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1、第二章滾動(dòng)訓(xùn)練三
滾動(dòng)訓(xùn)練三(§1?§3)
一、選擇題
1.若拋物線J2 =X上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它 到頂點(diǎn)的距離,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()
C.
考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案
解析
A.
14,
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
求拋物線方程
由題意知,點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到
頂點(diǎn)o的距離,因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分 線上,而所以點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為1,代入 拋物線方程得J = ±上,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為 卜士律),故選B.
2?拋物線yi=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-y=1的漸
近線的距離是(
C?1 D?\3
考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
題點(diǎn) 拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題
答案B
解析
2、拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)F(1,0),雙曲線x
■獸=1的漸近線方程是y = ± 3x
即\ 3x±y = 0 ,
所以所求距離為―空1 =23,故選b.
寸(護(hù))2 +(±1)2話
3.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為
〃,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直, 那么此雙曲線的離心率為(
答案D
解析不妨設(shè)雙曲線方程為X2?b2=i(a>0,>0),
則可令 F(c,0), B(0, b,直線 FB : bx + cy - bc
=°與漸近線尸$垂直,所以-:?a八1,即
b2 = ac,所以C2 -fl2 = ac,即?2-^-1 = 0,所以
e^2-
3、或加舍去)-
(1 、
4?一條直線過點(diǎn)4, 0,
v 丿
A, B 兩點(diǎn)?若ABI=4,
且與拋物線y2=x交于
則弦AB的中點(diǎn)到直線
1
x+1=0的距離等于(
a?7
B.2
9
C?4 D. 4
考點(diǎn) 拋物線的焦點(diǎn)弦問題
題點(diǎn)與焦點(diǎn)弦有關(guān)的其他問題
答案C
解析I拋物線方程為嚴(yán),
???其焦點(diǎn)坐標(biāo)為[4,0,準(zhǔn)線方程為x=- 4,
I 丿
4、
???直線AB過拋物線焦點(diǎn),
???由拋物線的定義知,弦AB的中點(diǎn)到直線x =
■1的距離為2,
4
???弦AB的中點(diǎn)到直線x + 2 = 0的距離等于2 + 4
=9
4
5.已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上, 直線y=x與拋物線C交于A, B兩點(diǎn),若P(2,2) 為AB的中點(diǎn),則拋物線C的方程為()
A. y2=4x B? y2=—4x
C? x2=4y D? y2=8x 考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系
題點(diǎn)直線與拋物線相交弦中點(diǎn)問題
答案A
解析 依題意可設(shè)拋物線方程為y2 = 2x(P? ,
設(shè) A(x1,y/ , B(x2 , y2),
則』=1,
5、
X2=X1
???P(22)為AB的中點(diǎn),?“]+y2 = 4 ,
由^ =如i,
卜2 =如2,
得?2+丁1)仇5)= 2?(兀2 -Xi), ???勿二仇+丁]汽工1 =4,
x2- x1
???拋物線C的方程為y2 = 4x?
6?若雙曲線與橢圓X6+64=1有相同的焦點(diǎn),它
的一條漸近線方程為y=—X,則雙曲線的方程為
()
A? y2—x2=96 B? y2—x2=160
C? y2—x2=80 D? y2—x2=24 考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用
題點(diǎn)雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題
答案D
解析
設(shè)雙曲線方程為X2 f =2(2H0),因?yàn)殡p
曲線與橢
6、圓有相同的焦點(diǎn),且焦點(diǎn)為(0 , ±4 3) 所以 ^<0,且-22 = (4 3)2,得 2=- 24?故選 D.
7 ?橢圓25+午=1與雙曲線15—兀2=1有公共點(diǎn)
F,則P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形的面
積為( )
A.4
C.5
B?55
考點(diǎn)
題點(diǎn)
答案
雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用
雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題
解析
由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點(diǎn)
D.3
F](0,4)和F2(0,-4), 不妨?IPF1I>IPF2I , 由橢圓與雙曲線的定義可得
|IPF1I + IPF2I = 10, JPF1I - IPF2I = 2嚴(yán),
所以叫=
7、 5+15 , PF2I = 5 -15.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
2IPF1I^IPF2I
IPF1I2 + IPF2I2-IF1F2I2 cosZF1PF2 = .
=(5 + 嚴(yán))2 + (5 ■嚴(yán))2 - 82 = 4
■ 2X(5 +嚴(yán)X(5-嚴(yán))"5'
且^f1pf2是三角形的內(nèi)角,
于是 sinZFfF? = y
因此△pf1F2 的面積 S = 2lPF1I^IPF2lsinZF1PF2
1 3
= 205 +嚴(yán))X(5 ■嚴(yán))X嚴(yán)
8 ?—?jiǎng)訄A與直線x=-1相切且始終過點(diǎn)(1,0), 動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線C,那么曲線C上的一 點(diǎn)到直線x= —
8、1的距離與到直線x+y+4=0的 距離和的最小值為()
AN2
b?¥
C弩
考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案
D722
拋物線的定義
解析
由題意知?jiǎng)訄A的圓心軌跡為以F(1,0)為焦
由拋物線定義求最值
點(diǎn),直線X=-1為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y =4x ,
設(shè)拋物線上的一點(diǎn)P點(diǎn) P到直線x=-1的距離 為d,到直線x^y + 4 = 0的距離為d2 , 由拋物線的定義知,-=PFI,
所以 dt + d2 = IPFI+d2,
IPFI + d2的最小值為點(diǎn)F到直線x +y + 4 = 0的距
|1 + 4I 5 2
離= < ?故選B.
二、填空題
9?雙曲線而一魯=1
9、(mnH0)的離心率為2,有一一 個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,則mn的值 為 ?
考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
題點(diǎn) 拋物線與其他曲線結(jié)合有關(guān)問題
答案
3
16
解析 拋物線J2 = 4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),
則雙曲線的焦距為2,則有S
m+n=1,
1 = 4, im
1 m = 4
3 n = 4
???m£
10?已知雙曲線X2—b2=1(a>0, b>0)的兩條漸近 線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A, B 兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)?若雙曲線的離心率為2,
△AOB的面積為p3,則p= .
考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
題點(diǎn) 拋物線與其他曲
10、線結(jié)合有關(guān)問題
答案2
解析 雙曲線的離心率€專\嚴(yán)丁彳=2
,聯(lián)立
I]得臨
“■2,
所以認(rèn)些鈔
將^\3代入解得p = 2 11 ?已知拋物線y2=8x,過動(dòng)點(diǎn)M(a,0),且斜率
為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若
ABIW8,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
考點(diǎn)
直線與拋物線的位置關(guān)系
題點(diǎn)
直線與拋物線相交時(shí)的其他問題
答案
(-2,-1]
解析
將l的方程y^x^a代入y2 = 8x ,
得X2-2(a + 4)x + a2-0 ,
則 A= 4(a + 4)2 - 4a2 > 0 , ?'?a >
11、- 2.
設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2), 則叫 +x2 = 2(a + 4),兀形=a2 ,
? IABI = 一 2[(x1 +x2)2 - 4x1x2] 64(a + 2)^8 ,
即0+2 W1?
又a>?2, ???2vaW - 1.
三、解答題
12.已知雙曲線的一條漸近線為x+、j3y=0,且 與橢圓x2+4y2=64有相同的焦距,求雙曲線的 標(biāo)準(zhǔn)方程.
解橢圓方程為64+16“,可知橢圓的焦距為
①當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí), 設(shè)雙曲線方程為2音1 (a〉%。),
a2 + b2 = 48 ,
=36 ,
= 12.
???雙曲線
12、的標(biāo)準(zhǔn)方程為36 ■ 12=1-
②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在j軸上時(shí),
設(shè)雙曲線方程略喀寸(a>0,b>°),
a2 + b2 = 48 ,
? a =
13、 J.T2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2 = 4y ,
由此,可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線 方程為y=-1.
(2)設(shè) A(x1 ,y1), B(x2 , y2),
由拋物線的定義知IAFI uy】+1 , |BFI =y2 +1 , 于是1AB|^y1+y2 + 2,
又1AB1 = 8 ,所以 y1 +y2 = 6 ,
由⑴得,拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),
所以直線I的方程為y = kx + 1,
所以 ^i + 1+kx2 + 1- 6 , k(X]+x2)= 4 ,
由直線i的方程與拋物線方程聯(lián)立得^+1^x2,
即 x2 - 4kx - 4 = 0 , A= 16k2
14、+16>0 ,所以x +x
1 2
=4k ,
代入 k(xi +x2) = 4,得 k2 =1, k = ±1*
1 2
四、探究與拓展
14.若拋物線 J2=x 上兩點(diǎn) A(x1,y1), B(x2,y2) 關(guān)于直線y=:x+1b對(duì)稱,且y1y2=—1,則實(shí)數(shù)b
的值為()
A?—3 B?3
C?2 D?—2
考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系
題點(diǎn)直線與拋物線相交時(shí)的其他問題
答案D
解析 由題意知,^^^2 =- 1,
x1- x2
爲(wèi)…,則F—
W1,
???叫+x2^y^y^-(y1 +y2)2 ■ 2y1y2=3,
_ (3 1)
? ? ^兩^點(diǎn)
15、A(X1, yi), B(X2,y2)^^^點(diǎn)^坐為 2, 2 ,
\ 丿
代入y=x + b,可得b=-2.
15?如圖,已知皿?!ǖ囊粋€(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2=
2x的頂點(diǎn)O9A, B兩點(diǎn)都在拋物線上,且ZAOB =90°,
(1) 證明:直線AB必過一定點(diǎn);
(2) 求AAOB面積的最小值.
考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與拋物線相交時(shí)的其他問題 ⑴證明 設(shè)OA所在直線的方程為y=kx(k^0), 則直線ob的方程為y=?$,
心,解得
V2 = 2x ,
2 x=k2,
2, Ly=k,
即A點(diǎn)的坐標(biāo)為存左?
二 1
同樣由.
”=?計(jì),解得 B點(diǎn)
16、的坐標(biāo)為(邁,-
J2 = 2x ,
2 + 2k
所以AB所在直線的方程為y+ 2k = f (x
2k2),
化簡(jiǎn)并整理,
^lky^x - 2.
不論實(shí)數(shù)k取任何不等于0的實(shí)數(shù),當(dāng)x = 2時(shí),
恒有y = 0?
故直線過定點(diǎn)P(2,0).
(2)解 由于AB所在直線過定點(diǎn)P(2,0),
所以可設(shè)A^所在直線的方程為x = my + 2 A(xi, 兒),B(x2 , y2)-
由嚴(yán)呵+ 2,消去x 并整理,
^y2 — 2x ,
得 y2 - 2my - 4 = 0 , A= 4m2 +16>0. 所以 y1+y2 = 2m ,y1y2=-4.
于是%-力=S2
1
s^AOB=2X|OP|X(|yi|+|y2|) = :IOp 卜 ly2?y2l
1
= 2X2X2 m2 + 4 = 2 m2 + 4?
所以當(dāng)m = 0時(shí),/\AOB的面積取得最小值4.