思維特訓 四邊形中幾種輔助線的小結(jié)

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1、思維特訓（三）四邊形中幾種 輔助線的小結(jié) 思維特訓(三)四邊形中幾種輔助線的小結(jié) 1 -截長補短法：通過將最長線段截成較短 的兩局部或?qū)⑤^短線段延長構(gòu)造全等三角形解 決線段的和差倍分問題. 2- 在三角形中，一邊的中點，常在另一邊 上找一中點，從而構(gòu)造中位線解決問題. 3- 在直角三角形中，常作斜邊上的中線得 等腰三角形，然后利用圖形的性質(zhì)等解決問題. 類型一連接對角線解決問題 1 -如圖3-S-1，在四邊形ABCD中，AB //CD，點E，F(xiàn)在對角線AC上，且ZABF= ZCDE，AE=CF. (1) 求證：△ABF^^CDE； (2) 當四邊形ABC^滿足什么條件時，四邊

2、形BFDE是菱形？為什么？ 圖3-S-1 2 -如圖 3-S-2， 邊形ABCD和四邊形 DEFG都是正方形，點E G分別在AD，CD上， 連接 AF，BF，CF. ⑴求證：AF=CF； (2)假設^^j^=35°，求ZBFC的度數(shù). 圖 3-S-2 類型二截長補短法解決線段問題 3 -如圖3-S-3，在正方形ABCD中，卩 是AB的中點，連接DP，過點B作BE丄DF交 DP的延長線于點E，過點A作AFYAE交DP 于點F，連接BF. (1)假設AE=1，求EF的長； ⑵求證：PF=EP+EB. 圖 3-S-3 4 -如圖3-S-4，E是正方形ABCD的邊 BC上

3、的一點，ZDAE的平分線AF交BC的延 長線于點F，交CD于點G. (1)假設 AB=8，BF=16，求 CE 的長； ⑵求證:AE=BE+DG. 圖 3-S-4 5 -在正方形 ABCD 中，ZMAN=45° ，Z MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB， DC(或它們的延長線)于點M，N，丄MN于 點H. (1)如圖3—S—5①，當ZMAN繞點A旋轉(zhuǎn) 到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù) 量關(guān)系: ⑵如圖②，當乙MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到 還成立嗎？如果不成立 請寫出理由；如果成立， 請證明. ⑶如圖③，ZMAN=45° ，AH丄MN于點 H，且MH=2，NH=3，求

4、AH的長.(可利用 (2)中得到的結(jié)論) 圖 3-S-5 類型三構(gòu)造三角形的中位線解決問題 6 ?如圖3-S-6，在四邊形ABCD中，AC 丄 BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn) 分別為 AB， CD的中點，求EF的長. 圖 3-S-6 7 -如圖 3—S—7，在△ABC 中，AD 是 BC 1 邊上的中線，點F在AC上，AF=2FC，AD與 BF相交于點E?求證：E是AD的中點. 圖 3-S-7 類型四 構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線解 決問題 8 -如圖 3-S-8，ZABC=ZADC=90° ， M N分別是邊AC，BD的中點?求證:MN丄BD? 圖 3-S-8

5、 9 -如圖 3-S-9，在 RtAABC 中，ZC= 90°，點E在邊AC上，AB=》E，AD〃BC? 求證:ZCBA=3ZCBE. 圖 3-S-9 詳解詳析 1?解：⑴證明：IAB〃CD，???ZBAC= ZDCA. ?:AE=CF，???AE+EF=CF+EF，即 AF =CE. 在△A/F和ACDE中， ZBAC=ZDCA，ZABF=ZCDE，AF= CE， ???△ABF 竺△CDE(AAS). ⑵當四邊形ABCD滿足AB=AD時，四邊 形BFDE是菱形?理由如下： 連接BD交AC于點O,如下圖. 由(1)得△ABF^^CDE， :.AB=CD，BF=DE

6、，ZAFB=ZCED， :.BF//DE. ?:AB//CD，AB=CD， ：?四邊形ABCD是平行四邊形. 又?:AB=AD，:?平行四邊形ABCD是菱形， :BD丄AC? :BF=DE，BF//DE， ?:四邊形BFDE是平行四邊形? 又: BD丄AC，?:四邊形BFDE是菱形? 2 ?解：(1)證明：I四邊形ABCD和四邊形 DEFG都是正方形， :.AD=CD，ED=GD，F(xiàn)E=FG， :.AD-ED=CD-GD，:.AE=CG. 在AAFE和ACFe中， AE=CG，ZAEF=ZCGF=90° ，F(xiàn)E= FG， ???△AFE^ACFG(SAS)，:.AF=C

7、F. (2)由(1)得AAFE^ACFG， :.ZAFE=ZCFG. 又?:AB//EF，ZBAF=35。， :.ZAFE=ZCFG=ZBAF=35° . 連接DF，如圖，???四邊形DEFG是正方形， :.ZDFG=45° ， :.Z BFC = 180 ° - ZCFG - ZDFG = 180°-35°-45°=100° . 3 ?解：⑴，??在正方形ABCD中，AB=^， ZBAD=90° ， ???ZDAF+ZBAF=90° . ???AF 丄 AE， :.ZBAE+ZBAF=90° ， :.ZBAE=ADAF. ?BE丄DP， :.ZABE+ZBPE=9

8、0° . 又?：ZADF +ZAPD = 90° ，ZBPE = ZAPD(對頂角相等)， :?ZABE=ZADF. 在AABE 和 AADF 中，ZABE=Z^F， AB=^，ZBAE=ZDAF， ? △ABE 旦△ADF(ASA)， :.AE=AF， ? △AEF是等腰直角三角形. ?AE=1， ?：EF= \2AE= ,2X 1=\2 ⑵證明：如圖，過點A作AM丄EF于點 M. -△AEF是等腰直角三角形， :?AM=MF=EM? VP是AB的中點， :.AP=BP. 又VZAPM=ZBPE，ZAMP=ZBEP= 90° ， :.^AMP^^BEP(

9、AAS)， :.PM=EP，AM=EB. VPF=PM+MF， :.PF=EP+EB. 4 ?解：(1)V四邊形ABCD是正方形，AB =8， :.AB=BC=8，ZB=90°，AD〃BC， :.ZDAG=ZF. VAF 平分ZDAE， :.ZDAG=ZEAF， :.ZEAF=ZF， :.AE=EF. 設 CE=x， 那么 BE=8—x，EF=AE=8+x? 在RtAABE中，由勾股定理得82+(8—x)2 = (8+x)2， 解得x=2， 即 CE=2. (2)證明：如圖，延長CB到點M，使BM= DG，連接AM. ???四邊形ABCD是正方形， :-ZD

10、 = ZABM=90° ，AD=AB，AB〃 CD， ?：Z3=Z2+Z5=Z4. 在 AABM 和 AADG 中，AB=AD，ZABM =ZD，BM=DG， :.△ABM^AADG(SAS)， ?：ZM=Z4，Z6=Z1. ???Z1=Z2(角平分線的定義)， ???Z2=Z6，???Z4=ZM=Z3=Z2+Z5 = Z6+Z5， 即 ZM=ZMAE，:.AE=ME. ?:BM=DG，:.AE=BE+DG. 5 ?解：(1)AH=AB ⑵還成立. 證明：如圖，延長CB至點E，使BE=DN. ???四邊形ABCD是正方形，：AB=^，Z D=ZABE=90° . 在

11、 RtAAEB 和 RtAAND 中， AB=^，ZABE=ZD，BE=DN， :.RtAAEB^RtAAND， :.AE=AN，ZEAB=ZNAD， :.ZEAM=ZNAM=45° . 在AAEM和AANM中， AE=AN，ZEAM=ZNAM，AM=AM， :.AAEM^AANM， ，em=mn. 又???AB ^AH分別是AAEM和AANM對應 邊上的高， :.ah=ab. ⑶如圖，分別沿AM，AN翻折AAMH和 △ANH，得到AAMB和皿枷， ?：BM=2，DN=3，ZB = ZD=ZB^= 90° . 分別延長BM和DN交于點C，得正方形 ABCD， 由(

12、2)可知，AH=AB=BC=CD=AD. 設 AH=x，那么 MC=x-2，NC=x—3， 在RtAMCN中，由勾股定理，得MN2= MC2+NC2， ?: 52 = (x — 2)2+(x — 3)2， 解得x1=6，x2=—1(不符合題意，舍去). :AH的長為6? 6 ?解：如圖，取邊BC的中點G，連接EG， fg. ???E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點， :.EG是△ABC的中位線，F(xiàn)G是的 中位線, :.EG 綊拉，F(xiàn)G 綊2BD. 又???BD=12，AC= 16，AC丄BD， :.EG=8，F(xiàn)G=6，EG丄FG? 在RtAEGF中，由勾股定理， EF=

13、EG2+FG2= 82+62=10， 即EF的長是10. 7 ?證明：如圖，取CF的中點M，連接DM. ?AF=1fC， :.AF=FM=CM. ?AD是BC邊上的中線， :.BD=CD， :.DM是ABFC的中位線， :.DM//BF. ^AF=FM， :.AE=DE， 即E是AD的中點. 8?證明：如圖，連接BM，DM. ???ZABC=ZADC=90° ， M是AC的中點， :.BM=DM=AC. ?N是BD的中點， :.MN 丄 BD. 9 ?證明：如圖，取DE的中點F，連接AF. ?: AD//BC， ZC=90° ，：.ZDAE=ZC=90° ， :.AF=DF=EF=1DE. ?AB=1DE， :.DF=AF=AB， :.ZD=ZDAF，ZAFB=ZABF， :.ZAFB=ZD+ZDAF=2ZD， :.ZABF=2ZD. ?: AD/BC，：?ZCBE=ZD， :.ZCBA = ZCBE^ZABF=3ZCBE.