數(shù)學(xué)第6章 圓 第21講 與圓有關(guān)的計(jì)算

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1、第六章第六章 圓圓第第 21 講講 與圓有關(guān)的計(jì)算與圓有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理正多邊形與圓正多邊形與圓1 1正多邊形的相關(guān)概念圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n n邊形邊形把圓分成n n(n3n3)等份，依次連接各等分點(diǎn)所得的多邊形中心中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心半徑半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑邊心距邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距中心角中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角都相等，這個(gè)圓心角叫做正多邊形的中心角2.正n邊形的有關(guān)計(jì)算正n邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為R，邊心距為r，中心角為，外角為.(1)正n邊形的邊數(shù)n與其外角的關(guān)系：n (2)R和邊組成n個(gè)全等的等腰_三

2、角形，R，r和邊的一半組成2n個(gè)全等的直角三角形(3)可以通過勾股定理或三角函數(shù)表示R，r，a，之間的數(shù)量關(guān)系3603等分圓周圓周圓周n n等等分分以中心角為所對(duì)的弦長(zhǎng)，依次截取圓周，即可把圓n等分 提示 正n邊形的對(duì)稱性：正n邊形是軸對(duì)稱圖形，有n條對(duì)稱軸；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正n邊形也是中心對(duì)稱圖形，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正n邊形不是中心對(duì)稱圖形圓周四等圓周四等分分兩條互相垂直的直徑即可把圓四等分圓周六等圓周六等分分在半徑為R的圓上，依次截取等于R的弦，即可把圓六等分弧長(zhǎng)與扇形弧長(zhǎng)與扇形 6 6年年5 5考考弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)公式在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就等于圓周長(zhǎng)C2R，所以n圓心角所

3、對(duì)的弧長(zhǎng)l 扇形面積扇形面積公式公式在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的扇形的面積等于圓面積SR2，所以n圓心角所對(duì)的扇形面積S 圓柱圓柱 圓錐圓錐 圓柱的展開圖圓柱的側(cè)面積與全面積圓錐的展開圖圓錐的側(cè)面積與全面積 典型例題運(yùn)用典型例題運(yùn)用 類型類型1 正多邊形的計(jì)算正多邊形的計(jì)算【例1 1】2017株洲中考下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角最大的圖形是(A)A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形A A正三角形一條邊所對(duì)的圓心角是3603120，正方形一條邊所對(duì)的圓心角是360490，正五邊形一條邊所對(duì)的圓心角是360572，正六邊形一條邊所對(duì)的圓心角是360660，一條邊

4、所對(duì)的圓心角最大的圖形是正三角形變式運(yùn)用 如圖，已知正n邊形邊長(zhǎng)為a，邊心距為r，求正n邊形的半徑R，周長(zhǎng)P和面積S.類型類型2 2 弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算【例2 2】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動(dòng)的在x軸上滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A離開原點(diǎn)后第一次落在x軸上時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路線與x軸圍成的面積為(C)變式運(yùn)用 2017咸寧中考如圖，O的半徑為3，四邊形ABCD內(nèi)接于O，連接OB，OD，若BODBCD，則 的長(zhǎng)為(C)A B.C2 D323C C已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得BCDA180，由圓周角

5、定理可得BOD2A，再由BODBCD可得2AA180，所以A60，即可得BOD120，所以 .類型類型3 3 圓錐的計(jì)算圓錐的計(jì)算【例3 3】2017寧波模擬已知圓形紙片O的直徑為2，將其沿著兩條互相垂直的直徑折疊，得到四層的扇形，將最上的一層“撐”開來，“鼓”成一個(gè)無底的圓錐，則這個(gè)圓錐的高是(C)A.B.C.D1212223C C由題意知，該無底圓錐是由半圓O圍成的，其半徑為1，折疊后扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2r，解得r ，圓錐的高為 .21變式運(yùn)用 2017閔行區(qū)質(zhì)檢閱讀材料：將一個(gè)RtAOB(及其內(nèi)部)繞其一條直角邊AO所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫做圓錐圓錐的底面是

6、以O(shè)B為半徑的一個(gè)圓形圓錐的側(cè)面展開是一個(gè)以A為圓心，斜邊AB的長(zhǎng)為半徑的扇形，RtAOB的斜邊AB稱為圓錐的一條母線，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面的周長(zhǎng)(如圖所示)圓錐表面積S圓錐的側(cè)面S圓錐的底面閱讀后，請(qǐng)解答下面的問題：從卡紙上剪下半徑是30cm(母線l30cm)的扇形，做一個(gè)圓錐紙盒，圓錐的底面圓O直徑是20cm(如圖所示)(1)求圓錐的底面圓O的周長(zhǎng)；(2)求剪下的扇形的圓心角；(3)求圓錐的表面積六年真題全練六年真題全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 弧長(zhǎng)和扇形面積弧長(zhǎng)和扇形面積 1 12013德州如圖，扇形AOB的半徑為1，AOB90，以AB為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為(C)2 22017

7、德州，17，4分某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示圓O的圓心與矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點(diǎn))，與左右兩邊相交(F，G為其中兩個(gè)交點(diǎn))，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域已知圓的半徑為1m，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，若EOF45，則此窗戶的透光率(透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值)為 8)2(23 32016德州如圖，半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式折疊，使對(duì)折后半圓弧的中點(diǎn)M與圓心O重合，則圖中陰影部分的是 6234 42014德州如圖，正ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，以A，B，C三點(diǎn)為圓心，半徑為1作圓，則圓中陰影部分的面積

8、是 2352012德州如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，則凸輪的周長(zhǎng)等于_命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2圓錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖62015德州如圖，要制作一個(gè)圓錐形的煙囪帽，使底面圓的半徑與母線長(zhǎng)的比是45，那么所需扇形鐵皮的圓心角應(yīng)為(A)A288 B144 C216 D120A A設(shè)底面半徑是4a，則母線長(zhǎng)是5a，利用底面周長(zhǎng)展開圖的弧長(zhǎng)，得24a ，解得n288，所需扇形鐵皮的圓心角為288.1805an猜押預(yù)測(cè) 如圖，是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的側(cè)面積是(B)A10B15C20D30 B B由三視圖可知此幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，圓錐的側(cè)面積rl3515.