山東省2019中考數(shù)學(xué) 第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形課件.ppt
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考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定(5年5考)例1如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,DB,添加一個(gè)條件,不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90D.CE⊥DE,【分析】先證明四邊形BCDE為平行四邊形,再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行分析.,【自主解答】∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC.又∵AD=DE,∴DE∥BC,且DE=BC,∴四邊形BCED為平行四邊形.∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴?DBCE為矩形,故A選項(xiàng)不符合題意;,∵對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形,不一定為矩形,故B選項(xiàng)符合題意;∵∠ADB=90,∴∠EDB=90,∴?DBCE為矩形,故C選項(xiàng)不符合題意;∵CE⊥DE,∴∠CED=90,∴?DBCE為矩形,故D選項(xiàng)不符合題意.故選B.,矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用:從邊上看,兩組對(duì)邊分別平行且相等;從角上看,矩形的四個(gè)角都是直角;從對(duì)角線上看,對(duì)角線互相平分且相等,同時(shí)把矩形分為四個(gè)面積相等的等腰三角形.,(2)矩形的判定方法:若四邊形可以證為平行四邊形,則還需證明一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等;若直角較多,可利用“三個(gè)角為直角的四邊形是矩形”來(lái)證.,1.(2018棗莊中考)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值為(),A,2.(2018濱州中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,CD上,若AE=,∠EAF=45,則AF的長(zhǎng)為.,3.如圖,在?ABCD中,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.,(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC∥AB,即DF∥BE.又∵DF=BE,∴四邊形BFDE為平行四邊形.又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90,∴四邊形BFDE為矩形.,(2)∵四邊形BFDE為矩形,∴∠BFC=90.∵CF=3,BF=4,∴BC==5.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC=5,∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA.又∵DC∥AB,∴∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.,考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定(5年3考)例2(2017濱州中考)如圖,在?ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F;再分別以點(diǎn)B,F(xiàn)為圓心,大于BF的相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P;連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形.,(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過(guò)程,求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16,AE=4,求∠C的大?。?【分析】(1)利用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進(jìn)行判定;(2)連接BF,利用菱形的性質(zhì),通過(guò)解直角三角形確定∠OAF的度數(shù),從而可知∠C的度數(shù).,【自主解答】(1)由作圖過(guò)程可知,AB=AF,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAF.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,∴∠AEB=∠EAF,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=AF,∴四邊形ABEF為平行四邊形,∴四邊形ABEF為菱形.,(2)如圖,連接BF.∵四邊形ABEF為菱形,∴BF與AE互相垂直平分,∠BAE=∠FAE,,∵菱形ABEF的周長(zhǎng)為16,∴AF=4,∴∠OAF=30,∴∠BAF=60.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠C=∠BAD=60.,菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí),一是證明四條邊相等;二是先證明它是平行四邊形,進(jìn)而再證明它是菱形.(2)運(yùn)用菱形的性質(zhì)時(shí),要注意菱形的對(duì)角線互相垂直這個(gè)條件;此外,菱形的對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱(chēng)軸,運(yùn)用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值.,4.(2015濱州中考)順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn),所得四邊形必定是()A.鄰邊不等的平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形,D,5.(2018日照中考)如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO.添加下列條件,不能判定四邊形ABCD是菱形的是()A.AB=ADB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO,B,6.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證:AF=DC;(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.,(1)證明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E是AD的中點(diǎn),AD是BC邊上的中線,∴AE=DE,BD=CD.在△AFE和△DBE中,∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC.,(2)解:四邊形ADCF是菱形.證明如下:∵AF∥BC,AF=DC,∴四邊形ADCF是平行四邊形.∵AC⊥AB,AD是斜邊BC的中線,∴AD=BC=DC,∴平行四邊形ADCF是菱形.,考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定(5年3考)例3(2014濱州中考)如圖,已知正方形ABCD,把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到DC′處,連接AC′,BC′,CC′,寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形,并寫(xiě)出推理過(guò)程.,【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定得出相等的邊,從而得出圖中的等腰三角形.【自主解答】圖中的等腰三角形有△DCC′,△DC′A,△C′AB,△C′BC.推理過(guò)程:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90,∴DC=DC′=DA,,∴△DCC′,△DC′A為等腰三角形.∵∠C′DC=30,∠ADC=90,∴∠ADC′=60,∴△AC′D為等邊三角形,∴AC′=AD=AB,∴△C′AB為等腰三角形.∵∠C′AB=90-60=30,∴∠CDC′=∠C′AB,,在△DCC′和△ABC′中,∴△DCC′≌△ABC′,∴CC′=C′B,∴△C′BC為等腰三角形.,判定正方形的方法及其特殊性(1)判定一個(gè)四邊形是正方形,可以先判定四邊形為矩形,再證鄰邊相等或者對(duì)角線互相垂直;或先判定四邊形為菱形,再證有一個(gè)角是直角或者對(duì)角線相等.(2)正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它們的所有性質(zhì).,7.(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)H為BF的中點(diǎn),連接GH,則GH的長(zhǎng)為.,8.已知:如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)G是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DG為邊向右作正方形DGEF,作EH⊥AB于點(diǎn)H.,(1)若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊.試探索:EH-BG的值是否為定值,若是,請(qǐng)求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)連接EB,在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過(guò)程中,求∠EBH的度數(shù).,解:(1)EH-BG的值是定值.∵EH⊥AB,∴∠GHE=90,∴∠GEH+∠EGH=90.又∵∠AGD+∠EGH=90,∴∠GEH=∠AGD.∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形,∴∠DAG=90,DG=GE,∴∠DAG=∠GHE.,在△DAG和△GHE中,∴△DAG≌△GHE(AAS),∴AG=EH.又∵AG=AB+BG,AB=4,∴EH=AB+BG,∴EH-BG=AB=4.,(2)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),同(1)可證得△DAG≌△GHE,∴GH=DA=AB,EH=AG,∴BH=AG=EH.又∵∠GHE=90,∴△BHE是等腰直角三角形,∴∠EBH=45.,②如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),由△DAG≌△GHE,∴GH=DA=AB,EH=AG,∴AG=BH.又∵EH=AG,∴EH=HB.又∵∠GHE=90,∴△BHE是等腰直角三角形,∴∠EBH=45.,③如圖3,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí),同理△DAG≌△GHE,∴GH=DA=AB,EH=AG=AB,∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形,∴∠EBH=45.綜上所述,在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過(guò)程中,∠EBH都等于45.,考點(diǎn)四四邊形綜合題百變例題(2018棗莊中考改編)如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處,過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G,連接DG.,(1)求證:四邊形EFDG是菱形;(2)探究線段EG,GF,AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)若求BE的長(zhǎng).,【分析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DG=GE=DF=EF;(2)連接DE,交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF=GF,然后證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF,于是可得到EG,AF,GF的數(shù)量關(guān)系;,(3)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG,然后在△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng),然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng),最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可.,【自主解答】(1)∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG.∵由翻折的性質(zhì)可知GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,∴∠DGF=∠DFG,∴GD=DF,∴DG=GE=DF=EF,∴四邊形EFDG是菱形.∵四邊形EFDG是菱形,,變式1:如圖,若點(diǎn)G在BE上,AD=10,AB=6,CE=2,將△ABG沿AG折疊,點(diǎn)B恰好落在線段AE上的點(diǎn)H處.求證:(1)∠FAG=45;(2)S△ABG=S△EGH;(3)BG+CE=GE.,證明:如圖,由題意可知,BG=GH,AE=AD=10,AH=AB=6,∠1=∠2,∠3=∠4.(1)∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠BAD=90,∴∠2+∠3=∠BAD=90=45,即∠FAG=45.,(2)∵AE=10,AH=6,∴HE=AE-AH=10-6=4.設(shè)BG=x,∴GH=BG=x,∴GE=AD-BG-EC=10-x-2=8-x.在Rt△GHE中,∵GE2=GH2+HE2,∴(8-x)2=x2+42,∴x=3,即GH=BG=3,,(3)∵GE=8-x=8-3=5,BG+EC=3+2=5,∴BG+CE=GE.,變式2:如圖,矩形ABCD中,AD=10,AB=6,若點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn),連接AM,把∠B沿AM折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,當(dāng)△CMB′為直角三角形時(shí),求BM的長(zhǎng).,解:如圖,當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí),連接AC.在Rt△ABC中,AB=6,BC=10,∵∠B沿AM折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,∴∠AB′M=∠B=90.,當(dāng)△CMB′為直角三角形時(shí),只能得到∠MB′C=90,∴點(diǎn)A,B′,C共線,即∠B沿AM折疊,使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處,∴MB=MB′,AB=AB′=6,∴CB′=2-6.設(shè)BM=x,則MB′=x,CM=10-x,,在Rt△CMB′中,∵M(jìn)C2=MB′2+CB′2,(10-x)2=x2+(2-6)2,,如圖,當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí),此時(shí)四邊形ABMB′為正方形,∴BM=AB=6.綜上所述,BM的長(zhǎng)為或6.,- 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