2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊(cè)) 第四章 第1節(jié)　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 講義

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1、 第1節(jié)　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化. 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 1.角的概念的推廣 (1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形. (2)分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.按終邊位置不同分為象限角和軸線角. (3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,用符號(hào) rad表示,讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)

2、正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0. (2)角α的弧度數(shù)公式:在半徑為r的圓中,弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為α rad,則|α|=lr. (3)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°=π180 rad≈0.017 45 rad,1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′. (4)扇形的弧長(zhǎng)公式:l=|α|·r,扇形的面積公式:S=12lr=12|α|·r2. 3.任意角的三角函數(shù) (1)定義 設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=yx(x≠0). (2)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律

3、 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào):一全正、二正弦、三正切、四余弦. (3)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于原點(diǎn)O的任一點(diǎn),其到原點(diǎn)O的距離為r,則sin α=yr,cos α=xr,tan α=yx(x≠0). 1.扇環(huán)的面積公式S=12(l+l′)(r-r′).其中l(wèi),l′是扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng),r,r′是兩條弧所在圓的半徑,且r>r′.　 2.面積(周長(zhǎng))一定的扇形,周長(zhǎng)最小(面積最大)時(shí),扇形的弧長(zhǎng)l與半徑r滿足l=2r,即扇形圓心角等于2 rad. 3.若角α∈(0,π2),則sin α<α

4、角-860°的終邊所在的象限是(　C　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:-860°=-2×360°-140°,-860°和-140°的終邊相同,故-860°的終邊在第三象限.故選C. 2.下列與9π4的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(　C　) A.2kπ-45°(k∈Z) B.k·360°+94π(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+5π4(k∈Z) 解析:與9π4的終邊相同的角可以寫成2kπ+9π4(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有C正確.故選C. 3.若角θ同時(shí)滿足sin θ<0且tan θ<0,則角θ

5、的終邊一定落在(　D　) A.第一象限　 　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 解析:由sin θ<0,可知θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合;由tan θ<0,可知θ的終邊可能位于第二或第四象限.故θ的終邊只能位于第四象限.故選D. 4.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M(12,y),則sin α等于(　B　) A.32 B.±32 C.22 D.±22 解析:由題意知r2=(12)2+y2=1,所以y=±32.由三角函數(shù)的定義知 sin α=y=±32.故選B. 5.角-225°=　　　　弧度,這個(gè)角在第　　　　象限.? 答案:-5

6、π4　二 6.已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧長(zhǎng)是144 mm,則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為　　　　 rad.? 解析:由題意知α=lr=144120 rad=1.2 rad. 答案:1.2 象限角及終邊相同的角 1.若角α是第二象限角,則α2是(　C　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:因?yàn)棣潦堑诙笙藿? 所以π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 所以π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),α2是第一象限角; 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),α2是第三象限角. 綜上,α2是第一或第三象限角.故選C.

7、 2.-2 021°角是第　　　　象限角,與-2 021°角終邊相同的最小正角是　　　　,最大負(fù)角是　　　　.? 解析:因?yàn)?2 021°=-6×360°+139°,所以-2 021°角的終邊與139°角的終邊相同.所以-2 021°角是第二象限角,與-2 021°角終邊相同的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故與-2 021°角終邊相同的最大負(fù)角是-221°. 答案:二　139°　-221° 3.終邊在直線y=3x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為　　.? 解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y=3x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是π3,在[0,2π)內(nèi),終邊在

8、直線y=3x上的角有兩個(gè):π3,4π3;在[-2π,0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè):-2π3,-5π3,故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為(5π3,-2π3,π3,4π3). 答案:(-5π3,-2π3,π3,4π3) 4.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角α的集合用弧度制可表示為　　　　.? 解析:在[0,2π)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為(π4,5π6), 所以所求角的集合為 {α2kπ+π4<α<2kπ+5π6,k∈Z}. 答案:{α2kπ+π4<α<2kπ+5π6,k∈Z} 1.象限角的判定有兩種方法: (1)圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中,作出

9、已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角. (2)轉(zhuǎn)化法:先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角. 2.由α所在象限判定α2所在象限,應(yīng)先確定α2的范圍,并對(duì)整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論. 3.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟: (1)先按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域的起始和終止邊界. (2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°～360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡(jiǎn)區(qū)間. (3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合. 弧長(zhǎng)公式與扇形的弧長(zhǎng)和面積公

10、式 已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.若α=π3,R=10 cm,求扇形的面積. 解:由已知得α=π3,R=10, 所以S扇形=12α·R2=12·π3·102=50π3(cm2). [典例遷移1] 若本例條件不變,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的 面積. 解:l=α·R=π3×10=10π3(cm), S弓形=S扇形-S三角形 =12·l·R-12·R2·sin π3 =12·10π3·10-12·102·32 =50π-7533(cm2). [典例遷移2] 若本例條件改為:“若扇形周長(zhǎng)為20 cm”,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大? 解:由

11、已知得,l+2R=20, 即l=20-2R(0

12、s α=-45,則m的值為(　　) A.-12 B.12 C.-32 D.32 解析:因?yàn)閞=64m2+9, 所以cos α=-8m64m2+9=-45, 所以m>0,所以4m264m2+9=125,即m=12.故選B. 利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解. 　三角函數(shù)值的符號(hào)判定 (2021·山西四校聯(lián)考)已知sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,則點(diǎn)P(

13、tan θ,sin θ)在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由|cos θ|=-cos θ可知cos θ≤0,由sin 2θ=2sin θ cos θ<0可知cos θ<0,sin θ>0,所以tan θ<0,所以點(diǎn) P(tan θ,sin θ)在第二象限.故選B. 三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)與角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)密切相關(guān).sin θ在一、二象限為正,cos θ在一、四象限為正,tan θ在一、三象限為正.特別地,三角函數(shù)的正負(fù)有時(shí)還要考慮坐標(biāo)軸上的角,如sin π2=1>0,cos π=-1<0. [針對(duì)訓(xùn)練] 1.已知角θ的頂點(diǎn)與

14、原點(diǎn)重合,始邊與x軸正半軸重合,若A(x,3)是角θ終邊上一點(diǎn)且cos θ=-1010,則x等于(　　) A.-33 B.33 C.1 D.-1 解析:cos θ=-1010<0及A(x,3)是角θ終邊上一點(diǎn)?x<0,由三角函數(shù)的定義,得xx2+9=-1010,解得x=-1.故選D. 2.若sin αtan α<0,且cosαtanα<0,則角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α異號(hào),則α為第二或第三象限角;由cosαtanα<0可知cos α,tan α異號(hào),則α為第三或第

15、四象限角.綜上可知,α為第三象限角.故選C. 若α=k·180°+45°(k∈Z),則α在(　　) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析:當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),α=2n·180°+45°=n·360°+45°,α為第一象限角.當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),α=(2n+1)·180°+45°=n·360°+ 225°,α為第三象限角.所以α為第一或第三象限角.故選A. 已知扇形的周長(zhǎng)是4 cm,則扇形面積最大時(shí),扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A.2 B.1 C.12 D.3 解析:設(shè)此扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,圓心角

16、為α,則2r+l=4,即l=4-2r(0

17、上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0(2,-2),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 解析:因?yàn)镻0(2,-2),所以∠P0Ox=-π4.按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后,得 ∠POx=t-π4.由三角函數(shù)的定義知,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin(t-π4),因此d=2|sin(t-π4)|. 令t=0,則d=2|sin(-π4)|=2,當(dāng)t=π4時(shí),d=0.故選C. 已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為1,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是　　　　.? 解析:如圖所示,設(shè)半徑為R, 則12R=sin 1,所以R=12sin1, 弧長(zhǎng)l=αR=2R=1sin1. 答案

18、:1sin1 知識(shí)點(diǎn)、方法 基礎(chǔ)鞏固練 綜合運(yùn)用練 應(yīng)用創(chuàng)新練 角的概念的推廣 1 終邊相同角的表示方法 5,8 12 15 弧度制及其應(yīng)用 3,7 11,13 14 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 2,4,6 9,10 1.給出下列四個(gè)命題: ①-3π4是第四象限角;②4π3是第三象限角; ③-410°是第四象限角;④-300°是第一象限角. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:-3π4是第三象限角,故①錯(cuò)誤.4π3=π+π3,從而4π3是第三象限角,②正確.-410°=-360°-50°,從而③正

19、確.-300°=-360°+60°,從而④正確.故選C. 2.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-12,y),則sin α·tan α等于(　C　) A.-33 B.±33 C.-32 D.±32 解析:由|OP|2=14+y2=1, 得y2=34,y=±32. 當(dāng)y=32時(shí),sin α=32,tan α=-3, 此時(shí),sin α·tan α=-32. 當(dāng)y=-32時(shí),sin α=-32,tan α=3, 此時(shí),sin α·tan α=-32.故選C. 3.已知圓上的一段弧長(zhǎng)等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),則這段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為(　C　) A.24 B.22

20、C.2 D.22 解析:設(shè)圓的半徑為r,則該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為2r,即這段圓弧長(zhǎng)為2r,則該圓弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為2rr=2.故選C. 4.已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長(zhǎng)線上,且|OM|=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(　C　) A.(2cos θ,2sin θ) B.(-2cos θ,2sin θ) C.(-2cos θ,-2sin θ) D.(2cos θ,-2sin θ) 解析:由題意知,M的坐標(biāo)為(2cos(π+θ), 2sin(π+θ)),即(-2cos θ,-2sin θ).故選C. 5.在(0,2π)內(nèi),使sin x>cos x成立的x的取值范圍為(　D　) A.( π

21、4,π2)∪(π,5π4) B.( π4,π) C.( π4,π)∪(5π4,3π2) D.( π4,5π4) 解析:如圖所示,找出在(0,2π)內(nèi),使sin x=cos x成立的x的值, sin π4=cos π4=22,sin 5π4=cos 5π4=-22.滿足題中條件的角x∈(π4,5π4).故選D. 6.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,m)(m>0),則下列各式的值一定為負(fù)的是(　CD　) A.sin α+cos α B.sin α-cos α C.sin αcos α D.sinαtanα 解析:由已知得r=|OP|=m

22、2+1,則sin α=mm2+1>0,cos α= -1m2+1<0,tan α=-m<0,所以sin α+cos α的符號(hào)不確定,sin α-cos α>0,sin αcos α<0,sinαtanα=cos α<0.故選CD. 7.已知扇形的圓心角為π6,面積為π3,則扇形的弧長(zhǎng)等于　　　　.? 解析:設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l, 則lr=π6,12lr=π3,解得l=π3,r=2. 答案:π3 8.若α=1 560°,角θ與角α終邊相同,且-360°<θ<360°,則θ=　　　　.? 解析:因?yàn)棣?1 560°=4×360°+120°, 所以與α終邊相同的角為360°×k

23、+120°,k∈Z, 令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°. 答案:120°或-240° 9.△ABC為銳角三角形,若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(sin A-cos B,cos A- sin C),則sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值為(　B　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析:由△ABC為銳角三角形,可知A+B>π2,即A>π2-B,又A,B∈(0,π2),所以sin A>cos B,所以sin A-cos B>0,同理cos A-sin C<0,所以θ為第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以si

24、nθ|sinθ|+ cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|=-1+1-1=-1.故選B. 10.頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在x軸的正半軸上的角α,β的終邊與單位圓交于A,B兩點(diǎn),若α=30°,β=60°,則弦AB的長(zhǎng)為　　　　.? 解析:由三角函數(shù)的定義得A(cos 30°,sin 30°), B(cos 60°,sin 60°),即A(32,12),B(12,32). 所以|AB|=(12-32)?2+(32-12)?2= 2×(32-12)=6-22. 答案:6-22 11.若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1∶4,則這兩個(gè)扇形的周長(zhǎng)之比為　　　　.? 解析:設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角

25、的弧度數(shù)為α,半徑分別為r,R(其中r

26、是1,正方形邊長(zhǎng)也是1,所以△BCE為正三角形,圓心角∠EBC,∠ECB都是π3,lBE=π3×1=π3,∠EBA= π2-π3=π6,lAE=π6×1=π6,所以曲邊三角形ABE的周長(zhǎng)是1+π3+π6=1+π2. 答案:1+π2 14.已知圓O與直線l′相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),P沿著直線l′向右,Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng),連接OQ,OP(如圖),則陰影部分面積S1,S2的大小關(guān)系是　　　　.? 解析:因?yàn)橹本€l′與圓O相切,所以O(shè)A⊥AP,設(shè)AQ的長(zhǎng)為l, 所以S扇形AOQ=12·l·r=12·l·OA, S△A

27、OP=12·OA·AP, 因?yàn)閘=AP, 所以S扇形AOQ=S△AOP, 即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB, 所以S1=S2. 答案:S1=S2 15.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動(dòng),若兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng),若紅螞蟻每秒爬過(guò)α角,黑螞蟻每秒爬過(guò)β角(其中0°<α<β<180°), 如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn),并且在第2秒時(shí)均位于第二象限,則α= 　　　　,β=　　　　.? 解析:根據(jù)題意可知14α,14β均為360°的整數(shù)倍,故可設(shè)14α= m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z, 從而可知α=m7·180°, β=n7·180°,m,n∈Z. 又由兩只螞蟻在第2秒時(shí)均位于第二象限,則2α,2β在第二象限. 又0°<α<β<180°,從而可得0° <2α<2β<360°, 因此2α,2β均為鈍角,即90° <2α<2β<180°. 于是45°<α<90°,45°<β<90°. 所以45°