廣東工業(yè)大學考試試卷08高等數(shù)學B卷及答案.pdf
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廣東工業(yè)大學試卷用紙,共 2 頁,第 頁 學 院 : 專業(yè): 學號: 姓名: 裝 訂 線 廣東工業(yè)大學考試試卷 ( B ) 課程名稱 : 高等數(shù)學 A(1) 試卷滿分 100 分 考試時間 : 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期一 ) 題 號 一 二 三 四 五 六 七 總分 1 2 3 4 評卷得分 評卷簽名 復核得分 復核簽名 一、填空題:(每小題 4 分,共 20 分) 1. )0,0( 14lim ???????? ???? baaxax bx x = . 2. 設 )(xyy? 是由方程 xyexy cos2 ?? 所確定的隱函數(shù),則 ?dy . 3. 設 )(xf 可導 , 則 x fxfx )2()22(lim 0 ??? = . 4. ? ??? dx x xxfx ]ln)([ 2 = . 5. ?? ??? ???? ?? ? 01,)1ln ( 0,)( 1 1 xx xexf x 有第一類間斷點 ; 第二類間斷點 二、選擇題:(每小題 4 分,共 20 分) 1. 設函數(shù) ?? ??? ? ???? 0,0 0,12s i n)( 2 x xxexxf ax 在 0?x 處連續(xù) , 則 )(?a . A. 2 B. 2? C. 21 D. 21? 2. 函數(shù) 71862 23 ???? xxxy 的 極大值為( ) . A. 17 B. 17? C. 24 D. 24? 廣東工業(yè)大學試卷用紙,共 2 頁,第 頁 3. 極限 2 0 0 )1ln(lim x dttx x ? ? ? 的值等于 ( ) . A. 1 B. 1? C. 21? D. 21 4. 定 積分 ? ? ???? dxxxx )s in||2c o s1( 的值等于 ( ) . A. 22 B. 0 C. 24? D. 24 5. 微分方程 xxxyy sin2co t ??? 滿足初始條件 4 2 2 ?? ??xy 的特解為 ( ) A. xxy sin2? B. xxy sin2?? C. xxy cos2? D. xxy cos2?? 三、計算題 ( 每小題 7 分,共 28 分 ) 1. 求由參數(shù)方程 ?? ??? ?? ? ?t t ety ex 2 所確定的函數(shù)的二階導數(shù) 22 dxyd . 2. 求曲線 12 ??? x xxy 的凹凸區(qū)間和拐點 . 3. 計算定積分 ? ?1 0 22 xdxx . 4. 求微分方程 xeyyy 5834 ?????? 的通解 . 四、 ( 8分) 證明 :當 4?x 時 , 22 xx? . 五、 ( 8 分 ) 若對任意 0?x ,曲線 )(xfy? 上的點 ))(,( xfx 處的切線在 y 軸上的截距 等于 ?x dttf x 0 )(1 ,求 )(xf 的一般表達式 . 六、 ( 8 分) 設 )(xf 在 ]0[ a, 上連續(xù) , 在 ),( a0 內(nèi)可導 ,且 0)( ?af 證明 : 存在 ),( a0?? ,使得 0)()( ??? ??? ff . 七、 ( 8分) 求曲線 xy ln? 在區(qū)間 )6,2( 內(nèi)的一條切線 , 使得該切線與直線 2?x , 6?x 和曲線 xy ln? 所圍成的平面圖形面積最小 . 共 6 頁,第 頁 學 院: 專 業(yè): 學 號: 姓 名 : 裝 訂 線 廣東工業(yè)大學考試 答題紙 課程名稱 : 高等數(shù)學 A(1) 試卷滿分 100 分 考試時間 : 2008 年 1 月 14 日 (第 20 周 星期 一 ) 題 號 一 二 三 四 五 六 七 總分 1 2 3 4 評卷得分 評卷簽名 復核得分 復核簽名 一、填空題:(每小題 4 分,共 20 分) 1. abe3 ; 2. dx xey yexdy xy xy ??? 2s in ; 3. )(22f?? ; 4. Cxxfxfx ???? 221 )( ln)()( ; 5. 10 ?? xx ; 二、選擇題:(每小題 4 分,共 20 分) 1 2 3 4 5 B A C D A 三、計算題 ( 每小題 7 分,共 28 分 ) 1. 解 : 方法一: tt edtdxedtdy 221 ??? ? , ( 2 分) t t e e dt dx dt dy dx dy 22 1 ???? ( 4 分) 共 6 頁,第 頁 dt dx dx dy dt d dx yd )(? 2 2 ( 5 分) tt tttt ee eeee 24 22 2 14 142 ?????? ?? )( ( 6 分) t t e e54 23??? ( 7 分) 方法 二 : tttt edt xdedt ydedtdxedtdy 222222 421 ?????? ?? ,,, ( 2 分) 32 2 )( x xyxydx yd ? ???????? ( 5 分) t tttt e eeee 6 22 8 142 )( ?? ????? ( 6 分) t t e e54 23??? ( 7 分) 2. 解 : , )( 22 2 1 11 ? ????? x xy ( 1 分) , )( )( 32 2 1 32 ? ???? x xxy ( 2 分) 00 ???? xy 得令 以及 y? 不存在點 1??x ( 3 分) 列表討論如下 : x (??,?1) ?1 (?1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +?) y? ? + ? + y 凸 無定義 凹 0 凸 無定義 凹 共 6 頁,第 頁 曲線的凸區(qū)間 : ),(),( 101 ???? (或 ],(),( 101 ???? ) ( 4 分) 曲線的凹區(qū)間 ),(),( ??? 101 ? (或 ),(],( ??? 101 ? ) ( 5 分) 曲線有拐點 : (0, 0) ( 7 分) 3. 方法一: 令 22 xxy ?? , 則 1102 2222 ?????? yxxyx )(, ( 2 分) 由定積分 的幾何意義 ,該積分表示以( 1, 0)為圓心, 半徑為 1 的圓的面積的四分之一, ( 5 分) 即 dxxx? ?1 0 22 = ?41 ( 7 分) (說明:圖錯扣一分; 沒有圖,但答案對,不扣分;如直接得答案,扣 2 分 ). 方法二: dxxx? ?1 0 22 dxx? ??? 10 211 )( ( 4 分) dttttx ?? ??? 0 2 211 ? c o ss i ns i n令 ( 5 分) dtt?? ?? 0 2 2121 ? )c o s( ( 6 分 ) 0 2 22121 ???? )s in( tt 4?? ( 7 分) 方法三: dxxx? ?1 0 22 102121 )( a r c s in xxx ??? ( 5 分) 4?? ( 7 分) 共 6 頁,第 頁 4. 解 : 特征方 程為 : 0342 ??? rr , ( 1 分) 特征根 : 13 21 ?? rr , ( 3 分) 齊次方程的通解為 : xx eCeCY 231 ?? ( 4 分) 由于 5?? 不是特征根 ,且 8?)(xPm 故可設原方程的一個特解為 : xAey 5?* ( 5 分) 將其代入原方程得 : xx eAe 55 88 ? ,解得 : 1?A ( 6 分) 所以 xey 5?* , 從而求得原方程的通解為 xxx eeCeCy 5231 ??? ( 7 分) 四 、 ( 8 分) 證明:方法一:令 22 xxf x ??)( , 04 ?)(f ( 1 分) xxf x 222 ?? ln)( , 082164 ??? ln)(f ( 2 分) 222 2 ?? )(ln)(" xxf ( 3 分) 當 4?x 時 , 0?)(" xf ( 5 分) 所以 )( xf 單調(diào)增加,于是當 4?x 時 , 04 ?? )()( fxf ( 6 分) 因此 )(xf 單調(diào)增加,故當 4?x 時, 04 ?? )()( fxf ( 7 分) 即當 4?x 時, 22 xx ? ( 8 分) 方法二:令 xxxf lnln)( 22 ?? , 04 ?)(f ( 1 分) xxf 22 ?? ln)( , 02124 ??? ln)(f ( 3 分) 022 ?? xxf )(" ( 5 分) 所以 )( xf 單調(diào)增加,于是當 4?x 時, 04 ?? )()( fxf ( 6 分) 因此 )(xf 單調(diào)增加,故當 4?x 時, 04 ?? )()( fxf ( 7 分) 共 6 頁,第 頁 即當 4?x 時, xx lnln 22 ? , 亦即 4?x 時, 22 xx ? ( 8 分) 方法三:令 xxxf ln)( ? ,則 21 x xxf ln)( ?? ( 3 分) 令 0?)( xf , 得 ex? , 當 ex? 時, 0?)( xf , 從而 )(xf 單減 ( 5 分) 所以當 xe ??4 時, )()( xff ?4 , xxlnln ?44 , 即 xxlnln ?22 ( 7 分) 亦即當 4?x 時, 22 xx ? ( 8 分) 五 、 ( 8 分) 解:設曲線過 ))(,( xfx 點的切線方程為: ))(()( xXxfxfY ???? ( 2 分 ) 當 0?X 時, 得該切線在縱軸上的截距為: )()( xfxxfY ??? 根據(jù)題意有: ???? x dttfxxfxxf 0 )(1)()( ( 4 分 ) 上式兩邊同乘 x , 求導并整理得: 0)()( ????? xfxxf ( 6 分 ) 令 )()( xpxf ?? , 上式可化為 0??? pxp , 求得 xcp 1? ( 7 分 ) [或由 0))((0)()( ???????? xfxdxfxxf , 故 1)( cxfx ?? ( 7 分 ) ] 即 xcxfy 1)( ???? , 從而 21 ln cxcy ?? ( 8 分 ) 六 、 (8 分 ) 證明 : 設 )( xxfxF ?)( ( 2 分 ) 由題目所給條件知 : ][)( axF ,在 0 上連續(xù) ,在 ),a0( 內(nèi)可導 , 于是由拉格朗日中值定理有 : )())(()()( 100 0 ???????aFa FaF ????? ?? ( 4 分 ) 又由題目所給條件有 : .)( 0?af 共 6 頁,第 頁 000 ??? )(;)() FaafaF (有 ? ? )()]()([)]([ ???? ?? ffxxfxfxxfF xx ????? ??)(’又 ( 7 分 ) 代入( 1)式得 : .)()( 0?? ??? ff 證畢。 ( 8 分 ) 七、( 8 分)解: 如圖所示: 設所求切線與曲線 xy ln? 相切于點 )ln,( cc , 則切線方程為: )(ln cxccy ??? 1 ( 2 分) 又切線與直線 6,2 ?? xx 和曲線 xy ln? 所圍成的平面圖形的面積為 ? ???? 62 1 dxxccxcA ]lnln)([ ( 5 分) 226644144 lnlnln)( ?????? cc ( 6 分) 由于 ),( c cccdcdA ?????? 44416 22 令 0?dcdA , 解得駐點 4?c . 當 4?c 時 , 0?dcdA , 而當 4?c 時 , 0?dcdA ( 7 分) 故當 4?c 時 , A 取得極小值 . 由于駐點唯一 , 故當 4?c 時 , A 取得最小值 . 此時切線方程為: 4141 ln??? xy . ( 8 分) 1 xo y 231 2 1? 456 7 3 lnyx? 2x? 6x? (,ln)cc- 配套講稿:
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