高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修4能力提升：3-2-1 三角恒等變換

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能 力 提 升 一、選擇題 1．函數(shù)y＝sin2xcos2x是(　　) A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù) C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù) [答案]　A [解析]　y＝sin4x，T＝＝. 又f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，它是奇函數(shù)． 2．若f(tanx)＝sin2x，則f(－1)＝(　　) A．－2　　 　 B．－1　　 　 C．0　　　　 D．1 [答案]　B [解析]　f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1. 3.·等于(　　) A．tanα B．tan2α C．1 D. [答案]　B [解析]　原式＝＝＝＝tan2α. 4．已知鈍角α滿足cosα＝－，則sin等于(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　∵α為鈍角，∴sin>0. ∴sin＝＝＝. 5．若＝－，則cosα＋sinα的值為(　　) A．－ B．－ C. D. [答案]　C [解析]　法一：原式左邊＝ ＝ ＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－， ∴sinα＋cosα＝，故選C. 法二：原式＝ ＝ ＝－(sinα＋cosα)＝－， ∴cosα＋sinα＝，故選C. 6．(2012·全國高考山東卷)若θ∈，sin2θ＝，則sinθ＝(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案應(yīng)選D. 另解：由θ∈及sin2θ＝可得 sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋， 而當(dāng)θ∈時(shí)sinθ>cosθ， 結(jié)合選項(xiàng)即可得sinθ＝，cosθ＝.答案應(yīng)選D. 二、填空題 7．已知tan＝，則cosα＝________. [答案]　 [解析]　∵tan＝±， ∴tan2＝. ∴＝，解得cosα＝. 8．函數(shù)f(x)＝2cos2＋sinx的最小正周期是________． [答案]　2π [解析]　化簡得f(x)＝1＋sin(x＋)， ∴T＝＝2π. 9．若sin＝，則tan2x＝________. [答案]　4 [解析]　sin＝－cos2x＝sin2x－cos2x ＝＝＝， 解得tan2x＝4. 三、解答題 10．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α、 β均為銳角，求cos的值． [解析]　∵0<α<，sinα＝， ∴cosα＝＝. 又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π. 若0<α＋β<， ∵>，即sinα>sin(α＋β)， ∴α＋β<α不可能．∴<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－. ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－×＋×＝. 而0<β<，0<<， ∴cos＝＝. 11．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos(＋)的值． [解析]　m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)， ∵π<θ<2π，∴<＋<. ∴cos(＋)<0. 由已知|m＋n|＝，得 |m＋n|＝ ＝ ＝ ＝＝2 ＝2 ＝－2cos(＋)＝， ∴cos(＋)＝－. 12．(2013山東濰坊高一期末)已知cos(π－α)＝， α∈(－π，0)． (Ⅰ)求sinα. (Ⅱ)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值． [解析]　(Ⅰ)∵cos(π－α)＝－cosα＝， ∴cosα＝－， 又∵α∈(－π，0)， ∴sinα＝－＝－. (Ⅱ)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－) ＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos) ＝＋sinα＋sin·cos ＝＋sinα＋sinα ＝＋sinα ＝＋(－)＝.