2.3醫(yī)用高等數(shù)學

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1、一、微分的概念一、微分的概念1面積改變量的大小面積改變量的大小 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時,其邊長由其邊長由 變化到變化到 ,問此薄片的面積改變了多少問此薄片的面積改變了多少?0 xxx02xS xxx x 2)(x xxxx22)(xxxS2)(2xxx)1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Sx.,很很小小時時可可忽忽略略當當?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx:)1(:)2(2.自由落體運動路程的改變量自由落體運動路程的改變量自由落體路程自由落體路程 與時間與時間 的關(guān)系是的關(guān)系是st221gts 當時間由當時間由 變到時變到

2、時 ,路程路程 有相應(yīng)的改變量有相應(yīng)的改變量0ttt0s202021)(21gtttgs20)(21tgtgt)1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)st.,很很小小時時可可忽忽略略當當?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小tt:)1(:)2(tgts0 xxS2面積改變量面積改變量路程改變量路程改變量共性共性 函數(shù)改變量函數(shù)改變量)(xoxAy)1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)yx.,很很小小時時可可忽忽略略當當?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx:)1(:)2(xAy 問題問題:這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否所有函是否所有函

3、數(shù)的改變量都有數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?既容易計算既容易計算又是較好的又是較好的近似值近似值 定義定義2-2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義,及及 在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量可表示為如果函數(shù)的增量可表示為)(xfy 0 xxx0)(xoxAyxAdyxx0其其 是不依賴于是不依賴于 的常數(shù)的常數(shù),而而 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小,那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 在點在點 是可微的是可微的,叫做函數(shù)叫做函數(shù) 在點在點 相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量 的微分的微分,記作記作 ,即即Ax)(xo x)(xfy 0 xxA)(xfy0 xx0 xxdy

4、函數(shù)函數(shù) 在任意點在任意點 處的微分處的微分,稱為函數(shù)的微分稱為函數(shù)的微分,記為記為 或或)(xfy xdy)(xdfxAdy由定義知由定義知:;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量 xdy;)()2(高高階階無無窮窮小小是是比比 xxodyy;,0)3(是是等等價價無無窮窮小小與與時時當當ydyA dyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA).(,)5(線性主部線性主部很小時很小時當當dyyx)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x.,的增量的增量縱坐標對應(yīng)縱坐標對應(yīng)就是切線就是切線標增量時標增

5、量時曲線的縱坐曲線的縱坐是是當當dyyxx0 P.,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點點很很小小時時當當 微分的幾何意義微分的幾何意義).(,)()(000 xfAxxfxxf且且可可導導處處在在點點數(shù)數(shù)可可微微的的充充要要條條件件是是函函在在點點函函數(shù)數(shù)證明證明(1)必要性必要性可可微微在在點點0)(xxf)(xoxAyxxoAxy)(xxoAxyxx)(limlim00則則A).(,)(00 xfAxxf且且可可導導在在點點即即函函數(shù)數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導導即即:二、微分與導數(shù)的關(guān)系二、微分與導數(shù)的關(guān)系(2)充分性充分性),()(0 x

6、xxfy從而從而可導可導在點在點函數(shù)函數(shù)0)(xxf)(lim00 xfxyx)0(0 x)()(0 xoxxf.)(,)(00Axfxxf且且可可微微在在點點函函數(shù)數(shù)xxfxAdy)()(0 xfxy即即.,xdxdxxx即即記記作作稱稱為為自自變變量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自變變量量dxxfdy)()(xfdxdy.微微商商導導數(shù)數(shù)也也叫叫的的導導數(shù)數(shù)之之商商等等于于該該函函數(shù)數(shù)與與自自變變量量的的微微分分即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分dxdy解解xxdy)(3xx 2302.02202.023xxxxxxdy24.0.02.0,23時的微分時的微分當當求函數(shù)求函數(shù)xxxy例例2

7、-292-29基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221三、三、微分的基本公式與法則微分的基本公式與法則dxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx2211)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvu

8、ddxxxarcddxxxd2211)cot(11)(arctan解解2221xxexxeydxexxedyxx2221解解)(cos)(cos3131xdeedxdyxxxxeexxsin)(cos 3)(3131dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131dxxxex)sincos3(31.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè)例例2-302-30.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè)例例2-312-31;)(,)1(dxxfdyx是是自自變變量量時時若若則則的的可可微微函函數(shù)數(shù)即即另另一一變變量量是是中中間間變變量量時時若若),(,)2(txtx)()(xfxfy有有導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)

9、dttxfdy)()(dxdtt)(.)(dxxfdy結(jié)論結(jié)論：的的微微分分形形式式總總是是函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論)(,xfyx微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)(四、一階微分形式不變性四、一階微分形式不變性解解2 bxaxueyuduedyu)()(2bxaxdeu.,2dyeybxax求求設(shè)設(shè)例例2-322-32dxbxaebxax)2()(2.),2ln(2dyxxy求求設(shè)設(shè)例例2-332-33)2(2122xxdxxdy解解dxxxx2122主要內(nèi)容主要內(nèi)容微分的定義微分的定義微分的幾何意義微分的幾何意義:切線縱坐標的改變量切線縱坐標的改變量可導與可微的關(guān)系可導與可微的關(guān)系:可導可導 可微可微微分公式微分公式一階微分形式不變性一階微分形式不變性的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyxdxxfdy)(