2018-2019學(xué)年鄂州市鄂城區(qū)八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)

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2018-2019學(xué)年湖北省鄂州市鄂城區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．判斷下列幾組數(shù)據(jù)中，不可以作為三角形的三條邊的是（　?。? A．6，10，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25 2．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于其外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的結(jié)果為（　　） A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0 4．下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　） A． B． C． D． 5．已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)A、B、C、P均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)P叫做△ABC的（　?。? A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．無(wú)法確定 6．如圖所示，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分線交AC于D，則圖中共有等腰三角形（　?。? A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 7．如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PE=2，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E．如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 8．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AD=CD，AB=CB，在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四邊形ABCD的面積=AC?BD，其中正確的結(jié)論有（　?。? A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 9．如圖，AE∥DF，AE=DF．則添加下列條件還不能使△EAC≌△FDB．（　?。? A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F 10．如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖（箭頭表示行進(jìn)的方向）．其中E為AB的中點(diǎn)，AH＞HB，判斷三人行進(jìn)路線長(zhǎng)度的大小關(guān)系為（　?。? A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙 　 二、填空題（每小題2分，共12分） 11．如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，CB=10，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交BC于點(diǎn)E，連接AE，則△ACE的周長(zhǎng)為　 ?。? 12．已知三角形三邊長(zhǎng)分別為a+1，a+2，a+3，則a的取值范圍是　 　． 13．如圖，在5×4的方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O、A、B在方格紙的交點(diǎn)（格點(diǎn)）上，在第四象限內(nèi)的格點(diǎn)上找點(diǎn)C，使△ABC的面積為3，則這樣的點(diǎn)C共有個(gè)　 　個(gè)． 14．如圖，在等邊△ABC中，AC=3，點(diǎn)O在AC上，且AO=1．點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接OP，以線段OP為一邊作正△OPD，且O、P、D三點(diǎn)依次呈逆時(shí)針?lè)较?，?dāng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上時(shí)，則AP的長(zhǎng)是　 ?。? 15．如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 ?。? 16．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是　 ?。? 　 三、簡(jiǎn)答題（共72分） 17．（8分）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)． 18．（9分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC． （1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度數(shù)． （2）若∠B﹣∠C=30°，則∠DAE=　 　． （3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示） 19．（9分）如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等腰三角形． 20．（10分）如圖，點(diǎn)E在CD上，BC與AE交于點(diǎn)F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求證：△ABE≌△CBD； （2）證明：∠1=∠3． 21．（10分）在△ABC中，AB=BC，△ABC≌△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)，觀察并猜想線段EA1與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 22．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E； （1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE．求證：AB⊥AC； （2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 23．（12分）如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、CB相交于點(diǎn)C、D． （1）問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由． （2）若OP=2，求四邊形PCOD的面積． 24．（10分）如圖，△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰直角△ADE，分別過(guò)A、E點(diǎn)向BC邊作垂線，垂足分別為F、G．連接BE． （ 1）證明：BG=FD； （ 2）求∠ABE的度數(shù)． 　  2018-2019學(xué)年湖北省鄂州市鄂城區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．判斷下列幾組數(shù)據(jù)中，不可以作為三角形的三條邊的是（　?。? A．6，10，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25 【分析】根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解． 【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，得： A、6+10＜17，不可以作為三角形的三條邊； B、7+12＞15，可以作為三角形的三條邊； C、13+15＞20，可以作為三角形的三條邊； D、7+24＞25，可以作為三角形的三條邊． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，注意：組成三角形的簡(jiǎn)便判斷方法是只需看兩個(gè)較小數(shù)的和是否大于第三個(gè)數(shù)． 2．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于其外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由于任何一個(gè)多邊形的外角和為360°，由題意知此多邊形的內(nèi)角和小于360°．又根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可知任何一個(gè)多邊形的內(nèi)角和必定是180°的整數(shù)倍，則此多邊形的內(nèi)角和等于180°．由此可以得出這個(gè)多邊形的邊數(shù)． 【解答】解：設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)題意得 （n﹣2）?180°＜360° 解之得n＜4． ∵n為正整數(shù)，且n≥3， ∴n=3． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件．本題既可用整式方程求解，也可用不等式確定范圍后求解． 3．已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的結(jié)果為（　　） A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0 【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a﹣b﹣c與c﹣b+a的符號(hào)，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)即可． 【解答】解：∵a、b、c為△ABC的三條邊長(zhǎng)， ∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b） =a+b﹣c+c﹣a﹣b=0． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵． 4．下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形可得答案． 【解答】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意； C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形定義． 5．已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)A、B、C、P均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)P叫做△ABC的（　?。? A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．無(wú)法確定 【分析】根據(jù)正方形網(wǎng)格圖、三角形的重心的概念解答． 【解答】解：由正方形網(wǎng)格圖可以看出，點(diǎn)E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)P叫做△ABC的重心， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 6．如圖所示，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分線交AC于D，則圖中共有等腰三角形（　　） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【分析】由已知條件，根據(jù)等腰三角形的定義及等角對(duì)等邊先得出∠ABC的度數(shù)，由∠ABC的平分線交AC于D，得到其它角的度數(shù)，然后進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72° ∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°=∠C ∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD=∠DBC=36° ∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形 ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C ∴△BDC是等腰三角形 ∴共有3個(gè)等腰三角形 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；求得各角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵． 7．如圖，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PE=2，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E．如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PD=PE=2，根據(jù)直角三角形中，30°的直角邊是斜邊的一半、直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到DM=DP，得到答案． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE=2， ∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°， ∴∠POD=30°， ∵PD⊥OA， ∴PD=OP， ∵PD⊥OA，點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)， ∴DM=OP， ∴DM=DP=2， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 8．兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AD=CD，AB=CB，在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四邊形ABCD的面積=AC?BD，其中正確的結(jié)論有（　?。? A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【分析】先證明△ABD與△CBD全等，再證明△AOD與△COD全等即可判斷． 【解答】解：在△ABD與△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故①正確； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD與△COD中， ， ∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故②正確； 四邊形ABCD的面積==AC?BD， 故③正確； 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等． 9．如圖，AE∥DF，AE=DF．則添加下列條件還不能使△EAC≌△FDB．（　　） A．AB=CD B．CE∥BF C．CE=BF D．∠E=∠F 【分析】判定三角形全等的方法主要有SAS、ASA、AAS、SSS等，根據(jù)所添加的條件判段能否得出△EAC≌△FDB即可． 【解答】解：（A）當(dāng)AB=CD時(shí)，AC=DB，根據(jù)SAS可以判定△EAC≌△FDB； （B）當(dāng)CE∥BF時(shí)，∠ECA=∠FBD，根據(jù)AAS可以判定△EAC≌△FDB； （C）當(dāng)CE=BF時(shí)，不能判定△EAC≌△FDB； （D）當(dāng)∠E=∠F時(shí)，根據(jù)ASA可以判定△EAC≌△FDB； 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解題時(shí)注意：判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊相等的條件，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 10．如圖，圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖（箭頭表示行進(jìn)的方向）．其中E為AB的中點(diǎn)，AH＞HB，判斷三人行進(jìn)路線長(zhǎng)度的大小關(guān)系為（　　） A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙 【分析】延長(zhǎng)ED和BF交于C，如圖2，延長(zhǎng)AG和BK交于C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定求出即可． 【解答】解：圖1中，甲走的路線長(zhǎng)是AC+BC的長(zhǎng)度； 延長(zhǎng)AD和BF交于C，如圖2， ∵∠DEA=∠B=60°， ∴DE∥CF， 同理EF∥CD， ∴四邊形CDEF是平行四邊形， ∴EF=CD，DE=CF， 即乙走的路線長(zhǎng)是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的長(zhǎng)； 延長(zhǎng)AG和BK交于C，如圖3， 與以上證明過(guò)程類(lèi)似GH=CK，CG=HK， 即丙走的路線長(zhǎng)是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的長(zhǎng)； 即甲=乙=丙， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對(duì)邊相等． 　 二、填空題（每小題2分，共12分） 11．如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，CB=10，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交BC于點(diǎn)E，連接AE，則△ACE的周長(zhǎng)為　16　． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=BE，所以△ACE的周長(zhǎng)=BC+AC，解答出即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線， ∴AE=BE， ∵CB=10，AC=6， ∴△ACE的周長(zhǎng)=BC+AC=10+6=16； 故答案為：16 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等． 12．已知三角形三邊長(zhǎng)分別為a+1，a+2，a+3，則a的取值范圍是　a＞0　． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”，即只需保證較小的兩邊和大于第三邊就可． 【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得 a+1+a+2＞a+3， 解得a＞0． 故答案為：a＞0 【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的三邊關(guān)系，能夠熟練解不等式，是綜合題型，但難度不大． 13．如圖，在5×4的方格紙中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O、A、B在方格紙的交點(diǎn)（格點(diǎn)）上，在第四象限內(nèi)的格點(diǎn)上找點(diǎn)C，使△ABC的面積為3，則這樣的點(diǎn)C共有個(gè)　3　個(gè)． 【分析】求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可確定C所在直線，從而確定C的位置． 【解答】解：AB=3，設(shè)C到AB的距離是a，則×3a=3， 解得a=2， 則C在到AB的距離是2，且與AB平行是直線上，則在第四象限滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)有3個(gè)． 故答案是：3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了了三角形的面積，確定C所在的直線是關(guān)鍵． 14．如圖，在等邊△ABC中，AC=3，點(diǎn)O在AC上，且AO=1．點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接OP，以線段OP為一邊作正△OPD，且O、P、D三點(diǎn)依次呈逆時(shí)針?lè)较?，?dāng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上時(shí)，則AP的長(zhǎng)是　2?。? 【分析】如圖，通過(guò)觀察，尋找未知與已知之間的聯(lián)系．AO=1，則OC=2．證明△AOP≌△COD求解． 【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP， ∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°， ∴∠CDO=∠AOP． ∴△ODC≌△POA． ∴AP=OC． ∴AP=OC=AC﹣AO=2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是利用全等把所求的線段轉(zhuǎn)移到已知的線段上． 15．如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為?。ī?，1）?。? 【分析】如圖作AF⊥x軸于F，CE⊥x軸于E，先證明△COE≌△OAF，推出CE=OF，OE=AF，由此即可解決問(wèn)題． 【解答】解：如圖作AF⊥x軸于F，CE⊥x軸于E． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∵∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°， ∴∠COE=∠OAF， 在△COE和△OAF中， ， ∴△COE≌△OAF， ∴CE=OF，OE=AF， ∵A（1，）， ∴CE=OF=1，OE=AF=， ∴點(diǎn)C坐標(biāo)（﹣，1）， 故答案為（﹣，1）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型． 16．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是　50°　． 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC=40°，以及∠OBC=∠OCB=40°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，進(jìn)而求出即可． 【解答】解：連接BO， ∵∠BAC=50°，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O， ∴∠OAB=∠ABO=25°， ∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∴∠OBC=65°﹣25°=40°， ∵， ∴△ABO≌△ACO， ∴BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB=40°， ∵點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合， ∴EO=EC，∠CEF=∠FEO， ∴∠CEF=∠FEO==50°， 故答案為：50°． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 三、簡(jiǎn)答題（共72分） 17．（8分）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)． 【分析】連接BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證得∠A+∠D=∠DBC+∠ACB，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DBC+∠ACB+∠DBF+∠ACE+∠E+∠F=∠FBC+∠BCE+∠E+∠F，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解． 【解答】解：連接BC． ∵在△BOC和△AOD中，∠1=∠2， ∴∠A+∠D=∠DBC+∠ACB， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DBC+∠ACB+∠DBF+∠ACE+∠E+∠F=∠FBC+∠BCE+∠E+∠F=360°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及四邊形的內(nèi)角和定理，正確證明∠A+∠D=∠DBC+∠ACB是關(guān)鍵． 18．（9分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC． （1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度數(shù)． （2）若∠B﹣∠C=30°，則∠DAE=　15°　． （3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示） 【分析】根據(jù)垂直定義由AD⊥BC得∠ADC=90°，再利用角平分線定義得∠EAC=∠BAC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，則∠DAE=（∠B﹣∠C）， （1）把∠B=70°，∠C=40°代入∠DAE=（∠B﹣∠B）中計(jì)算即可； （2）把∠B﹣∠C=30°代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中計(jì)算即可； （3）把∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C）代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中計(jì)算即可； 【解答】解：∵AD⊥BC于D， ∴∠ADC=90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC， 而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C， ∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C， ∵∠DAC=90°﹣∠C， ∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C] =（∠B﹣∠C）， （1）若∠B=70°，∠C=40°，則∠DAE=（70°﹣40°）=15°； （2）若∠B﹣∠C=30°，則∠DAE=×30°=15°； （3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），則∠DAE=α； 故答案為15°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°． 19．（9分）如圖，AD=BC，AC=BD，求證：△EAB是等腰三角形． 【分析】先用SSS證△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角對(duì)等邊知AE=BE，從而證得△EAB是等腰三角形． 【解答】證明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA， ∴△ADB≌△BCA（SSS）． ∴∠DBA=∠CAB． ∴AE=BE． ∴△EAB是等腰三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等判定及性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；三角形的全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵． 20．（10分）如圖，點(diǎn)E在CD上，BC與AE交于點(diǎn)F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2． （1）求證：△ABE≌△CBD； （2）證明：∠1=∠3． 【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證； （2）利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由對(duì)頂角相等及內(nèi)角和定理即可得證． 【解答】證明：（1）∵∠1=∠2， ∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）∵△ABE≌△CBD， ∴∠A=∠C， ∵∠AFB=∠CFE， ∴∠1=∠3． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 21．（10分）在△ABC中，AB=BC，△ABC≌△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)，觀察并猜想線段EA1與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠C1BF，AB=BC=A1B=BC1，然后利用“角邊角”證明△ABE和△C1BF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=BF，從而得解． 【解答】解：EA1=FC．理由如下： ∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵△ABC≌△A1BC1 ∴∠A=∠A1=∠C=∠C1 ∴AB=A1B=BC=BC1 ∠ABC=∠A1B C1， ∴∠ABC﹣∠A1B C=∠A1B C1﹣∠A1B C ∴∠ABE=∠C1BF 在△ABE與△C1BF中， ∴△ABE≌△C1BF， ∴BE=BF； ∴A1B﹣BE=BC﹣BF ∴EA1=FC 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難度不大，利用好旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小，找出相等的線段是解題的關(guān)鍵． 22．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E； （1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE．求證：AB⊥AC； （2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（1）由已知條件，證明ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC； （2）同（1），先證ABD≌△ACE，再利用角與角之間的關(guān)系求證∠BAD+∠CAE=90°，即可證明AB⊥AC． 【解答】（1）證明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中， ∵， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE． ∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE． ∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°． ∴AB⊥AC． （2）AB⊥AC．理由如下： 同（1）一樣可證得Rt△ABD≌Rt△ACE． ∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， ∵∠CAE+∠ECA=90°， ∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°， ∴AB⊥AC． 【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，借助全等三角形的性質(zhì)得到相等的角，然后證明垂直是經(jīng)常使用的方法，注意掌握、應(yīng)用． 23．（12分）如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、CB相交于點(diǎn)C、D． （1）問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由． （2）若OP=2，求四邊形PCOD的面積． 【分析】（1）過(guò)P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分線的性質(zhì)易得PE=PF，然后由同角的余角相等證明∠1=∠2，即可由ASA證明△CFP≌△DEP，從而得證． （2）只要證明四邊形PCOD的面積=正方形OEPF的面積即可； 【解答】解：（1）：結(jié)論：PC=PD． 理由：過(guò)P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F， ∴∠CFP=∠DEP=90°， ∵OM是∠AOB的平分線， ∴PE=PF， ∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°， ∴∠FPE=90°， ∴∠2+∠FPD=90°， ∴∠1=∠2， 在△CFP和△DEP中， ， ∴△CFP≌△DEP（ASA）， ∴PC=PD． （2）∵四邊形PCOD的面積=正方形OEPF的面積， ∴四邊形PCOD的面積=×2×2=2． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 24．（10分）如圖，△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰直角△ADE，分別過(guò)A、E點(diǎn)向BC邊作垂線，垂足分別為F、G．連接BE． （ 1）證明：BG=FD； （ 2）求∠ABE的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠FAD=∠GDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DG=AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AF=BF，于是得到結(jié)論； （2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=EG，推出△BGE是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵△ADE為等腰直角三角形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴∠AFD=∠DGE=90°， ∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠EDG=90°， ∴∠FAD=∠GDE， 在△ADF與△DEG中，， ∴△ADF≌△DEG， ∴DG=AF， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∴BF=DG， ∴BG=DF； （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∵△ADF≌△DEG， ∴DF=EG， ∴BG=EG， ∵BG⊥EG， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠GBE=45°， ∴∠ABE=90°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，