2012-2013高二數學《第一講 坐標系》質量評估(新人教A版)選修4-4

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1、本講質量評估(一) (時間：90分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．在極坐標系中有如下三個結論： ①點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程； ②tan θ＝1與θ＝表示同一條曲線； ③ρ＝3與ρ＝－3表示同一條曲線． 在這三個結論中正確的是 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．①③ B．① C．②③ D．③ 解析　點P在曲線C上要求點P的極坐標中至少有一個滿足C的極坐標方程； tan θ＝1能表示θ＝和θ＝

2、π兩條射線；ρ＝3和ρ＝－3都表示以極點為 圓心，以3為半徑的圓，∴只有③成立． 答案　D 2．已知點M的極坐標為，下列所給出的四個坐標中不能表示點M的坐標的是 (　　)． A. B. C. D. 答案　A 3．點P的直角坐標為(1，－)，則點P的極坐標為 (　　)． A. B. C. D. 解析　因為點P(1，－)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所 成的角為，所以點P的一個極坐標為，排除A、B選項，－＋ 2π＝，所以極坐標所表示的點在第二象限． 答案　D 4．

3、極坐標ρ＝cos表示的曲線是 (　　)． A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．圓 解析　常見的是將方程化為直角坐標方程，可以判斷曲線形狀，由于ρ不恒 等于0，方程兩邊同乘ρ， 得ρ2＝ρcos＝ρ＝ρ(cos θ＋sin θ)， 即ρ＝(cos θ＋sin θ)，ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ. 在以極點為原點，以極軸為x軸正半軸的直角坐標系中， ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 因此有x2＋y2＝(x＋y)，故方程ρ＝cos表示圓． 答案　D 5．在極坐標系中，與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線方程為

4、 (　　)． A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2 C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4 解析　如圖所示，⊙C的極坐標方程為ρ＝4sin θ， CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4，l和圓相切，l交極 軸于B(2，0)，點P(ρ，θ)為l上任意一點， 則有cos θ＝＝，得ρcos θ＝2. 答案　B 6．圓ρ＝(cos θ＋sin θ)的圓心坐標是 (　　)． A. B. C. D. 解析　可化為直角坐標方程＋＝1或化為ρ＝ 2cos，這是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圓的方程． 答案

5、　A 7．極坐標方程ρ＝cos θ與ρcos θ＝的圖形是 (　　)． 解析　ρ＝cos θ兩邊同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ 化為直角坐標方程為x2＋y2－x＝0表示圓，ρcos θ＝表示過點與極軸 垂直的直線． 答案　B 8．化極坐標方程ρ2cos θ－ρ＝0為直角坐標方程為 (　　)． A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1 C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1 解析　ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1， 即x2＋y2＝0或x＝1. 答案　C 9．極坐標方程ρcos θ＝2sin 2θ表

6、示的曲線為 (　　)． A．一條射線和一個圓 B．兩條直線 C．一條直線和一個圓 D．一個圓 解析　ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ， 即ρ2＝4ρsin θ，則θ＝kπ＋或x2＋y2＝4y. 答案　C 10．在極坐標系中，曲線ρ＝4sin關于 (　　)． A．直線θ＝對稱 B．直線θ＝對稱 C．點中心對稱 D．極點中心對稱 解析　化ρ＝4sin可得ρ＝4cos， 表示以為圓心的圓，故曲線ρ＝4sin關于直線θ＝π對稱． 答案　B 二、填空題(本大題共4小題

7、，每小題5分，共20分．請把答案填在題中的橫線上) 11．極坐標方程分別為ρ＝cos θ與ρ＝sin θ的兩個圓的圓心距為________． 解析　兩圓的圓心分別為和，∴圓心距為. 答案　 12．已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<)，則曲線C1與C2交點的極坐標為________． 解析　由(ρ≥0，0≤θ<)， 解得，即兩曲線的交點為. 答案　 13．在極軸上與點的距離為5的點的坐標是________． 解析　設所求點的坐標為(ρ，0)，則 ＝5. 即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求點的坐標為(1，0

8、)或(7，0)． 答案　(1，0)或(7，0) 14．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極坐標為________． 解析　∵ρ＝2sin θ，∴x2＋y2＝2y. ∵ρcos θ＝－1，∴x＝－1，∴兩曲線交點的直角坐標為(－1，1)， ∴交點的極坐標為. 答案　 三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．在同一平面直角坐標系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 解　設變換為代入第二個方程， 得2λx－μy＝4與x

9、－2y＝2比較，將其變成2x－4y＝4，比較系數得λ＝1，μ ＝4. ∴伸縮變換公式為 即直線x－2y＝2圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得 到直線2x′－y′＝4. 16．在直角坐標系中，已知三點P(2，2)，Q(4，－4)，R(6，0)． (1)將P、Q、R三點的直角坐標化為極坐標； (2)求△PQR的面積． 解　(1)P，Q，R(6，0)． (2)S△PQR＝S△POR＋S△OQR－S△POQ ＝×4×6×sin ＋×4×6×sin －×4×4sin ＝14－4. 17．根據曲線的極坐標方程判定曲線類型． (1)ρsincos＝1； (2)ρ

10、2(25－16cos2θ)＝225. 解　(1)∵ρsincos＝1， ∴2ρsincos＝2，即ρsin θ＝2， ∴y＝2，為平行于x軸的直線． (2)將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入 ρ2(25－16cos2θ)＝225得 25x2＋25y2－16x2＝225， ∴9x2＋25y2＝225， ∴＋＝1，為焦點在x軸上的橢圓． 18.設極點O到直線l的距離為d，由點O向直線l作垂線，由極軸到垂線OA的角度為α(如圖所示)．求直線l的極坐標方程． 解　在直線l上任取一點M(ρ，θ)．在直角三角形 OMA中，由三角知識得 ρcos(α－θ)＝d，即ρ＝. 這就是直線l的極坐標方程． 19．(1)在極坐標系中，求以點(1，1)為圓心，半徑為1的圓C的方程； (2)將上述圓C繞極點逆時針旋轉得到圓D，求圓D的方程． 解　(1)設M(ρ，θ)為圓上任意一點，如圖，圓C過極點 O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，則ρ＝|OM|＝2|OK| ＝2cos(θ－1)， ∴圓C的極坐標方程為ρ＝2cos(θ－1)． (2)將圓C：ρ＝2cos(θ－1)按逆時針方向旋轉得到圓D： ρ＝2cos，即ρ＝－2sin(1－θ)， ∴ρ＝2sin(θ－1)為所求． - 7 -