（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題一 階段質(zhì)量檢測(cè)（一） 平面向量、三角函數(shù)與解三角形

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1、階段質(zhì)量檢測(cè)(一)　平面向量、三角函數(shù)與解三角形 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2019·鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬)若f(x)·sin x是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是(　　) A．sin x　　　　　　　　　 B．cos x C．sin 2x D．cos 2x 解析：選B　因?yàn)楹瘮?shù)sin xcos x＝sin 2x是周期為π的奇函數(shù)，所以可知f(x)＝cos x，故選B. 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，則|2a＋3b|＝(　　)

2、A. B．4 C．3 D．2 解析：選B　依題意得，＝，所以m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝＝4. 3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，則下列等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A 解析：選A　由題意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2s

3、in B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b. 4．在平面上，e1，e2是方向相反的單位向量，|a|＝2，(b－e1)·(b－e2)＝0，則|a－b|的最大值為(　　) A．1 B. C．2 D．3 解析：選D　由e1，e2為方向相反的單位向量，所以(b－e1)·(b－e2)＝|b|2－1＝0，即|b|＝1，又因?yàn)閨a|＝2，所以當(dāng)向量a，b方向相反時(shí)， |a－b|取得最大值2＋1＝3，故選D. 5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，則cos A＝(　　) A．－ B. C. D. 解析：選A　在△

4、ABC中，∵b－c＝a,2sin B＝3sin C，利用正弦定理可得2b＝3c，則a＝2c，b＝c. 再由余弦定理可得 cos A＝＝＝－. 6．(2019·金華十校期末調(diào)研)已知向量a，b滿足：|a|＝2，〈a，b〉＝60°，且c＝－a＋tb(t∈R)，則|c|＋|c－a|的最小值為(　　) A. B．4 C．2 D. 解析：選A　如圖，由題意不妨設(shè)a＝(2,0)，tb＝B，則由〈a，b〉＝60°，得點(diǎn)B在直線y＝x上，設(shè)C(－1,0)，D(－3,0)，因?yàn)閏＝－a＋tb，t∈R，所以|c|＝BC，c－a＝－a＋tb，所以|c－a|＝|BD|，則|c|＋|c－a|的最小值

5、可轉(zhuǎn)化為在直線y＝x上取一點(diǎn)B，使得BD＋BC最?。鼽c(diǎn)C關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)C′，則BD＋BC的最小值即為DC′，設(shè)C′(x，y)，由解得x＝，y＝－，則C′D＝＝，故|c|＋|c－a|的最小值為，故選A. 7．已知函數(shù)f(x)＝sin，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則“φ＝”是“g(x)是偶函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由f(x)＝sin，得g(x)＝f(x＋φ)＝sin，當(dāng)φ＝時(shí)，g(x)＝sin2x＋2×＋＝sin＝－cos 2x，故充分性成立．當(dāng)g(x

6、)是偶函數(shù)時(shí)，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，令k＝1，得φ＝∈，令k＝2，得φ＝∈.故“φ＝”是“g(x)是偶函數(shù)”的充分不必要條件． 8．已知平面內(nèi)任意不共線三點(diǎn)A，B，C，則·＋·＋·的值為(　　) A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．0 D．以上說法都有可能 解析：選B　如果A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形或直角三角形，顯然·＋·＋·<0； 如果A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成鈍角三角形，可設(shè)C為鈍角， 角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則c>a，c>b， ∴·＋·＋· ＝accos(π－B)＋abcos(π－C)＋bccos(π－A)<－abcos B－abcos

7、C－abcos A ＝－ab(cos B＋cos C＋cos A) ＝－ab[cos A＋cos B－cos(A＋B)] ＝－ab(cos A＋cos B－cos Acos B＋sin Asin B) ＝－ab[cos A＋cos B(1－cos A)＋sin Asin B]． ∵A，B是銳角， ∴cos A>0，cos B>0，且1－cos A>0，sin Asin B>0， ∴·＋·＋·<0. 9．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為P，在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Q，則f的值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選C　

8、由題意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2，則f(x)＝sin(2x＋φ)，將點(diǎn)P代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝，選C. 10．已知單位向量e1，e2，且e1·e2＝－，若向量a滿足(a－e1)·(a－e2)＝，則|a|的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因?yàn)橄蛄縠1，e2為單位向量，且e1·e2＝－，所以向量e1，e2的夾角為，則不妨設(shè)e1＝，e2＝，設(shè)a＝O＝(x，y)，則(a－e1)(a－e2)＝·＝2＋y2－＝，即2＋y2＝2，所以

9、點(diǎn)A在以為圓心，為半徑的圓上．又因?yàn)閨a|＝，其中可以看作是點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離，由圖易得圓與x軸正半軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，即最大值為＋，圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小，即最小值為－，所以|a|的取值范圍為，故選B. 二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分) 11．在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(－，－1)，則tan α＝________，cos α＋sin＝________. 解析：根據(jù)角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(－，－1)， 可得x＝－，y＝－1，r＝|OP|＝2，

10、 ∴tan α＝＝＝，cos α＝＝－， ∴cos α＋sin＝2cos α＝－. 答案：?。? 12．函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，單調(diào)遞增區(qū)間是________________． 解析：函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1， 則f(x)＝＋＋1＝sin＋， 則函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 答案：π　(k∈Z) 13.如圖，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝5，

11、AC＝7，DC＝3，則AB的長(zhǎng)為________． 解析：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3， 由余弦定理得cos∠ADC＝＝－， ∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°， 在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝，∴AB＝. 答案： 14．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足2cos2A＋sin 2A＝2，b＝1，S△ABC＝，則A＝______，＝________. 解析：∵2cos2A＋sin 2A＝2，∴cos 2A＋sin 2A＝1， ∴sin＝， ∵0

12、∵b＝1，S△ABC＝＝bcsin A＝×1×c×， ∴c＝2， ∴由余弦定理可得，a＝＝＝， ∴＝＝＝2. 答案：　2 15．記min{a，b}＝已知向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，若c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋2μ＝1)，則當(dāng)min{a·c，b·c}取最大值時(shí)，|c|＝________. 解析：向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1， 可得cos〈a，b〉＝＝， 〈a，b〉＝60°， 可設(shè)a＝(1,0)，b＝(1，)，b＝， 若c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋2μ＝1)， 即有c，a，b的終點(diǎn)共線， 設(shè)c＝(x，y)，

13、可得y＝－(x－1)，≤x≤1， 可得min{a·c，b·c}＝min{x,3－2x}＝x， 當(dāng)min{a·c，b·c}取最大值1，可得|c|＝1. 答案：1 16．已知共面向量a，b，c滿足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若對(duì)每一個(gè)確定的向量b，記|b－ta|(t∈R)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時(shí)，dmin的最大值為________． 解析：不妨設(shè)向量a＝(3,0)，則由b＋c＝2a，設(shè)|b－a|＝|c－a|＝r，則向量b，c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別在以(3,0)為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運(yùn)動(dòng)，其中＝a，＝b，＝c，并設(shè)∠BAH＝θ，如圖，易得點(diǎn)B的坐標(biāo)B(rcos

14、θ＋3，rsin θ)，因?yàn)閨b|＝|b－c|，所以||＝||，則(rcos θ＋3)2＋(rsin θ)2＝4r2，整理為r2－2rcos θ－3＝0，∴cos θ＝，而|b－ta|(t∈R)表示向量b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)(3t,0)的距離，向量|b－ta|(t∈R)的最小值為向量b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到x軸的距離dmin，即dmin＝||＝rsin θ＝r＝＝≤2，所以dmin的最大值是2. 答案：2 17.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi)，包括邊界點(diǎn))上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍是________；若向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為___

15、_____． 解析：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則A(0，0)，B(1,0)，E，C(1，1)，D(0,1)． 設(shè)P(cos θ，sin θ)，∴＝(1,1)，＝(cos θ，sin θ)，＝(cos θ－1，sin θ)， ∴·＝cos2θ－cos θ＋sin2θ＝1－cos θ， ∵0≤θ≤，∴0≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1. ∴·的取值范圍是[0,1]， ∵＝λ＋μ(cos θ， sin θ)＝＝(1,1)， ∴∴ ∴λ＋μ＝＝－1＋. ∴(λ＋μ)′＝>0， 故λ＋μ在上是增函數(shù)， ∴當(dāng)θ＝0，

16、即cos θ＝1時(shí)，λ＋μ取最小值為＝. 答案：[0,1]　 三、解答題(本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 18．(本小題滿分14分)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知2bcos C＝2a－c. (1)求∠B的大??； (2)若C＋C＝2C，且|C|＝1，求△ABC面積的最大值． 解：(1)∵2bcos C＝2a－c， ∴2sin Bcos C＝2sin A－sin C， ∴2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C， ∴2sin Ccos B＝sin C， ∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cos B＝，

17、 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)由條件知，M為AB的中點(diǎn)，∴在△BCM中，由余弦定理可得cos B＝＝， ∴BM2＋BC2＝1＋BM·BC≥2BM·BC， ∴BM·BC≤2＋. 又S△ABC＝BC·BAsin＝BC·BM≤1＋， ∴△ABC面積的最大值是1＋. 19．(本小題滿分15分)(2019·杭州期末)已知函數(shù)f(x)＝asin x＋2sin xcos x－acos x. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最大值； (2)是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式f(x)≤0恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)令sin x－cos x＝t∈[－，]，

18、 則2sin xcos x＝－t2＋1. 當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝－t2＋t＋1＝－2＋， 故當(dāng)t＝時(shí)，f(x)max＝. (2)根據(jù)(1)得f(x) ＝－t2＋at＋1，t∈[－，]， 則當(dāng)t＝0時(shí)，f(x)＝1＞0， 故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a. 20．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝2cos x(a2sin x＋bcos x)(x∈R)的值域?yàn)閇－1,3]． (1)若函數(shù)y＝f(x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，求|φ|的最小值； (2)當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，方程|f(x)|＝c有四個(gè)實(shí)數(shù)根，求c的取值范圍． 解：(1)f(x)＝a2sin 2x＋bcos 2x＋b

19、＝sin(2x＋β)＋b. 由題意得b－＝－1，b＋＝3， 解得a2＝，b＝1， 從而f(x)＝2sin＋1， ∴f(x＋φ)＝2sin＋1， 由y＝f(x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，得2×＋2φ＋＝kπ＋(k∈Z)， ∴φ＝－(k∈Z)． ∴|φ|min＝. (2)如圖，y＝|f(x)| ＝. 在，，上單調(diào)遞增， 在，上單調(diào)遞減， 結(jié)合f(0)＝f(π)＝2，f＝1，f＝f＝0，可知c∈(0,1)． 21．(本小題滿分15分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足2asin Csin B＝asin A＋bsin B－csin C. (1)求角

20、C的大小； (2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面積． 解：(1)由2asin Csin B＝asin A＋bsin B－csin C及正弦定理，得2absin C＝a2＋b2－c2， ∴sin C＝， ∴sin C＝cos C， ∴tan C＝，∴C＝. (2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)， 得asin B＝bcos A， 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A， ∴sin A＝cos A，∴A＝， 根據(jù)正弦定理可得＝，解得c＝， ∴S△ABC＝acsin B＝×2×sin(π－A－C)＝sin＝.

21、22．(本小題滿分15分)已知向量a＝(2,2)，向量b與向量a的夾角為，且a·b＝－2. (1)求向量b； (2)若t＝(1,0)，且b⊥t，c＝，其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角，若A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|b＋c|的取值范圍． 解：(1)設(shè)b＝(x，y)，則a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝ ， 聯(lián)立方程組解得或 ∴b＝(－1,0)或b＝(0，－1)． (2)∵b⊥t，且t＝(1,0)，∴b＝(0，－1)． ∵A，B，C依次成等差數(shù)列，∴B＝. ∴b＋c＝＝(cos A，cos C)， ∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋(cos 2A＋cos 2C) ＝1＋ ＝1＋ ＝1＋cos. ∵A∈，則2A＋∈， ∴－1≤cos<， ∴≤|b＋c|2<，故≤|b＋c|<. ∴|b＋c|的取值范圍為. - 11 -