30＝6， BD＝BCcos 30＝6 .,在Rt△ACD中，,5．(2018貴陽中考)如圖，A，B，C是小正方形的頂點， 且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為( ),B,6．(2018蘭陵二模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90， CD是邊AB的中線，若CD＝6.5，BC＝12.sin B的值是____．,考點四 解直角三角形的應用 (5年5考) 命題角度? 仰角、俯角問題 例4(2017臨沂中考)如圖，兩座建筑物的水
6、 平距離BC＝30 m，從A點測得D點的俯角α為 30，測得C點的俯角β為60，求這兩座建 筑物的高度．,【分析】過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，在Rt△ADE 中，由題意求出DE的長，在Rt△ACE中，由題意得出CE的長， 進而得出AB的長．根據(jù)CD＝CE－DE即可得解．,【自主解答】如圖，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E. 在△ADE中，∠AED＝90，AE＝30， ∴DE＝AEtan 30＝30 ＝10 . 在△ACE中，∠AEC＝90，AE＝30， ∴CE＝AEtan 60＝30 ， ∴AB＝CE＝30 ，,∴CD＝CE－DE＝30 －10 ＝20 . 答：兩建筑物的
7、高度分別是30 m和20 m.,7．(2015臨沂中考)小強從自己家的陽臺上，看一棟樓頂部的仰角為30，看這棟樓底部的俯角為60，小強家與這棟樓的水平距離為42 m，這棟樓有多高？,解：由題意知，α＝30，β＝60，AD＝42. ∵tan α＝ ，tan β＝ ， ∴BD＝ADtan α＝42 ＝14 ， CD＝ADtan β＝42tan 60＝42 ， ∴BC＝BD＋CD＝14 ＋42 ＝56 . 答：這棟樓高為56 m.,8．(2018聊城中考)隨著我市農產品整體品牌形象“聊勝一籌！”的推出，現(xiàn)代農業(yè)得到了更快發(fā)展．某農場為擴大生產建設了一批新型鋼管裝配式大棚，如圖1，線段AB，BD分別表
8、示大棚的墻高和跨度，AC表示保溫板的長．已知墻高AB為2米，墻面與保溫板所成的角∠BAC＝150，在點D處測得A點，C點的仰角分別為9，15.6，如圖2，求保溫板AC的長是多少米？(精確到0.1米),(參考數(shù)據(jù)： ≈0.86，sin 9≈0.16，cos 9≈0.99，tan 9≈0.16，sin 15.6≈0.27，cos 15.6≈0.96，tan 15.6≈0.28.),解：設AC＝x，在△ABD中，∵tan 9＝ ， ∴BD＝ . 如圖，作CE⊥BD，垂足為點E，作AG⊥CE，垂足為點G.,在Rt△AGC中，∠CAG＝60， AG＝ACcos 60＝ x＝0.5x， CG＝ACsin
9、 60＝ x， ∴ED＝BD－BE＝BD－AG＝ －0.5x. 在Rt△CED中，tan∠CDE＝tan 15.6＝ ，,∴CE＝EDtan 15.6＝( －0.5x)tan 15.6. 又∵CE＝CG＋GE＝ x＋2， ∴( －0.5x)tan 15.6＝ x＋2， 即( －0.5x)0.28＝0.86x＋2， 解得x＝1.5(米)． 答：保溫板AC的長約是1.5米．,命題角度? 坡度、坡角問題 例5 某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為 6 m，坡面BC 的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關部門決定降 低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶ .,(1)求新坡面的坡角α； (2)原天橋底部
10、正前方8 m處(FB的長)的文化墻FM是否需要拆除？請說明理由．,【分析】 (1)由新坡面的坡度為1∶ ，可得tan α＝ ， 然后由特殊角的三角函數(shù)值求得答案； (2)由坡面BC的坡度為1∶1，新坡面的坡度為1∶ ，即可求 得AB的長，則可求得答案．,【自主解答】(1)如圖，過點C作AB的垂線，交直線AB于點D， 則tan α＝ ，∴α＝30.,(2)∵CD＝6，坡面BC的坡度為1∶1，∴BD＝6. 同理AD＝6 . ∵AB＝AD－BD＝6 －6<8， ∴文化墻FM不需要拆除．,解決坡度、坡角問題時的注意點 首先要認真讀題，弄清題意，理解坡度、坡角的實際意義及坡度與坡角的關系，其次是從圖
11、中確定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相關數(shù)據(jù)，正確選擇關系式．,9．(2018棗莊中考)如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的 傾斜角為31，AB的長為12米，則大廳兩層之間的高度為 ______米．(結果保留兩個有效數(shù)字)(參考數(shù)據(jù)：sin 31 ≈0.515，cos 31≈0.857，tan 31≈0.601),6.2,10．(2018邵陽中考)某商場為方便 消費者購物，準備將原來的階梯式自 動扶梯改造成斜坡式自動扶梯．如圖所示，已知原階梯式自 動扶梯AB長為10 m，坡角∠ABD為30；改造后的斜坡式自 動扶梯的坡角∠ACB為15，請你計算改造后的斜坡式自動 扶梯AC的長度．(結
12、果精確到0.1 m．參考數(shù)據(jù)：sin 15 ≈0.26，cos 15≈0.97，tan 15≈0.27),解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30，AB＝10， ∴AD＝AB sin∠ABD＝10sin 30＝5. 在Rt△ACD中，∠ACD＝15，sin∠ACD＝ ， ∴AC＝ ＝ ≈19.2. 答：改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度約為19.2 m.,命題角度? 方向角問題 例6(2016臨沂中考)一艘輪船位于燈塔P南偏西60方向， 距離燈塔20海里的A處，它向東航行多少海里到達燈塔P南偏 西45方向上的B處．(參考數(shù)據(jù)： ≈1.732，結果精確到 0.1),【分析】 延長AB，交南北方向線
13、于點C，則∠ACP＝90，在Rt△ACP中，解直角三角形，然后計算AC－BC即可．,【自主解答】如圖，延長AB，交南北方向線于點C，則∠ACP＝90.,在Rt△ACP中，∠APC＝60. ∵sin ∠APC＝ ， ∴AC＝APsin∠APC＝20 ＝10 . ∵cos∠APC＝ ， ∴CP＝APcos∠APC＝20 ＝10. ∵∠BPC＝45，∴BC＝CP＝10， ∴AB＝AC－BC＝10 －10≈7.3. 答：它向東航行7.3海里到達燈塔P南偏西45方向上的B處．,解決方向角問題的方法 方向角問題應結合實際問題抽象出示意圖并構造三角形，還要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果這些元素不在同
14、一個三角形中或者在同一個斜三角形中，就需要添加輔助線．在解題的過程中，有時需要設未知數(shù)，通過構造方程(組)來求解．這類題目主要考查學生解決實際問題的能力．,11．如圖，在某監(jiān)測點B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15方向的A處，若漁船沿北偏西75方向以40海里/小時的速度航行，航行半小時后到達C處，在C處觀測到B在C的北偏東60方向上，則B，C之間的距離為( ),A．20海里 B．10 海里 C．20 海里 D．30海里,12．(2018青島中考)某區(qū)域平面示意圖如圖，點O在河的 一側，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲勘測員在A處測 得點O位于北偏東45，乙勘測員在B處測得點O位于南偏西 73.7，測得AC＝840 m，BC＝500 m． 請求出點O到BC的距離．參考數(shù)據(jù)： sin 73.7≈ ，cos 73.7≈ ， tan 73.7≈ .,解：如圖，作OM⊥BC于點M，ON⊥AC于點N，,則四邊形ONCM為矩形， ∴ON＝MC，OM＝NC. 設OM＝x，則NC＝x，AN＝840－x. 在Rt△ANO中，∠OAN＝45， ∴ON＝AN＝840－x，則MC＝ON＝840－x， 在Rt△BOM中，BM＝ ＝ x.,由題意得840－x＋ x＝500， 解得x＝480. 答：點O到BC的距離為480 m.,
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