數(shù)學(xué)專(zhuān)題三 閱讀理解問(wèn)題

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1、專(zhuān)題三閱讀理解問(wèn)題 閱讀理解型問(wèn)題是通過(guò)閱讀材料，理解其實(shí)質(zhì)，揭示其閱讀理解型問(wèn)題是通過(guò)閱讀材料，理解其實(shí)質(zhì)，揭示其方法規(guī)律從而解決新問(wèn)題既考查學(xué)生的閱讀能力、自學(xué)能方法規(guī)律從而解決新問(wèn)題既考查學(xué)生的閱讀能力、自學(xué)能力，又考查學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力這類(lèi)題目能夠力，又考查學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力這類(lèi)題目能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律律.閱讀理解題一般是提供一定的材料，或介紹一個(gè)概念，閱讀理解題一般是提供一定的材料，或介紹一個(gè)概念，或給出一種解法等，讓你在理解材料的基礎(chǔ)上，獲得探索解或給出一種解法等，讓你在理

2、解材料的基礎(chǔ)上，獲得探索解決問(wèn)題的途徑，用于解決后面的問(wèn)題基本思路是決問(wèn)題的途徑，用于解決后面的問(wèn)題基本思路是“閱讀閱讀分析分析理解理解解決問(wèn)題解決問(wèn)題”濟(jì)寧市中考試題中經(jīng)?？疾殚喿x理解類(lèi)的題目例如：濟(jì)寧市中考試題中經(jīng)?？疾殚喿x理解類(lèi)的題目例如：20172017年第年第2222題以相似、反比例函數(shù)為基礎(chǔ)，考查了新概念學(xué)題以相似、反比例函數(shù)為基礎(chǔ)，考查了新概念學(xué)習(xí)型問(wèn)題；習(xí)型問(wèn)題；20162016年第年第2121題以一次函數(shù)、圓為基礎(chǔ)，考查了新題以一次函數(shù)、圓為基礎(chǔ)，考查了新公式應(yīng)用型試題；公式應(yīng)用型試題；20152015年第年第2121題以三角函數(shù)為基礎(chǔ)，考查了題以三角函數(shù)為基礎(chǔ)，考查了新公式

3、應(yīng)用型試題；新公式應(yīng)用型試題；20142014年第年第2121題以內(nèi)切圓為基礎(chǔ)，考查了題以內(nèi)切圓為基礎(chǔ)，考查了新方法運(yùn)用型問(wèn)題；新方法運(yùn)用型問(wèn)題；20132013年第年第2121題以不等式、函數(shù)為基礎(chǔ)，題以不等式、函數(shù)為基礎(chǔ)，考查了新方法運(yùn)用型問(wèn)題考查了新方法運(yùn)用型問(wèn)題類(lèi)型一類(lèi)型一 新概念學(xué)習(xí)型新概念學(xué)習(xí)型 是指在題目中先構(gòu)建一個(gè)新數(shù)學(xué)概念是指在題目中先構(gòu)建一個(gè)新數(shù)學(xué)概念(或定義或定義)，然后，然后再根據(jù)新概念提出要解決的相關(guān)問(wèn)題主要目的是考查學(xué)再根據(jù)新概念提出要解決的相關(guān)問(wèn)題主要目的是考查學(xué)生的自學(xué)能力和對(duì)新知識(shí)的理解與運(yùn)用能力解決這類(lèi)問(wèn)生的自學(xué)能力和對(duì)新知識(shí)的理解與運(yùn)用能力解決這類(lèi)問(wèn)題：要

4、求學(xué)生準(zhǔn)確理解題目中所構(gòu)建的新概念，將學(xué)習(xí)的題：要求學(xué)生準(zhǔn)確理解題目中所構(gòu)建的新概念，將學(xué)習(xí)的新概念和已有的知識(shí)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)用新概念和已有的知識(shí)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)用例例1 1(2017(2017濟(jì)寧濟(jì)寧)定義：點(diǎn)定義：點(diǎn)P P是是ABCABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)內(nèi)部或邊上的點(diǎn)(頂點(diǎn)頂點(diǎn)除外除外)，在，在PABPAB，PBCPBC，PCAPCA中，若至少有一個(gè)三角形中，若至少有一個(gè)三角形與與ABCABC相似，則稱點(diǎn)相似，則稱點(diǎn)P P是是ABCABC的自相似點(diǎn)的自相似點(diǎn)例如：如圖例如：如圖1 1，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在ABCABC的內(nèi)部，的內(nèi)部，PBCPBCAA，BCPBCPABCABC，則，則BCPBCP

5、ABCABC，故點(diǎn)，故點(diǎn)P P是是ABCABC的自相似點(diǎn)的自相似點(diǎn)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M M是曲線是曲線y y (x0)(x0)上的任意一上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)N N是是x x軸正半軸上的任意一點(diǎn)軸正半軸上的任意一點(diǎn)3 3x(1)(1)如圖如圖2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P是是OMOM上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，ONPONPMM，試說(shuō)明點(diǎn)，試說(shuō)明點(diǎn)P P是是MONMON的自相似點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)的自相似點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)M M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(，3)3)，點(diǎn)，點(diǎn)N N的坐標(biāo)的坐標(biāo)是是(，0)0)時(shí)，求點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P P的坐

6、標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)(2)如圖如圖3 3，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(3(3，)，點(diǎn)，點(diǎn)N N的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2(2，0)0)時(shí)，求時(shí)，求MONMON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；333(3)(3)是否存在點(diǎn)是否存在點(diǎn)M M和點(diǎn)和點(diǎn)N N，使，使MONMON無(wú)自相似點(diǎn)？若存在，請(qǐng)無(wú)自相似點(diǎn)？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由直接寫(xiě)出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析【分析】(1)(1)由由NOPNOPMONMON，證得點(diǎn)，證得點(diǎn)P P是是MONMON的自相似的自相似點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)；過(guò)P P作作PDxPDx軸于軸于D D，由相似三角形的性質(zhì)得出，由相似三角形的性質(zhì)得

7、出NPONPOMNOMNO9090，解，解RtRtOPNOPN即可得出點(diǎn)即可得出點(diǎn)P P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)(2)作作MHxMHx軸于軸于H H，分兩種情況求解；，分兩種情況求解；(3)(3)先求出先求出MONMON是等邊三角形，是等邊三角形，由點(diǎn)由點(diǎn)P P在在MONMON的內(nèi)部，得出的內(nèi)部，得出PONOMNPONOMN，PNOMONPNOMON，即可得出結(jié)論即可得出結(jié)論【自主解答【自主解答】(1)ONP(1)ONPMM，NOPNOPMONMON，ONPONPOMNOMN，點(diǎn)點(diǎn)P P是是MONMON的自相似點(diǎn)的自相似點(diǎn)如圖如圖1 1，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P P作作PDxPDx軸于軸于D D點(diǎn)，點(diǎn)，(2

8、)(2)如圖如圖2 2，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M M作作MHxMHx軸于軸于H H點(diǎn)，點(diǎn)，1 1(2017(2017棗莊棗莊)我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n n都可以進(jìn)行都可以進(jìn)行這樣的分解：這樣的分解：n np pq(pq(p，q q是正整數(shù)，且是正整數(shù)，且pqpq)，在，在n n的所的所有這種分解中，如果有這種分解中，如果p p，q q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱就稱p pq q是是n n的最佳分解，并規(guī)定：的最佳分解，并規(guī)定：F(nF(n).pq例如例如1212可以分解成可以分解成1 11212，2 26 6或或3 34 4，因?yàn)?，因?yàn)?21216

9、162 2443 3，所以，所以3 34 4是是1212的最佳分解，所以的最佳分解，所以F(12)F(12).(1)(1)如果一個(gè)正整數(shù)如果一個(gè)正整數(shù)m m是另一個(gè)正整數(shù)是另一個(gè)正整數(shù)n n的平方，我們稱正整的平方，我們稱正整數(shù)數(shù)m m是完全平方數(shù)求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)是完全平方數(shù)求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m m，總有，總有F(mF(m)1 1；34(2)(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t t，t t10 x10 xy(1xy9y(1xy9，x x，y y為自然數(shù)為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的

10、差為去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為3636，那么我們稱這個(gè)數(shù)，那么我們稱這個(gè)數(shù)t t為為“吉祥數(shù)吉祥數(shù)”，求所有，求所有“吉祥數(shù)吉祥數(shù)”；(3)(3)在在(2)(2)所得所得“吉祥數(shù)吉祥數(shù)”中，求中，求F(tF(t)的最大值的最大值(1)(1)證明：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)證明：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m m，設(shè)設(shè)m mn n2 2(n(n為正整數(shù)為正整數(shù))|n|nn|n|0 0為最小，為最小，n nn n是是m m的最佳分解的最佳分解對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m m，總有，總有F(mF(m)1.1.nn(2)(2)解：設(shè)交換解：設(shè)交換t t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為的個(gè)位上的數(shù)

11、與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為tt，則，則tt10y10yx.tx.t為為“吉祥數(shù)吉祥數(shù)”，ttt t(10y(10yx)x)(10 x(10 xy)y)9(y9(yx)x)3636，yyx x4.4.1xy91xy9，x x，y y為自然數(shù)，為自然數(shù)，滿足條件的滿足條件的“吉祥數(shù)吉祥數(shù)”有：有：1515，2626，3737，4848，59.59.2 2我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)過(guò)三我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)過(guò)三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線段把這角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形，若有一個(gè)圖形與原三角形相似，個(gè)三角形

12、分成兩個(gè)圖形，若有一個(gè)圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個(gè)三角形的則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“內(nèi)似線內(nèi)似線”(1)(1)等邊三角形等邊三角形“內(nèi)似線內(nèi)似線”的條數(shù)為的條數(shù)為 ；(2)(2)如圖如圖1 1，ABCABC中，中，ABABACAC，點(diǎn)，點(diǎn)D D在在ACAC上，且上，且BDBDBCBCAD.AD.求證：求證：BDBD是是ABCABC的的“內(nèi)似線內(nèi)似線”；(3)(3)如圖如圖2 2，在，在RtRtABCABC中，中，CC9090，ACAC4 4，BCBC3 3，E E，F(xiàn) F分別在邊分別在邊ACAC，BCBC上，且上，且EFEF是是ABCABC的的“內(nèi)似線內(nèi)似線”，求，求EFEF的

13、的長(zhǎng)長(zhǎng)(1)3(1)3(2)(2)證明：證明：ABABACAC，ABCABCACB.ACB.又又BDBDBCBCADAD，BADBADABDABD，BDCBDCC.C.設(shè)設(shè)AAx x，則，則ABDABDx x，BDCBDCAAABDABD2x2x，CC2x2x，ABCABC2x.2x.又又AAABCABCCC180180，xx2x2x2x2x180180，xx3636，AADBCDBC3636，CCBDCBDC7272.ABCABCBDC.BDC.又又DBCDBC180180727272723636，BDBD平分平分ABCABC，BDBD過(guò)過(guò)ABCABC的內(nèi)心，的內(nèi)心，BDBD是是ABCABC

14、的的“內(nèi)似線內(nèi)似線”類(lèi)型二類(lèi)型二 新公式應(yīng)用型新公式應(yīng)用型 是指通過(guò)對(duì)所給材料的閱讀，從中獲取新的數(shù)學(xué)公式、是指通過(guò)對(duì)所給材料的閱讀，從中獲取新的數(shù)學(xué)公式、定理、運(yùn)算法則或解題思路等，進(jìn)而運(yùn)用這些知識(shí)和已有知定理、運(yùn)算法則或解題思路等，進(jìn)而運(yùn)用這些知識(shí)和已有知識(shí)解決題目中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決這類(lèi)問(wèn)題，一是要所運(yùn)識(shí)解決題目中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決這類(lèi)問(wèn)題，一是要所運(yùn)用的思想方法、數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、運(yùn)算法則或解題思路與閱用的思想方法、數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、運(yùn)算法則或解題思路與閱讀材料保持一致；二是要?jiǎng)?chuàng)造條件，準(zhǔn)確、規(guī)范、靈活地解讀材料保持一致；二是要?jiǎng)?chuàng)造條件，準(zhǔn)確、規(guī)范、靈活地解答答例例2 2 根據(jù)以上材料，解

15、答下列問(wèn)題：根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1)(1)求點(diǎn)求點(diǎn)P(1P(1，1)1)到直線到直線y yx x1 1的距離；的距離；(2)(2)已知已知QQ的圓心的圓心Q Q坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0(0，5)5)，半徑，半徑r r為為2 2，判斷，判斷Q Q與直線與直線y y x x9 9的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)(3)已知直線已知直線y y2x2x4 4與與y y2x2x6 6平行，求這兩條平行，求這兩條直線之間的距離直線之間的距離3【分析【分析】(1)(1)利用公式利用公式d d 計(jì)算即可；計(jì)算即可；(2)(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系，其實(shí)就是求圓心到直線的距判斷直線和圓的位置

16、關(guān)系，其實(shí)就是求圓心到直線的距離，然后與圓的半徑比較，即得直線和圓的位置關(guān)系；離，然后與圓的半徑比較，即得直線和圓的位置關(guān)系；(3)(3)求兩直線的距離，首先要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和直線的距離，也就求兩直線的距離，首先要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和直線的距離，也就是在其中一條選取一點(diǎn)，然后求這點(diǎn)到另一直線的距離即是在其中一條選取一點(diǎn)，然后求這點(diǎn)到另一直線的距離即可可【自主解答【自主解答】3 3(2017(2017黔西南州黔西南州)把把(sin)(sin)2 2記作記作sinsin2 2，根據(jù)圖，根據(jù)圖1 1和和圖圖2 2完成下列各題：完成下列各題：(1)sin(1)sin2 2A A1 1coscos2 2A A1 1 ，

17、sinsin2 2A A2 2coscos2 2A A2 2 ，sinsin2 2A A3 3coscos2 2A A3 3 ；(2)(2)觀察上述等式猜想：在觀察上述等式猜想：在RtRtABCABC中，中，CC9090，總有總有sinsin2 2A Acoscos2 2A A ；(3)(3)如圖如圖2 2，在，在RtRtABCABC中證明中證明(2)(2)題中的猜想；題中的猜想；(4)(4)已知在已知在ABCABC中，中，AABB9090，且，且sin Asin A ，求求coscos A.A.1213類(lèi)型三類(lèi)型三 新方法應(yīng)用型新方法應(yīng)用型 是指通過(guò)對(duì)所給材料的閱讀，從中獲取新的思想、方是指

18、通過(guò)對(duì)所給材料的閱讀，從中獲取新的思想、方法或解題途徑，進(jìn)而運(yùn)用這些知識(shí)和已有的知識(shí)解決題目法或解題途徑，進(jìn)而運(yùn)用這些知識(shí)和已有的知識(shí)解決題目中提出的問(wèn)題中提出的問(wèn)題例例3 3(2013(2013濟(jì)寧濟(jì)寧)閱讀材料：閱讀材料：(1)(1)求求y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式(寫(xiě)出自變量寫(xiě)出自變量x x的取值范圍的取值范圍)；(2)(2)求該汽車(chē)的經(jīng)濟(jì)時(shí)速及經(jīng)濟(jì)時(shí)速的百公里耗油量求該汽車(chē)的經(jīng)濟(jì)時(shí)速及經(jīng)濟(jì)時(shí)速的百公里耗油量(結(jié)果結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位保留小數(shù)點(diǎn)后一位)【分析【分析】(1)(1)根據(jù)耗油總量每公里的耗油量根據(jù)耗油總量每公里的耗油量行駛的速度行駛的速度列出函數(shù)關(guān)系式即可；列出

19、函數(shù)關(guān)系式即可；(2)(2)經(jīng)濟(jì)時(shí)速就是耗油量最小的行駛經(jīng)濟(jì)時(shí)速就是耗油量最小的行駛速度速度【自主解答【自主解答】(1)(1)汽車(chē)在每小時(shí)汽車(chē)在每小時(shí)7070110110公里之間公里之間行駛時(shí)行駛時(shí)(含含7070公里和公里和110110公里公里)，每公里耗油，每公里耗油 4.(20174.(2017畢節(jié)畢節(jié))觀察下列運(yùn)算過(guò)程：觀察下列運(yùn)算過(guò)程：計(jì)算：計(jì)算：1 12 22 22 22 21010.解：設(shè)解：設(shè)S S1 12 22 22 22 21010，2 2得得2S2S2 22 22 22 23 32 21111，得得S S2 211111.1.所以所以1 12 22 22 22 210102

20、 211111.1.運(yùn)用上面的計(jì)算方法計(jì)算：運(yùn)用上面的計(jì)算方法計(jì)算：1 13 33 32 23 32 0172 017_ .2 0183125 5(2016(2016邵陽(yáng)邵陽(yáng))尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1 1所所示，已知示，已知AFAF，BEBE是是ABCABC的中線，且的中線，且AFBEAFBE，垂足為，垂足為P P，設(shè)，設(shè)BCBCa a，ACACb b，ABABc.c.求證：求證：a a2 2b b2 25c5c2 2.該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：先連接先連接EFEF，利用，利用EFEF為為ABCABC的中位

21、線得到的中位線得到EPFEPFBPABPA，故故 ,設(shè)設(shè)PFPFm m，PEPEn n，用，用m m，n n把把PAPA，PBPB分別表示出來(lái)，再在分別表示出來(lái)，再在RtRtAPEAPE，RtRtBPFBPF中利用勾股定中利用勾股定理計(jì)算，消去理計(jì)算，消去m m，n n即可得證即可得證(1)(1)請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程(2)(2)利用題中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：利用題中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為3 3的菱形的菱形ABCDABCD中，中，O O為對(duì)角線為對(duì)角線ACAC，BDBD的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，E E，F(xiàn) F分別分別為線段為線段AOAO，DODO的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接BEBE，CFCF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M M，BMBM，CMCM分分別交別交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)G G，H H，如圖，如圖2 2所示，求所示，求MGMG2 2MHMH2 2的值的值(1)(1)證明：如圖所示，連接證明：如圖所示，連接EFEF，(2)(2)解：如圖所示，連接解：如圖所示，連接EFEF，