期權及其二叉樹模型(金融工程-人民大學林清泉).ppt
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第八章期權及其二叉樹模型,金融期權（financialoption）簡稱為期權是主要的金融衍生產(chǎn)品，它是金融工程的主要工具,也是構成金融工程其它金融衍生產(chǎn)品的基礎。,期權合約是買賣雙方簽定的一種協(xié)議，該協(xié)議賦予期權購買者在未來某一時刻以事先約定的價格購買(或出售）某一資產(chǎn)的權利。但是，那時他可以行使他的權利也可以不行使這個權利。,如果到了規(guī)定的時間，而不行使這種權利，則這種權利就失效了。,在協(xié)議中約定購買（或出售）的資產(chǎn)稱為標的資產(chǎn)。購買時間稱為執(zhí)行時間，購買價格稱為執(zhí)行價格。具有購買權利的期權稱為看漲期權，具有出售權利的期權稱為看跌期權。,這一章，首先討論歐式期權及其組合的損益，并以簡明的圖象表示出來。,第二，介紹期權定價的二叉樹模型。,第三，介紹以債券為標的資產(chǎn)的期權。,第四，討論n期二叉樹模型。,最后，討論存在交易費用條件下的二叉樹模型。,第一節(jié)(歐式)期權及其組合的損益,一、（歐式）期權交易到期的損益分析,設執(zhí)行價為X，在期權到期時刻T,股票價格為ST,（一）看漲期權到期日的損益分析,2.看漲期權空頭（賣），（承擔義務）,1.看跌期權多頭(買),(賦予權力),2.看跌期權空頭(賣),(承擔義務),1.看漲期權多頭（買），（賦予權力）,（二）看跌期權到期日損益分析,設股票初始價格為S,期權的執(zhí)行價格為股票初始價格，,二、在(?S,?W)平面上歐式看漲期權和看跌期權的損益表示,,,?W為期權的收益,三、在(?S,?W)平面上,股票和債券的收益:(為了說明問題方便，這里及下面都考慮無風險收益率因素）,令,(一)在(?S,?W)平面上看漲期權多頭和看漲期權空頭的收益,(二)在(?S,?W)平面上看跌期權多頭和看跌期權空頭的收益,(二)債券買賣的收益,1.購入一份股票和一份以此股票為標的看跌期權的收益。,2.賣一份以該股票為標的資產(chǎn)的看漲期權的收益,4.S+P-C損益的數(shù)學表達式：,5.直接從證券組合的最終收益也可說明該組合是無風險證券組合,(三)無風險證券組合的構造:,(一)股票買賣的收益,購入一份股票、一份以此股票為標的看跌期權和賣一份看漲期權,3.購入一份股票的收益,(四)其他期權組合的收益,1.牛市價差買賣(bullishverticalspread)：購買一份執(zhí)行價格為X1的看漲期權，賣出一份執(zhí)行價格是X2的看漲期權，其中X2>X1,2.熊市價差買賣（bearishverticalspread）：賣出執(zhí)行價格為X1的看漲期權，買入一份執(zhí)行價格是X2的看漲期權，其中X2>X1。,3.蝶式價差買賣(butterflyspread）：它是牛市價差買賣與熊市價差買賣的組合，即購入一份執(zhí)行價格為X1和一份執(zhí)行價格為X2的看漲期權，再賣出兩份執(zhí)行價格為X3的看漲期權。其中，X2>X3>X1，且,,4.底部馬鞍式組合（bottomstraddle或買馬鞍式）：購入一份看漲期權和一份看跌期權，執(zhí)行價格均為X,5.頂部馬鞍組合（topstraddle或賣馬鞍式)：賣出一份看漲期權和一份看跌期權，執(zhí)行價格均為X,6.底部梯形組合（Bottomverticalcombination或買入梯形組合)：買入一份看漲期權和一份看跌期權,執(zhí)行價格分別是X1和X2，其中X2>X1。,7.頂部梯形組合（Topverticalcombination或賣出梯形組合)：賣出一份看漲期權和一份看跌期權，執(zhí)行價格分別為X1和X2，其中X2>X1。,8.疊做期權（Straps）：購進兩個看漲期權和一個看跌期權，它們的執(zhí)行價與到期日都相同。,9.逆疊做期權（Strip）：購買兩份看跌期權和一份看漲期權，具有相同的執(zhí)行價和到期日。,10.三明治買賣（sandwich）期權：買兩份執(zhí)行價格為中間的Xm看漲期權,賣一份執(zhí)行價為XL的較低價格的看漲期權,賣一份執(zhí)行價高Xu的看漲期權，即,,11.W型,以例子說明該證券組合：,第二節(jié)期權定價的二叉樹模型,一、期權定價的一期模型,Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權定價模型：設資本市場是競爭的無摩檫的（不存在交易費用),不存在無風險套利機會，股票和期權是無限可分的。下一期的股票價格只取兩種可能的值。,先討論一期模型：,注:條件u>1+r>d必須成立,否則可能出現(xiàn)套利機會。,（一）股票價格的一期變化規(guī)律,（二）以股票為標的期權價格,設以該股票為標的看漲期權的價格為C,執(zhí)行價格為22,則,對此期權如何定價是合理的?為了解決此問題,構造一個無風險套期保值的證券組合：,購買一份股票，賣掉m份期權，這個證券組合的價值：,,由于所構造的證券組合是無風險證券組合，故在期末時它在各狀態(tài)的收益是一樣的。由無風險的證券組合條件，我們有：,,由于所構造的證券組合是無風險證券組合，故有：,（1+r)(S-mC）=uS-mCU,,將m的值代入時,有(m稱為套期保值率hedgeratio),令,,,,p稱為套期保值概率。,事實上,若投資者是風險中性，則有,,由此得,,p=q,所以通常也稱p為風險中性概率,例如:設S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22，求C。,注1.由此可知套期保值證券組合所需要的投資,在期末所得到的無風險收益為22.,,,,,注2.此套期保值的證券組合為,買一份股票,賣一份看漲期權.,注3.投資的回報率22/19.13=1.15=1+r.,注4.由上面推導期權定價的過程可知,期權的價值依賴于存在一個套期保值的證券組合,以及期權的定價是要使此套期保值組合獲得無風險回報率,即債券的回報率.,如果期權價格高了(或者低了),則套期保值證券組合的收益率比無風險收益率高(或低)的回報,無風險套利機會就存在.,期權定價公式三個有趣的性質：,期權的價格不依賴于股票價格上升的概率。盡管投資者對股票上升的概率有不同的判斷,但他仍然只能接受與u，d，X，S，r相關聯(lián)的期權價值，而股票本身是引起投資者對q的不同判斷的根源。,2.投資者對風險的態(tài)度與期權定價公式無關,所得的結果只假設人們偏好更多的財富。,3.股票價格是期權價值唯一依賴的隨機變量。,二、期權定價的二期模型,為了得到多期期權價格公式,首先討論二期模型,設二期無風險利率為r，每期復利一次，則一元錢的投資到二期后有(1+r)2元，設股票的初始價格為S，,與一期模型一樣,為了得到期權的價格，構造無風險套期保值證券組合,從而得到：,,由一期模型得到的Cu,Cd,代入上式有:,,,,,從另一個角度看,上式表明:期權價值等于在風險中性概率下二期收益的期望值折現(xiàn)。,第三節(jié)以債券為標的資產(chǎn)的看漲期權定價的二叉樹模型,1.就債券支付狀態(tài)的變化規(guī)律而言,與股票支付狀態(tài)的變化規(guī)律相反.股票支付狀態(tài)隨著時間的推移逐漸地分叉，如:圖8-35,3.設利率也是取二值的過程：如:圖8-38,,,一、債券價格的二叉樹模型,概述,2.債券支付(收益)在到期日收斂于它的面值,此外多數(shù)債券有票息支付,如:圖8-36及圖8-37,4.設債券面值為D，半年的票息為Ci，i=1,…,2n，若把此債券看成面值與票息分離的債券，則債券的現(xiàn)金流相當于2n份面值為Ci和一份面值為D的零息債券。,(一)風險中性方法,債券價格樹的構造,1.一年期債券的價格樹圖8-39,2.一年半期債券的價格樹圖3-40,（二）利率期限結構模型方法,在（一）中介紹了給定利率期限結構以及半年期利率變化規(guī)律尋找風險中性概率序列并且應用該序列給債券定價的方法。另一種債券定價的方法，稱為利率期限結構模型方法：先固定半年期利率在下一期以同樣的概率分別取兩個值，然后利用利率期限結構模型計算半年期利率值，從而構成一個利率樹。用所得到的利率樹對債券未來的價值折現(xiàn)就可得到債券的價格。如圖8-45,8-46,例[8-8]設初始利率為r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同時假設債券的面值D=100在一年期半內(nèi)每半年支付的紅利10,而每期初債券的價值是期末支付的期望值的折現(xiàn),求債券的價格。如圖8-47,t期債券價格:,二、以債券為標的資產(chǎn)的期權定價,設以例[8-8]中的債券為標的資產(chǎn)、執(zhí)行價X=100的看漲期權,在t時期市場上價格為Ct，它的收益如下：圖8-48,,,若是無風險套期保值，此債券組合在到期時的支付（收益）是一樣的。設看漲期權在t期執(zhí)行，則此債券組合在t+1期時兩個狀態(tài)的收益相等。,為了達到期權定價的目的。與以股票為標的看漲期權定價理論一樣,構造一個無風險套期保值債券組合；購買一份債券，出售m份看漲期權（以該債券為標的的看漲期權）。,Bd,t+1+票息-mCd,t+1=Bu,t+1+票息-mCu,t+1,,由于是無風險債券組合，故有,（Bt-mCt）（1+rt/2）=Bdt+1+票息-mCdt+1,其中rt為無風險利率，將m的值代入上式，我們有：,,,一、二項式及二項分布,二項式試驗(Binomialtrials)：稱試驗結果只有兩個的試驗為二項式試驗。如在拋硬幣試驗中，可能出現(xiàn)的結果只有兩個：正面和反面。硬幣可以是均勻的，也可以不是均勻的。設拋硬幣時出現(xiàn)正面的概率為p，出現(xiàn)反面的概率為1-p.二項分布告訴我們在n次試驗中,出現(xiàn)k次正面的概率為,,,第四節(jié)n期歐式期權的定價模型,記為Pr(k|n)。例如，試驗次數(shù)為3，則出現(xiàn)兩次正面的概率為Pr（2|3）。當試驗次數(shù)不多時，Pr(k|n）的系數(shù)可以借助帕斯卡三角形（Pascal’striangle）。每一行的數(shù)據(jù)都是由前行相鄰的兩數(shù)之和。,二、n期歐式看漲期權的定價公式,試驗次數(shù)帕斯卡三角形01111212131331414641,,出現(xiàn)正面次數(shù)n，n-1，…….n-n,n期歐式看漲期權取值的結果:,,,,,對應概率,CnnpnCnn-1pn-1(1-p),……,Cnn-Kpn-K（1-p）K….Cn0p0(1-p）n,故,,分析結果.,知看漲期權的價值隨著股票的價格上漲，而當執(zhí)行價格升高時,它的價值隨之降低。而且，無風險利率、期權到期期限n、二項分布的方差б2=np(1-p)都影響期權的價值.,,,1.由,3.增加到期期限同樣提高了看漲期權的價格。我們知道看漲期權的價值等于最終收益的折現(xiàn)乘上套期保值的概率。而時間期限的數(shù)值不改變套期保值的概率但他增加的正收益的項數(shù),且二項分布收益的期望值也隨著np的增加而增加。,4.看漲期權價值隨著二項分布方差np(1-p)增加而增加.,第五節(jié)存在交易費用條件下期權定價的二叉樹模型,期權定價的基本思想是構造一個證券組合，使得他在期權執(zhí)行時刻的收益與期權的收益相同，而這個證券組合的初始值就是該期權的合理價格。更加嚴格地說，使得在執(zhí)行時，證券組合價值等于期權價值的所有證券組合中，初始價值最小的那個證券組合，就是套期保值證券組合，其價值就是期權的價格。下面討論另一類二叉樹模型——不可重合的二叉樹模型以及存在交易費用條件下,這一類模型定價問題。,一、不存在交易費用的期權二叉樹定價問題,設股票在0時刻的價格為S(0)=S0，在t=1時刻價格為S(1)是隨機變量，它可能的取值為S11或S12(S12>S11)，在t=2時刻價格為S(2)，它可能取值為S21
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- 期權 及其 二叉 模型 金融 工程 人民大學 清泉
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