(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)新人教A版
《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理(含解析)新人教A版(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第44講 數(shù)學(xué)歸納法 夯實基礎(chǔ) 【p94】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題. 【基礎(chǔ)檢測】 1.一個關(guān)于自然數(shù)n的命題,如果驗證當(dāng)n=1時命題成立,并在假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)時命題成立的基礎(chǔ)上,證明了當(dāng)n=k+2時命題成立,那么綜合上述,對于( ) A.一切正整數(shù)命題成立B.一切正奇數(shù)命題成立 C.一切正偶數(shù)命題成立D.以上都不對 【解析】本題證的是對n=1,3,5,7,…命題成立,即命題對一切正奇數(shù)成立. 【答案】B 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+<n(n∈N*,n>1)
2、,第一步應(yīng)驗證不等式( ) A.1+<2 B.1++<3 C.1+++<3 D.1++<2 【解析】因n≥2,故應(yīng)驗證n=2,應(yīng)選D. 【答案】D 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明n的起始值n0應(yīng)取________. 【解析】當(dāng)n=1時,21=12+1; 當(dāng)n=2時,22<22+1;當(dāng)n=3時,23<32+1; 當(dāng)n=4時,24<42+1;而當(dāng)n=5時,25>52+1. ∴n0=5. 【答案】5 4.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意的自然數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,通過計算S1,S2,S3,猜想Sn=__
3、______. 【解析】由(S1-1)2=S,得S1=;由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.猜想:Sn=. 【答案】 【知識要點】 1.歸納法 由一系列有限的__特殊事例__得出__一般性結(jié)論__的推理方法叫做歸納法. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 對某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來證明它的正確性,先證明當(dāng)n取第1個值n0時,命題成立;然后假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立,這種證明方法叫做__數(shù)學(xué)歸納法__. 3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明步驟 (1)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟 一般地,證明
4、一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行: ①(歸納奠基)證明當(dāng)n取__第一個值n0__時命題成立. ②(歸納遞推)假設(shè)__n=k__(k≥n0,k∈N*)時命題成立,再證明當(dāng)__n=k+1__時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以判定命題對從__n0__開始的所有正整數(shù)n都成立. (2)用框圖表示數(shù)學(xué)歸納法的步驟 假設(shè)②__n=k(k≥n0且k∈N*)__時結(jié)論成立, 推得③__n=k+1__時結(jié)論亦成立 典例剖析 【p94】 考點1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N*).用數(shù)學(xué)歸納法證明:f(1)+f(2)+…+f(n-1)
5、=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*). 【解析】(1)當(dāng)n=2時,左邊=f(1)=1, 右邊=2=1,左邊=右邊,等式成立. (2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時,結(jié)論成立,即 f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,當(dāng)n=k+1時, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k) =(k+1)f(k)-k=(k+1)-k =(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1], ∴當(dāng)n=k+1時結(jié)論仍然成立. 由(1)(2)可知f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈
6、N*). 【點評】用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題,關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律;等式的兩邊各有多少項,由n=k到n=k+1時,等式的兩邊會增加多少項,增加怎樣的項;難點在于尋求等式中n=k和n=k+1時之間的聯(lián)系. 考點2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明:S2n>1+(n≥2,n∈N*). 【解析】(1)當(dāng)n=2時,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2時命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時命題成立,即S2k=1+++…+>1+, 則當(dāng)n=k+1時, S2k+1=1+++…+++…+ >1++
7、++…+ >1++ =1++=1+, 故當(dāng)n=k+1時,命題成立. 由(1)和(2)可知,對n≥2,n∈N*,不等式S2n>1+都成立. 【點評】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的兩個問題: (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,推證n=k+1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明. 考點3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 設(shè)n∈N*,f(n)=3n+7n-2. (1)求f(1),f(2),f(3)的值; (2)證明:對任意正整數(shù)n
8、,f(n)是8的倍數(shù). 【解析】(1)代入求出f(1)=8,f(2)=56,f(3)=368. (2)①當(dāng)n=1時,f(1)=8是8的倍數(shù),命題成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時命題成立,即f(k)=3k+7k-2是8的倍數(shù), 那么當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=3k+1+7k+1-2=3(3k+7k-2)+4(7k+1), 因為7k+1是偶數(shù),所以4(7k+1)是8的倍數(shù), 又由歸納假設(shè)知3(3k+7k-2)是8的倍數(shù), 所以f(k+1)是8的倍數(shù), 所以當(dāng)n=k+1時,命題也成立. 根據(jù)①②知命題對任意n∈N*成立. 考點4 歸納—猜想—證明 已知數(shù)列{a
9、n}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N+). (1)試求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式; (2)證明你的猜想,并求出an的表達式. 【解析】(1)∵an=Sn-Sn-1(n≥2), ∴Sn=n2(Sn-Sn-1), ∴Sn=Sn-1(n≥2). ∵a1=1,∴S1=a1=1,S2=,S3==,S4=,猜想Sn=. (2)證明:①當(dāng)n=1時,S1=1,=1等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,等式成立,即Sk=. 當(dāng)n=k+1時, Sk+1=(k+1)2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+, ∴ak+1=·=, ∴Sk+1=(
10、k+1)2·ak+1=(k+1)2·==, ∴n=k+1時,等式也成立. 綜上①②知,對于任意n∈N+,Sn=都成立. 又ak+1=,∴an=. 【點評】解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時,有以下幾點容易造成失分,在備考時要高度關(guān)注: (1)歸納整理不到位得不出正確結(jié)果,從而給猜想造成困難. (2)證明n=k到n=k+1這一步時,忽略了假設(shè)條件去證明,造成使用的不是純正的數(shù)學(xué)歸納法. (3)不等式證明過程中,不能正確合理地運用分析法、綜合法來求證. 另外需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法中幾種常見的推證技巧,只有這樣,才能快速正確地解決問題. 方法總結(jié) 【p95】
11、 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法.它是一種完全歸納法,是對不完全歸納法的完善. 2.證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是第二步,將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè),然后利用歸納假設(shè),經(jīng)過恒等變形,得到結(jié)論所需要的形式——湊結(jié)論. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是第二步,利用證明不等式的方法(如放縮)把式子化為n=k+1成立時的式子. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時,要注意結(jié)合幾何圖形的性質(zhì),在求由“n=k到n=k+1”增加的元素個數(shù)時,可以先用不完全歸納法找其變化規(guī)律. 5.由有限個特殊事例進行歸納、猜想,而得出一般性結(jié)論,然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方法
12、,研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,此方法尤為重要,如猜想數(shù)列的通項an或前n項和Sn,解決與自然數(shù)有關(guān)的探索性、開放性問題等.猜想必須準確,證明必須正確.既用到合情推理,又用到演繹推理.猜想的準確與否可用證明來檢驗,否則不妨再分析,再猜想,再證明,猜想是證明的前提,證明可論證猜想的可靠性,二者相輔相成. 走進高考 【p95】 1.(2017·浙江)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 證明:當(dāng)n∈N*時, (1)0<xn+1<xn; (2)2xn+1-xn≤; (3)≤xn≤. 【解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>0. 當(dāng)n=1時,
13、x1=1>0,假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時,xk>0,
那么n=k+1時,若xk+1≤0,則0
14、+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,
因此x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
2xn+1-xn≤(n∈N*).
(3)因為xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,
所以xn≥,由(2)得≥2xn+1-xn,
-≥2,
-≥2≥…≥2n-1=2n-2,
故xn≤,≤xn≤(n∈N*).
考點集訓(xùn) 【p227】
A組題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+++…+
15、k+1 【解析】因為2k+1-1-2k+1=2k,所以左邊增加的項數(shù)是2k. 【答案】A 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,n的初始值至少應(yīng)取( ) A.7 B.8 C.9D.10 【解析】左邊=1+++…+==2-,代入驗證可知n的最小值是8. 【答案】B 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“++…+>(n>2)”的過程中,由n=k到n=k+1(k>2)時,不等式的左邊( ) A.增加了一項 B.增加了兩項+ C.增加了一項,又減少了一項 D.增加了兩項+,又減少了一項 【解析】當(dāng)n=k時左邊的代數(shù)式為++…+,共有k項,當(dāng)n=k+1時,左邊的
16、代數(shù)式為++…+,共有k+1項,故用n=k+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結(jié)果+-,即為不等式的左邊增加的項. 【答案】D 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n+1+52n+1能被8整除”時,當(dāng)n=k+1時,對于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為( ) A.56·34k+1+25 B.34k+1+52k+1 C.34×34k+1+52×52k+1 D.25 【解析】當(dāng)n=k+1時,34(k+1)+1+52(k+1)+1=34×34k+1+25×52k+1=56·34k+1+25,兩個表達式都能被8整除. 【答案】A 5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>(n
17、>1,n∈N*)的過程中,用n=k+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結(jié)果為__________. 【解析】n=k時,不等式為++…+>,n=k+1時,不等式為++…+++>,兩式相減后,左邊為+-=-. 【答案】- 6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1(n∈N*). (1)求a1,a2; (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式,并給出證明. 【解析】(1)當(dāng)n=1時,方程x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1, ∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=. 當(dāng)n=2時,方程x2-a2x-a2=0有一根為S
18、2-1=a1+a2-1=a2-, ∴-a2-a2=0,解得a2=. (2)由題意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得 SnSn-1-2Sn+1=0,解得Sn=. 由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=. 猜想Sn=(n∈N*). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論. ①當(dāng)n=1時,S1==,結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時結(jié)論成立,即Sk=. 當(dāng)n=k+1時,Sk+1====. 即當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立. 由①②知Sn=對任意的正整數(shù)n都成立. 7.已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,
19、n∈N*.
(1)當(dāng)n=1,2,3時,試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系;
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明.
【解析】(1)當(dāng)n=1時,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
當(dāng)n=2時,f(2)=,g(2)=,所以f(2) 20、-
=-=<0,
所以f(k+1)<-=g(k+1).
由①②可知,對一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.
B組題
1.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時,總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.”那么,下列命題總成立的是( )
A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立,則f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時,均有f(k)≥k2成立
D.若f(4)≥16成立,則當(dāng)k≥4時,均有f(k)≥k2成立
【解析】∵f(k)≥k2成立時,f(k+1)≥(k+1)2成立,∴f(4)≥16 21、時,有f(5)≥52,f(6)≥62,…,f(k)≥k2成立.
【答案】D
2.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù),則f(4)=______;當(dāng)n>4時,f(n)=______(用n表示).
【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)
=2+3+4+…+(n-1)
=(n+1)(n-2)(n>4).
【答案】5;(n+1)(n-2)(n>4)
3.設(shè)平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域),則f(2)=________, 22、f(n)=________.(n≥1,n∈N*)
【解析】易知2個圓周最多把平面分成4片;n個圓周最多把平面分成f(n)片,再放入第n+1個圓周,為了得到盡可能多的平面區(qū)域,第n+1個圓應(yīng)與前面n個圓都相交且交點均不同,有n條公共弦,其端點把第n+1個圓周分成2n段,每段都把原來的每一片劃分成2片,共增加了2n片平面區(qū)域,即f(n+1)=f(n)+2n(n≥1),所以f(n)-f(1)=n(n-1),而f(1)=2,從而f(n)=n2-n+2.
【答案】4;n2-n+2
4.已知點Pn(an,bn)滿足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*),且點P1的坐標(biāo)為(1,-1).
( 23、1)求過點P1,P2的直線l的方程;
(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于n∈N*,點Pn都在(1)中的直線l上.
【解析】(1)由題意得a1=1,b1=-1,
b2==,a2=1×=,
∴P2.
∴直線l的方程為=,
即2x+y=1.
(2)①當(dāng)n=1時,
2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時,2ak+bk=1成立.
當(dāng)n=k+1時,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=·(2ak+1)===1,
∴當(dāng)n=k+1時,2ak+1+bk+1=1也成立.
由①②知,對于n∈N*,都有2an+bn=1,即點Pn都在直線l上.
11
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