2.5矩陣的秩及其求法【沐風(fēng)教學(xué)】

《2.5矩陣的秩及其求法【沐風(fēng)教學(xué)】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2.5矩陣的秩及其求法【沐風(fēng)教學(xué)】（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法第五節(jié)矩陣的秩及其求法 第二章 三、滿秩矩陣三、滿秩矩陣 第四節(jié)我們發(fā)現(xiàn)，矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化第四節(jié)我們發(fā)現(xiàn)，矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化成的階梯型矩陣不唯一，但是與其等價(jià)的階梯型矩成的階梯型矩陣不唯一，但是與其等價(jià)的階梯型矩陣非零行行數(shù)一樣，臺(tái)階的形狀相同。這反映了矩陣非零行行數(shù)一樣，臺(tái)階的形狀相同。這反映了矩陣什么性質(zhì)呢？陣什么性質(zhì)呢？1優(yōu)講課堂1.k 階子式階子式定義定義1 設(shè)設(shè) nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1(nmkk稱為稱為A的一個(gè)的一個(gè)k 階子式。階子式。階階行列式行列式，處元素

2、按原相對(duì)位置組成的處元素按原相對(duì)位置組成的一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念設(shè)設(shè)110145641321A，例如例如矩陣矩陣A 的第一、三行，第二、四列相交處的元素的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為所構(gòu)成的二階子式為10122D2優(yōu)講課堂設(shè)設(shè)110145641321A，共有共有182423CC個(gè)二階子式，有個(gè)二階子式，有43334CC個(gè)三階子式。個(gè)三階子式。例如例如而1015643213D為為 A 的一個(gè)三階子式。的一個(gè)三階子式。顯然，顯然，nm矩陣矩陣 A 共有共有knkmcc個(gè)個(gè) k 階子式。階子式。3優(yōu)講課堂2.矩陣的秩矩陣的秩nmijaA設(shè)，有有r 階子式不為階子

3、式不為0 0，任何任何r+1階階記作記作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的話的話)全為全為0,定義定義2稱稱r為矩陣為矩陣A的秩，的秩，二、矩陣秩的二、矩陣秩的求法求法1、子式判別法、子式判別法(定義定義)。例例1為階梯形矩陣，為階梯形矩陣，求R(B)。解解01021，由于由于二階子式不為二階子式不為0，所以所以 R(B)=2.1021B4優(yōu)講課堂010010100321A例例2求R(A)。5解：解：存在一個(gè)三階子式不為存在一個(gè)三階子式不為0，所以所以 R(A)=3.01100010321 A沒(méi)有沒(méi)有4階子式，階子式，5優(yōu)講課堂例如例如 100010011C 3CR12503

4、4000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地，一般地，行階梯形矩陣的秩等于其行階梯形矩陣的秩等于其“臺(tái)階數(shù)臺(tái)階數(shù)”非零行的行數(shù)。非零行的行數(shù)。6優(yōu)講課堂aaaA111111,3AR如果1a求 a.解解 3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例例3 設(shè)設(shè)分析：R（A)3,A所有的3階子式為零，即A的行列式為零。7優(yōu)講課堂KKKKA111111111111 3AR則K3例例3311111113(1)(3)111111KAKKKKK0 31 KK或或 11111111111111111AK時(shí)，時(shí)，A有非零的1階子式，但A所有的2階子式都為0，所以R（

5、A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4階子式為零，即A的行列式為零。8優(yōu)講課堂2、用初等變換法求矩陣的秩、用初等變換法求矩陣的秩定理定理1 矩陣初等變換不改變矩陣的秩矩陣初等變換不改變矩陣的秩。即BA則則)()(BRAR注：注：jirr.1只改變子行列式的符號(hào)。只改變子行列式的符號(hào)。irk.2是是 A 中對(duì)應(yīng)子式的中對(duì)應(yīng)子式的 k 倍。倍。jikrr.3是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。第二種求矩陣第二種求矩陣A的秩方法：的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行數(shù)，）等于非零行行數(shù)，)()(BRARBA階梯型矩陣階梯型矩陣9優(yōu)講課堂例例4211163124201A

6、解解R(A)=2 000021104201，21102110420113rr 122rrA求.AR10優(yōu)講課堂求矩陣求矩陣 13142781221124A的秩。的秩。解解1314278112422121rrA91009100910022124141312rrrrrr,00000091002212423Brrrr所以所以R（A）=2。例例511優(yōu)講課堂,2,6352132111，求）（且設(shè)ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例例612優(yōu)講課堂Ex1.,31302140111512012211 A設(shè)設(shè)求矩陣求矩陣A 的秩，并求的秩

7、，并求A 的一個(gè)最高階非零子式。的一個(gè)最高階非零子式。解解先求先求A 的秩，對(duì)的秩，對(duì)A 作初等行變換化為行階梯形：作初等行變換化為行階梯形：31302140111512012211A000002220015120122112241413rrrrrr故故R（A）=3。13優(yōu)講課堂再求再求A 的一個(gè)最高階非零子式。的一個(gè)最高階非零子式。因因R（A）=3，知，知A 的最高階非零子式為的最高階非零子式為 3 階，階，返回易計(jì)算易計(jì)算A 的前三行構(gòu)成的子式的前三行構(gòu)成的子式因此這個(gè)子式便是因此這個(gè)子式便是A 的一個(gè)最高階子式。的一個(gè)最高階子式。,04011120211 14優(yōu)講課堂三、滿秩矩陣三、滿秩

8、矩陣,nAR稱稱 A 是是滿秩陣滿秩陣，（，（非奇異矩陣非奇異矩陣）,nAR稱稱 A 是是降秩陣降秩陣，（，（奇異矩陣奇異矩陣）可見(jiàn)可見(jiàn)：0AnARA 為為 n 階方陣時(shí)，階方陣時(shí)，定義定義3對(duì)于滿秩方陣對(duì)于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：又根據(jù)初等陣的作用：每對(duì)每對(duì)A施行一次初等行變換，施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘A,由此得到下面的由此得到下面的定理定理.定理定理2設(shè)設(shè)A是滿秩方陣，則存在一系列初等方陣是滿秩方陣，則存在一系列初等方陣.,21sPPP使得使得EAPPPPss121,15優(yōu)

9、講課堂例例7213212321A 320430321321312rrrr 32043000131rrErr 10001000132 3ARA為滿秩方陣。為滿秩方陣。此過(guò)程相當(dāng)于此過(guò)程相當(dāng)于A 32011000132rr 3201100011132rr)()(100110001223rr)()(212313 EE)31()32(EE)()(1312 EE)(223 E)(32 EE 16優(yōu)講課堂17關(guān)于秩的一些結(jié)論（熟記）：關(guān)于秩的一些結(jié)論（熟記）：規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩為零矩陣的秩為 0.(1)根據(jù)行列式的性質(zhì)，根據(jù)行列式的性質(zhì)，()().TR AR A(2)A為mn矩陣,0 R(A)min

10、m,n .定理定理3 3 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。設(shè)設(shè)A是是nm矩陣，矩陣，B是是tn矩陣，矩陣，定理定理4 4).()()(ABRnBRAR 推論推論1 1 如果如果 A B=0 則則.)()(nBRAR推論推論2 2 如果如果 R(A)=n,A B=0 則則 B=0。推論推論3 3 若若A,B均為均為 nm矩陣，則矩陣，則).()()(BRARBAR17優(yōu)講課堂設(shè)設(shè)A為為n n階矩陣，證明階矩陣，證明R（A+E）+R（A-E）n證：證：R（A+E）+R（E-A）R(A+E)-(A-E)=R（2E）=n R（A+E）+R（A-E）n例例8

11、推論推論3 3 若若A,B均為均為 nm矩陣，則矩陣，則).()()(BRARBAR18優(yōu)講課堂作業(yè)作業(yè)P109 1 2 319優(yōu)講課堂性質(zhì)性質(zhì)1 1).()()(ABRnBRAR BEOAEOBEOEABA證明：證明：EOBE因?yàn)橐驗(yàn)樗运?OEABOROEABARBEOARBRAR)()(nABRERABR )()()(20優(yōu)講課堂定理定理5 5 21優(yōu)講課堂22 定理 A是一個(gè)sn矩陣,如果P是ss可逆矩陣,Q是nn可逆矩陣,那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)證明:由定理定理2有 秩(A)=秩(P-1PA)秩(PA)秩(A)即 秩(A)秩(PA)同理可證 秩(A)=秩(AQQ-1）秩(AQ)秩(A)秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ)22優(yōu)講課堂